浅析分数阶微分方程边值问题解的存在性

李永玲++殷华敏++杨芳萍

【摘 要】作为数学的重要组成部分分数阶微积分已经发展了将近5个世纪，所谓分数阶微积分是指微分的阶数或者积分的阶数不再是传统的整数阶，而是任意的一个实数甚至于可以是复数。之所以现在有关分数阶微积分的研究内容非常之多，是因为分数阶微积分方程在混沌理论、高分子解链、非牛顿流体力学等很多领域中得到了广泛应用，而且经过实际检验，分数阶微积分方程对于研究结果的准确性有着很大影响。基于此，本文将对分数阶微分方程边值问题解的存在性进行研究。

【关键词】分数阶微分方程 存在性

分数阶微分方程发展至今已经有300多年的历史，相较于整数阶微积分而言，也已经在很多领域有着较为广泛的应用。如今，分数阶微积分已经成为处理几何与分数维动力学的最佳分析工具。

分数阶微分方程研究的重点是正解的存在性、多重性以及正解的分歧与渐进性等。虽然说整数阶微分方程的很多研究成果，如函数论、积分变换、特殊函数等等，和分数阶微分方程在一定程度上有些联系，而且有些研究成果可以直接用于分析分数阶微分方程。但实际上分数阶微分方程理论体系只能算是刚刚有了雏形，很多研究内容均是将整数阶的分析方法照搬到分数阶微分方程上，如算子演变、组合方法、不定点理论等。不同的边值条件和阶数条件，我们可以使用不同的方法来求解分数阶微分方程，也可用来证明其正解的存在性。就目前的研究情况来看，使用最多的求解方法就是特殊函数法，这里的特殊函数以Green函数使用最多。对于不同的边值条件和阶数条件，求解Green函数的方法以及所得到的Green函数值会有所不同，所以在估计分数阶微分方程正解存在条件以及证明正解存在性的方法上，也会有较大的区别。

1819年，Lacroix率先提出了1/2导数的结果：d1/2y / dx1/2=；之后在1832年，Liouville根据级数的概念对分数阶导数进行了重新定义；1853年，Riemann按照定积分的形式对分数阶微分进行了定义。

在整数阶微积分理论的前提下，分数级微积分有着更深入的发展，它对函数的阶数没有任何限制，甚至于是复数都可以进行计算。自然界中很多非线性问题使用整数阶微积分概念来解决有一定的难度，但是分数阶微积分就有着较大的优势。譬如，研究扩散空间理论，假如某一种微利的扩散传播速度与古典布朗运动不一致，我们就可以用分数阶导数来取代空间扩散二阶导数，从而更广泛的解释分析扩散运动。在1974年的国际分数阶微积分会议上，很多专家都认可了分数阶微积分在很多领域中的应用。1982年，B.B.Mandelbrot首次对分数维数在自然界以及很多科技领域中的应用进行了举例分析。分数阶微分方程之所以能够受到很多研究人员的注意，主要是因为其在各个领域中的广泛适用性，相较于整数阶微分方程，它能够更加细致准确的对自然现象进行描述，而且能够全面的模拟自然界物理现象及运动。现在研究人员已经对分数阶初值问题解的存在性理论进行了较为深入的研究，而且基本均是将分数阶问题转化为等价的积分方程来进行的，线性以及非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性是当前国内数学界重点研究的课题。

1988年，A.M.A.El-Sayed对分数阶微分方程Dax=f（t，x），a∈（0，1）进行了深入的研究，而且求出了该方程解的存在唯一解定理。之后这一定理就被广泛应用于其他相关研究中，2005年，俞成和高国柱根据Shauder不动点定理分析了这个方程解的一个存在唯一性定理。

2005年，白占兵和吕海深对非线性分数阶微分方程的边值问题进行了相应研究，从方程Da0+u（t）=f（t，u（t））=0，其中t∈（0，1）。这里定义u（0）=u（1）=0，a∈（0，2]。方程中的Da0+是一个标准的Riemann-Liouville导数，而且f：[0，1]×[0，+∞]→[0，+∞）。根据这一类问题Green函数的性质，结合Guo-Krasnoselskii不动点定理以及Leggett-Williams不动点定理，就可以对该问题正解的存在性以及重数定义。2009年，蒋达清和苑成军对这类问题进行了深入研究，并给出了Green函数的一些新性质以及相应的应用范围。

现在对非线性分数阶微分方程的边值问题主要分析手段有Laplace变换、上下解法、Adomian分解法、各种不动点理论等。而且应用不动点理论研究边值问题时，还可以细分为Schauder不动点定理法、Guo-Krasnoselskii不动点定理法、Leggett-Williams不动点定理法等。2007年，M.EI-Shahed分析了分数阶微分方程边值问题，Da0+u（t）+λa（t）f（u（t））=0，这里的Da0+就是标准Riemann-Liouville分数阶导数。现在分数阶微分方程的主要结论之一就是定理：这里定义f在I×R→R上连续，而且存在非负函数a（t）、h（t），使得|f（t，x）|≤a（t）+ h（t），a（t）∈L[0，1]，h（t）是R上的连续函数。其中，ta-1，ta在[0，1]都一致连续，所以TU是等度连续的，又TUU，故一致有界，因此T是全连续，所以，由Leray-Schaulder不动点定理知，边值问题（1）至少有一个解。

虽然分数阶微积分至今也研究了数年，而且取得了很多较为实用的理论研究成果，但是对于经典微积分理论体系的构建还有一定距离。纵观当前的研究重点，分数阶微分方程的应用研究要比理论研究更为广泛深入。所以在今后的工作中，对分数阶微分方程的基本理论和基本性质进行分析研究更为重要，这对于该方程在实际应用的推广有着更深层次的意义。

【参考文献】

[1]A. Babakhani， V.D. Gejji， Existence of positive solutions of nonlinear fractional differential equations[J]. Math. Anal. Appl.，2003 （278）： 434-442.

[2]田丛丛，张梅. 一类分数阶微分方程边值问题解的存在性[J]. 科学技术与工程，2010.endprint