不识庐山真面目，只缘身在此山中

张忠明

全称量词，特称量词，以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相，成为高考的热点问题.特别是全称量词“任意”和特称量词“存在”与函数情投意合，两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离，难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究.

一、问题探究

问题：已知函数f（x）=2k■x+k，x∈[0，1]，函数g（x）=3x■-2（k■+k+1）x+5，x∈[-1，0]，问当k=2时，对任意x■∈[0，1]，是否存在x■∈[-1，0]，使g（x■）=f（x■）成立.

思路：f（x）的值域是g（x）的值域的子集即可.

变式1：对任意x■∈[0，1]，存在x■∈[-1，0]，使得g（x■）=f（x■）成立，求k的取值范围.

思路：f（x）的值域是g（x）的值域的子集即可.

变式2：存在x■∈[0，1]，x■∈[-1，0]，使得g（x■）=f（x■）成立，求k的取值范围.

思路：g（x）的值域与f（x）的值域的交集非空.

变式3：存在x■∈[0，1]，x■∈[-1，0]，使得g（x■）>f（x■）成立，求k的取值范围.

思路：g■（x）>f■（x）.

变式4：对任意x■∈[0，1]，存在x■∈[-1，0]，使得g（x■）

思路：g■（x）

二、探究结论

结论1：？坌x■∈[a，b]，？坌x■∈[c，d]，f（x■）>g（x■）？圳[f（x）]■>[g（x）]■【如图一】；

结论2：？埚x■∈[a，b]，？埚x■∈[c，d]，f（x■）>g（x■）？圳[f（x）]■>[g（x）]■【如图二】；

结论3：？坌x■∈[a，b]，？埚x■∈[c，d]，f（x■）>g（x■）？圳[f（x）]■>[g（x）]■【如图三】；

结论4：？埚x■∈[a，b]，？坌x■∈[c，d]，f（x■）>g（x■）？圳[f（x）]■>[g（x）]■【如图四】；

结论5：？埚x■∈[a，b]，？埚x■∈[c，d]，f（x■）=g（x■）？圳f（x）的值域和的值域交集不为空【如图五】.

例1：已知函数f（x）=■，■0），若存在x■，x■∈[0，1]，使得f（x■）=g（x■）成立，则实数a的取值范围是（ ）

A. （■，■] B.[1，2） C.■，2 D.1，■

解：设函数f（x）与g（x）在[0，1]上的值域分别为A与B，依题意A∩B≠？准.

当■0，所以f（x）在（■，1]上单调递增，所以f（■）

当0≤x≤■时，f（x）=-■x+■，所以f（x）单调递减，所以f（■）≤f（x）≤f（0），即0≤f（x）≤■.

综上所述，f（x）在[0，1]上的值域A=0，■.

当x∈[0，1]时，■x∈[0，■]，又a>0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g（1），即1-a≤g（x）≤1-■，故g（x）在[0，1]上的值域B=[1-a，1-■].因为A∩B≠？准，所以0≤1-a≤■或0≤1-■≤■，解得■≤a≤2，故应选C.

例2（2010年山东理科22）：已知函数f（x）=lnx-ax+■-1（a∈R），

（1）当a≤■时，讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=x■-2bx+4，当a=■时，若对？坌x■∈（0，2），？埚x■∈[1，2]，使f（x■）≥g（x■），求实数b的取值范围.

解：（1）（解答过程略去，只给出结论）

当a≤0时，函数f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增；

当a=■时，函数f（x）在（0，+∞）内单调递减；

当0

（2）函数的定义域为（0，+∞），

f′（x）=■-a+■=-■，a=■时，由f′（x）=0可得x■=1，x■=3.

因为a=■∈（0，■），x■=3？埸（0，2），结合（1）可知函数f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增，所以f（x）在（0，2）内的最小值为f（1）=-■.

由于“对？坌x■∈（0，2），？埚x■∈[1，2]，使f（x■）≥g（x■）”等價于“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值f（1）=-■”.（※）

又g（x）=（x-b）■+4-b■，x∈[1，2]，所以

①当b<1时，因为[g（x）]■=g（1）=5-2b>0，此时与（※）矛盾；

②当b∈[1，2]时，因为[g（x）]■=4-b■≥0，同样与（※）矛盾；

③当b∈（2，+∞）时，因为[g（x）]■=g（2）=8-4b.

解不等式8-4b≤-■，可得b≥■.

综上，b的取值范围是[■，+∞）.

例3（2012高考真题湖南理22）：

已知函数f（x）=e■-x，其中a≠0.

（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函数f（x）的图像上取定两点A（x■，f（x■）），B（x■，f（x■））（x■k成立？若存在，求x■的取值范围；若不存在，请说明理由.

解（Ⅰ）若a<0，则对一切x>0，f（x）=e■-x<1，这与题设矛盾，又a≠0，

故a>0.

而f′（x）=ae■-1，令f′（x）=0，得x=■ln■.

当x<■ln■时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当x>■ln■时，f′（x）>0，f（x）单调递增.

故当x=■ln■时，f（x）取最小值f（■ln■）=■-■ln■.

于是对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当■-■ln■≥1.①

令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt.

当00，g（t）单调递增；当t>1时，g′（t）<0，g（t）单调递减.

故当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1.因此，当且仅当■=1即a=1时，①式成立.

综上所述，a的取值集合为{1}.

（Ⅱ）由题意知，k=■=■-1.

令φ（x）=f′（x）-k=ae■-■，则

φ（x■）=-■[e■-a（x■-x■）-1]，

φ（x■）=-■[e■-a（x■-x■）-1].

令F（t）=e■-t-1，则F′（t）=e■-1.

当t<0时，F′<0，F（t）单调递减；当t>0时，F′（t）>0，F（t）单调递增.

故当t=0，F（t）>F（0）=0，即e■-t-1>0.

从而e■-a（x■-x■）-1>0，e■-a（x■-x■）-1>0，又■>0，■>0，

所以φ（x■）<0，φ（x■）>0.

因为函数y=φ（x）在区间[x■，x■]上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x■∈（x■，x■）使φ（x■）=0，φ′（x）=a■e■>0，φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且c=■ln■.故当且仅当x∈（■ln■，x■）时，f′（x■）>k.

综上所述，存在x■∈（x■，x■）使f′（x■）>k成立，且x■的取值范围为（■ln■，x■）.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与化归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f（x）取最小值f（■ln■）=■-■-■ln■.对一切x∈R，f（x）≥1恒成立转化为f（x）■≥1，从而得出a的取值集合；第二問在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值进行分析判断.

三、小结

1.解题中要注意数学思想方法的应用，如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.

2.对函数中的存在性与任意性问题，可把相等关系问题转化为函数值域之间的关系问题，不等关系转化为函数的最值问题.那么，任意性与存在性问题就转化为求函数的值域或最值问题.看似复杂的问题就迎刃而解了.