微积分教学中融合数学文化的初步探讨*

陈少军

(闽南理工学院，福建泉州362700)

微积分教学是大学数学教学的基础部分，在整个教学体系中占有十分重要的地位.教好微积分，使学生打好基础，受到良好的数学教育，培养提高创新能力，是高校数学教师必须思考和解决的重大问题.

数学文化对微积分教学的重要作用早已被一些西方数学家所认识.许多数学家都提倡在微积分教学中直接或间接融合数学文化，综合具体的教学实践，融合数学文化是教好微积分的一个有效途径.

1 数学文化对微积分教学的意义和作用

“数学文化”是指数学的思想、方法、观点，以及它们的形成和发展，广泛些说，它还包含数学家、数学史、数学美、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系等.数学不是一系列数字符号的堆砌，其实它还包含着人文精神内涵，它体现了求真、勇敢、合作等人类精神，这些都是人文精神的升华，而这就是一种文化的体现.数学文化是不同于艺术、技术一类的文化，它属于科学的文化.数学文化具有思维性、数量化、实用性和育人性等主要特征，这些决定了数学不仅具有科学的价值，还要有文化的价值.数学的内容、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分.数学文化对于深刻认识数学科学本身，乃至全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义.

数学文化对于微积分教学主要有以下三方面的作用：

(1)对课程设置和教材编写具有指导作用.数学课程的设置和教材编写要注意体现数学的发展趋势.长期以来，我国高校非数学专业的数学基础课都局限于以微积分为主要内容的高等数学.世纪之交，清华大学推出了一套由五本构成的大学数学教材.这是一套让人耳目一新的教材，这套教材中一元微积分被分为两部分，前一部分注重直观，后一部分注重理性思维；复变函数、微分几何及常微分方程作为多元微积分的应用内容出现；几何得到了加强；随机数学被正式列入基础课；以数学实验的方式凸显了数学技术.这套教材较好体现了历史的发展进程，切合当代数学的发展趋势，值得我们关注和研究.

(2)对课堂教学设计有重要的借鉴作用.在数学教学中运用数学文化的最重要的依据之一是历史发展原理，即个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似.根据数学史上的典型错误，我们可以预见到学生在学习相关知识时可能出现的错误，从而采取适当的措施予以避免和纠正.

(3)明确学生的培养目标，提高培养质量.徐利治先生在对20世纪至21世纪数学发展趋势的回顾和展望中指出，21世纪的数学人才，应具备7种能力：代数计算能力、几何直观能力、逻辑推理能力、抽象分析能力、使用电脑能力、数学建模能力和数学审美能力.这些能力要求是对数学专业的学生而言的，对于非数学专业的学生而言，应根据各专业的需要适当降低和减少一些要求.

2 数学文化融入微积分教学的几点做法

(1)融入数学文化以激发学生的学习兴趣.微积分对于提高学生的综合数学素质和运用微积分的理论和方法分析、解决实际问题的能力都具有重要作用，学生学好这门课程对后续的学习、工作和科研十分有益.作为基础课程的微积分理论性强，晦涩难懂，学生的学习兴趣不高.如何培养学生的学习兴趣，提高学习效率，对教师来说，是一个必须面对并且富有挑战性的课题.数学文化首要的就是揭示数学知识的来源和应用，同时对于激发学生学习数学的兴趣也具有重要意义.例如在讲授微积分第一堂课时，可以讲微积分的历史.微积分的一些基本问题的提出和解决，其根源可以追溯到古希腊时期，由于16世纪至17世纪的微积分的先驱工作，才使牛顿、莱布尼茨于17世纪后半叶正式发明微积分，并在18世纪里获得了蓬勃发展，当19世纪的数学家们为这一学科奠定了牢靠的逻辑基础时，古典微积分才基本完成，到了20世纪它又在两个不同的方向上有了新的发展.了解微积分的发展历史，是寻求理解其现在之所以成为这样的重要途径之一.在教学中巧妙地运用相关数学史知识，恰当地结合教材选择有关实例，创设知识情境，能够调节课堂气氛，并且激发学生探讨数学和学习数学的积极性.

(2)融入数学文化拓展学生的知识面.数学来源于生活和生产实践，最后应用于生产实践中，微积分课程也不例外.17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨首先明确地认识到求积问题和做切线问题之间的互逆关系，建立了微积分基本原理，并且系统地总结出一套强有力的无穷小算法.1665～1667年间，牛顿发明了二项式定理，酝酿了微积分原理，提出了万有引力定律，也研究了光的分析.莱布尼茨则是从几何的角度发明了微积分符号，远远优于牛顿的符号，他根据中国的八卦悟出了二进制计数制.可见，微积分不仅仅是数学领域的知识，它还被运用到物理学、哲学、语言学等学科领域.许多近现代兴起的应用数学，如信息论、控制论等都是以微积分作为基础的.在课程中恰当地引入微积分这门课程的背景和历史条件、发展过程和应用领域，能够使学生了解得更多，理解得更好，可以为广泛理解和掌握一般的数学概念和知识打下坚实的基础.

(3)融入数学文化以培养学生的探索精神和创新意识.培养学生的探索精神、创新意识和创新能力是实施素质教育的核心内容，数学教学中数学文化的教学可以帮助学生去了解和掌握更多的解决问题的思路和方法，并在此基础上有所创新.数学家齐民友曾说过：数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神.微积分的发展史是一部不断创新的历史，从萌芽到发展成为一门独立的数学学科，经过了反复推敲，经历了问题——猜想——论证——检验——完善这些过程，一步步成熟起来的.例如微积分中神秘的无穷世界，从哈勒尔、席勒、布莱克3位诗人的诗中提及的无穷到芝诺的悖论，到阿基里斯追龟不及，到飞矢不动，再到希尔伯特的无穷旅店，无穷理论不段发展，不断趋于稳定，这是数学家们不断探索的结果，这些成绩是微积分史上的一次质的飞跃，为微积分在理论上的完善奠定了坚实的基础.通过融入数学文化，教师可以引导学生形成一种探索与研究的习惯，使学生了解和思考“一个问题从产生到解决的过程中，真正创造了些什么”，“哪些思想、方法相对于以往内容有实质性进步”，从而使学生体会到一种生动的、真正的数学思维过程，有利于培养学生的探索精神、创新意识和创新能力.

(4)融入数学文化以培养学生的数学素养和科学精神.微积分是与生活和生产密切相关的一门学科.因此，教学目的不仅要求学生能够掌握微积分的基本知识和运算技能，而且要能在复杂错综的环境中，进行有条理的分析，并形成最后的决策，也就是要求学生具有良好的数学素养.微积分课程许多定义和定理都是以数学家的名字命名的，一些重要定理及其证明，某一数学公式甚至某一数学符号的创造都经常伴有一段不平常的故事.教学中教师恰当地引入数学家的故事，把一些定义、定理和公式的来龙去脉展示给学生，既可以使学生加深印象，又能让学生体会数学精神，即学习数学先驱们百折不挠的毅力，学习他们孜孜不倦、锲而不舍的探索精神，学习他们崇高的理想、顽强的意志和为真理献身的精神，这些精神是教师和学生都应该继承的宝贵遗产.

总之，在教学中让学生学会使用数学专业知识与数学文化总是互补的，学习数学专业知识需要文化知识帮助分析与思考.微积分教学中恰当地融合数学文化，对深刻理解微积分的内容、思想、方法、语言及其应用，帮助学生在学习、研究及应用课程的过程中逐步体会数学的文化价值，增强学生对数学学习的兴趣，培养学生的科学品质，以及提高学生的数学素养都具有重要的现实意义.

［1］顾沛.数学文化［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］克莱因.古今数学思想［M］.上海：上海教育出版社，1979.

［3］汪晓琴.HPM研究的内容与方法［J］.数学教育学报，2006(1)：16-18.