解析几何中的探索性问题

姜湘峰

随着我省新课改的深入进行，开放型题型越来越受到出题者的青睐，更是高考试卷中的常客，而其中探索性问题是解答题的主要呈现方式，那什么是探索性问题？它主要考察什么？由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等，这一类问题称之为探索性问题。也就是说，条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题。本文将以解析几何为切入点对探索性问题作一讨论。

一、题型介绍

（一）结论探索型（有条件而无结论或结论的正确与否需要确定）

1.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足PF1∶F1F2∶PF2=4∶3∶2，則曲线Γ的离心率等于（A）

A.■或■ B.■或2 C.■或2 D.■或■

（二）条件追溯型（针对一个结论，条件未知需探索）

2.若曲线C1∶x2+y2-2x=0与曲线C1∶y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）

A.（-■，■） B.（-■，0）∪（0，■）

C.[-■，■] D.（-∞，■）∪（■，+∞）

分析：曲线y（y-mx-m）=0表示直线y=0或y-mx-m=0，因为y=0与圆有两个交点，故y-mx-m=0也应该与圆有两个交点，由分析可知临界情况即是与圆相切的时候，经求解m=-■和m=■，画图可知m∈-■，0∪0，■

（三）存在判断型（要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立）

3.给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1、Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

分析：①当斜率不存在时，显然不符合题意；

②设所求直线m的方程为：y=k（x-1）+1

∴y=k（x-1）+1x2-■=1消y得（2-k2）x2+（2k2-2k）x+2k-k2-3=0

∴x1+x2=■=2 ∴k=2

代入消y后的方程计算得到：Δ<0，∴满足题中条件的直线m不存在。

二、方法突破

突破口一：特殊值探路，一般化证明

1.关于x，y的方程x2+y2=（xcosθ+ysinθ+2）2（0≤θ≤2π）表示的曲线是 。（只需说明曲线类型）

分析：当θ=0时，整理方程得y2=4（x+1），当θ=■时，整理方程得x2=4（y+1）。

因此可推知该曲线为抛物线。

证明：由上述结果结合抛物线定义，可知■=■=■，即到原点（0，0）的距离与到定直线xcosθ+ysinθ+2=0的距离相等的点的轨迹，也即椭圆。

小结：本题为结论探索型，解题思路力争从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明。

突破口二：等价转化，探求条件

2.在圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且仅有两点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）

A.（4，6） B.[4，6） C.（4，6] D.[4，6]

分析一：可采取特殊值法，将r=4、6分别代入圆的方程进行检验，从而得出答案。

分析二：圆心（3，-5）到直线的距离是5，与直线4x-3y-2=0距离是1的直线有两条：4x-3y-7=0和4x-3y+3=0。圆心到4x-3y-7=0距离为4，到4x-3y+3=0距离是6。如果圆与4x-3y+3=0相交，那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交交点个数多于两个，于是圆上点到4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个，所以圆与4x-3y+3=0不相交。如果圆与4x-3y-7=0的距离d≤1，那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个。所以，圆与4x-3y-7=0相交，与4x-3y+3=0相离，所以4

小结：本题为条件追溯型，解题过程中使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件。

突破口三：假设存在，推理检验

3.已知圆C1∶（x+t）2+y2=5（t>0）和椭圆E∶■+■=1（a>b>0）的一个公共点为B（0，2），F为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B。

（1）求t的值和椭圆E的方程。

（2）圆C上是否存在点M，使△MBF为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题可知，b=2 ∵C（-t，0），B（0，2）， ∴BC=■=■，∴ t=±1，又t>0，∴ t=1

∵BF为圆C的切线，∴圆心C（-1，0）到直线BF的距离等于■，

又lBF ∶2x+cy-2c=0，∴■=■，∴ c2-8c+16=0，■ c=4，

又a2=b2+c2，b=2，∴ a2=20，∴E ∶■+■=1

（2）假设存在点M（x，y），使△MBF为等腰三角形，

则M（x，y）点满足（x+1）2+y2=5①

下面分三种情况讨论：

（1）当BM=BF时，有■=■，即x2+（y-2）2=20②

由①②联立得：x=-2y=-2， ∴M（-2，-2）

（2）当MB=MF时，有■=■，即2x-y=3③

由①③联立得：x=1y=-1， ∴M（1，-1）

（3）当FM=FB时，有■=■，即x2+y2-8x-4=0④

由①④联立得：x=0y=±2， 又B（0，2），∴M（0，-2）

综上所述，圆C上存在点M（-2，-2）或M（1，-1）或M（0，-2），使△MBF为等腰三角形。

三、高考命题展望

1.从历年的高考中分析发现，探索性问题呈现逐年攀升的趋势，可预测今后将会加大开放探索性考题的力度。

2.在近几年高考题中，出现以解析几何、立体几何和函数为背景的结论开放型探索性的解答题，说明这类题型仍将是高考解答题的重点。

3.设计开放探索题，能考查学生的创新意识，特别应鼓励学生创新性的解答，这就反映了学生的创新意识，应该多加鼓励。

？誗编辑 董慧红