迭代下保持不变的自映射

林银河

(丽水学院 理学院, 浙江 丽水 323000)

一个随时间而变化发展的系统,如系统的历史和未来完全由某一指定时刻的状态所确定,则这样的系统就被称为决定性系统[1].动力系统是决定性系统的一种数学模型.设系统所有可能的状态的集合为M.给出初始状态x0∈M之后,系统在时刻t的状态xt就被x0和t所确定了.因而有

xt=F(t,x0),x0,xt∈M,t∈(-∞,+∞),

其中F(t,x)满足F(t,F(s,x))=F(t+s,x)对x∈M和t,s∈(-∞,+∞).若取定t=1,令f(x):=F(1,x),则有

x1=f(x0),x2=f(x1)=f(f(x0)),…,

xn=f(xn-1)=f(f(…f(x0))).

可见通过对映射f的迭代研究,就可以提供系统在未来一串离散时刻的状态变化趋势[1].当f可逆时通过f的逆映射的迭代,还可以追溯系统的历史.映射的迭代是构成离散动力系统的主要内容.在一维动力系统的离散模型中,主要是线段上的映射迭代.自映射的迭代现在已经成为函数方程的重要内容之一[1].自19世纪开始数学家们就关注自映射迭代的研究[2-3],从此之后迭代和迭代根以及迭代方程的研究取得了巨大的成就[4-14].迭代的变化规律是使迭代研究的重要内容之一,本文将讨论在迭代之下保持不变的自映射,给出了这类自映射的充分必要条件.这是一类有趣和重要的自映射,它反映了其所对应的系统在离散取样时不会随时间的变化而改变.同时这类自映射在每个点处的轨道以及周期点都表现出良好的性质.

1 相关概念与结论

若y是u的函数,即y=f(u),而u又是x的函数,即u=g(x),则称y是x的复合函数,记为y=f(g(x))或者y=f∘g(x).

定义1.1[15]设F:X→X是集合X上的一个自映射.n是一个正整数,记

F0(x)=x,Fn=F(Fn-1(x)),

∀x∈X,n=1,2,….

则称Fn为F的n次迭代函数,简称为F的n次迭代,其中n称为迭代指数.

迭代指数有类似数的乘幂的性质[1]:

Fn∘Fm=Fn+m, (Fn)m=Fnm.

由迭代的定义可知若F:X→X是严格递增,那么对任意正整数n,Fn在X上也严格递增;若F:X→X是严格递减,那么对任意正整数n,F2n在X上严格递增但是F2n+1在X上严格递减.

定义1.2[16]设F:X→X是集合X上的一个自映射,ξ∈X.如果存在正整数k,使得Fk(ξ)=ξ,但对一切满足1≤i≤k-1的正整数i,都有Fi(ξ)≠ξ,那么就称ξ是F的一个k-周期点.F的1-周期点简称为F的不动点.因此如ξ是F的一个不动点,即有F(ξ)=ξ,反之亦然.

定义1.3[17]设f为拓扑空间X上的一个同胚,fk为f的k次迭代,分别称集合

Orbf(x)={fk(x):k∈Z},

Orbf+(x)={fk(x):k∈Z+},

Orbf-(x)={f-k(x):k∈Z+}

为f过x∈X的轨道,正半轨和负半轨.

定义1.4[17]设F和f分别是集合X上的自映射,n是一个正整数.如果

fn(x)=F(x), ∀x∈X,

则称f是F在X上的一个n次迭代根,简称f是F的n次迭代根.

定义1.5设F:X→X是集合X上的一个自映射.若存在正整数n使得

Fn(x)=F(x), ∀x∈X,

(1)

则称F在X上n次迭代保持不变.

设F:X→X是集合X上的一个自映射.由定义容易知道:

(i)F在X上1次迭代自然保持不变;

2 相关讨论

在以下讨论中,记X:=[0,1],F:X→X是一个连续自映射.集合S⊂X,F|S表示F在S上的限制.

定理2.1设F:X→X是严格单调的.则存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变的充分必要条件是下列条件之一成立：

(i)F(x)=x,∀x∈X;

(ii)F2(x)=x,∀x∈X.

证明首先考虑充分性.当条件(i)成立时,自然地,对任意正整数n,都有(1)式成立,即F在X上任意次迭代保持不变.当条件(ii)成立时,那么对正整数n=3,(1)式成立.从而对任意正整数k,

F2k+1(x)=F2k-1(x)=…=F3(x)=F(x),

∀x∈X.

因此F在X上任意奇数次迭代保持不变.充分性得证.

以下证明必要性,将分F在X上是严格递增和严格递减进行讨论.

当F在X上是严格递增时,用反证法假设存在x0∈X使得F(x0)≠x0.不妨设F(x0)>x0,从而有

Fi+1(x0)>Fi(x0),i=1,2,…,n-1.

由此自然地推出Fn(x0)>F(x0),这和F在X上n次迭代保持不变矛盾.类似地,当F(x0)

当F在X上是严格递增减时,令G:=F2,那么G是X上的严格递增自映射.由此

Gn(x)=(F2)n(x)=F2n(x)=

(Fn)2(x)=F2(x)=G(x), ∀x∈X,

即G在X上也n次迭代保持不变.由上述已经证明的结果可得

F2(x)=G(x)=x, ∀x∈X.

由此可得条件(ii)成立.必要性证毕.

由上述定理2.1可得以下推论:

推论2.1设F:X→X是严格单调的,并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么必有F(X)=X.

推论2.2(i) 若F在X上是严格递增并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么

∀x∈X.

(ii) 若F在X上是严格递减并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么

其中ξ是F在X上的唯一不动点.

推论2.3(i) 若F在X上是严格递增并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么对任意正整数k,F在X上k次迭代保持不变.

(ii) 若F在X上是严格递减并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么n一定是奇数,并且对任意奇数k,F在X上k次迭代保持不变.

推论2.4(i) 若F在X上是严格递增并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么F是唯一的并且它的图形是对角线{(x,x):x∈X}.

(ii) 若F在X上是严格递减并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么F有无限多并且它的图像关于对角线{(x,x):x∈X}对称,即每一个这样的F都是X上的对合函数.

推论2.1～2.4能从定理2.1直接可以得到,因此它们的证明不再琐述.

定理2.2设F:X→X是非严格单调的,那么存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变的充分必要条件是下列条件之一成立：

(i)F(x)=m,∀x∈X;

(ii)F(x)=x,∀x∈[m,M];

(iii)F2(x)=x,∀x∈[m,M],

其中m=min{F(x):x∈X},M=max{F(x):x∈X}.

证明首先证明必要性.假设条件(i)不成立.那么有m

F([m,M])⊂F(X)⊂[m,M],

所以F在[m,M]上是一个自映射.以下证明F|[m,M]是一个严格单调映射.即只要证明

F(y1)≠F(y2), ∀y1,y2∈[m,M],y1≠y2.

(2)

(3)

那么由(2)和(3)式可以推出

以下证明充分性.首先考虑m=M,即条件(i)成立.那么对一切正整数n,都有

Fn(x)=m=F(x), ∀x∈X,

即F在X上n次迭代保持不变.

现在假设条件(ii)成立.因为对∀x∈X,都有F(x)∈[m,M].因此由条件(ii)可得

F2(x)=F(F(x))=F(x).

这表明F在X上2次迭代保持不变.自然地,对一切正整数k,F在X上也有k次迭代保持不变.

最后假设条件(iii)成立.那么对∀x∈X都有

F3(x)=F2(F(x))=F(x).

因此F在X上3次迭代保持不变.从而对一切奇数k,F在X上也有k次迭代保持不变.充分性证毕.

图1 F 是常值Fig. 1 F is constant

图2 F 在F(I)上严格递增Fig. 2 F is strictly increasing on F(I)

图3 F 在F(I)上严格递减Fig. 3 F is strictly decreasing on F(I)

由定理3.2可以直接得到如下推论：

推论2.5设F:X→X是非严格单调的,并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么

(i)F([m,M])=[m,M]并且或者F([m,M])是单点集,或者F|[m,M]严格单调;

(ii) 当m=M时有

(iii) 当m

(iv) 当m

从几何上看由定理2.2可得若F:X→X是非严格单调并且存在正整数n>1使得F在X上n次迭代保持不变,那么F在X上的图形必为图1～3的3种情形之一.

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