一类不可微多目标分式规划问题的最优性条件

张晓敏, 吴泽忠

(成都信息工程学院 数学学院, 四川 成都 610225)

1 预备知识

在F-凸[1]和ρ-凸[2]的基础上,V. Preda[3]提出(F,ρ)-凸的概念,并获得一些结果,是F- 凸和ρ- 凸的扩展;Z. A. Liang等[4]提出(F,α,ρ,d)- 凸的概念,进一步扩展了(F,ρ)-凸;文献[5]在(F,α,ρ,d)-凸的基础上,提出了广义(F,α,ρ,d)- 凸的概念.

在不同的凸性假设下,已得到一些成果[1,3,6-19],但是在微分概念基础上的非线性规划理论和算法不再适用于非光滑最优化问题,对于非光滑最优化问题也已得出一些结论[20-31]. 本文在非光滑(F,α,ρ,d)-凸函数的基础上给出广义非光滑(F,α,ρ,d)- 凸函数的定义,在这些弱化的凸性的假设下得出一类不可微多目标分式规划问题的最优性条件.

考虑多目标分式规划问题(MFP)

其中,fi:Rn→R,gi:Rn→R,i=1,2,…,p,hj:Rn→R,j=1,2,…,m,都是局部Lipschitz函数,并假设在Rn上,fi(x)≥0,gi(x)>0,i=1,2,…,p.称S={x∈Rn|hj(x)≤0,j=1,2,…,m}为(MFP)的可行集.

本节中约定∀x,y∈Rn,x>y⟺xi>yi,i=1,2,…,n;x≥y⟺xi≥yi,i=1,2,…,n[13].

定义3[30]如果f:Rn→R在x∈Rn上是局部Lipschitz函数,则f在x∈Rn沿方向d∈Rn的广义导数,记为f0(x;d),定义为

定义4[30]设f:Rn→R是局部Lipschitz函数,f在x∈Rn处的广义Clarke梯度定义为∂f(x),记∂f(x)={ξ∈Rn:f0(x;d)≥ξTd,∀d∈Rn}.

定义5[30-31]设f:Rn→R是Lipschitz的,d∈Rn,称f在x∈Rn处正则,如果f在x∈Rn处是方向可微的,且f0(x;d)=f′(x;d).

定义6[3]称函数F:Rn×Rn×Rn→R为次线性函数,如果∀x,x0∈X0有

F(x,x0;a1+a2)≤F(x,x0;a1)+

F(x,x0;a2), ∀a1,a2∈Rn,

F(x,x0;αa)=αF(x,x0;a),

∀α∈R,α≥0, ∀a∈Rn.

特别地

F(x,x0;0)=F(x,x0;0a)=0×F(x,x0;a),

0∈R, 0∈Rn, ∀a∈Rn.

定义7[29]设F:Rn×Rn×Rn→R是次线性函数,函数f:Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的,α:Rn×Rn→R+{0},ρ∈R,d:Rn×Rn→R.称函数f在x0是非光滑(F,α,ρ,d)-凸函数,如果对∀ξ∈∂f(x0),对所有的x∈Rn有

f(x)-f(x0)≥F(x,x0;α(x,x0)ξ)+ρd2(x,x0).

如果函数f在Rn上每一点都是非光滑(F,α,ρ,d)-凸函数,则称f在Rn上是非光滑(F,α,ρ,d)-凸函数.

定义8如果f(x)

定义9如果f(x)≤f(x0)⟹F(x,x0;α(x,x0)ξ)≤-ρd2(x,x0),则称f在x0∈X是非光滑强(F,α,ρ,d)-伪凸函数.

定义10如果f(x)≤f(x0)⟹F(x,x0;α(x,x0)ξ)<-ρd2(x,x0),则称f在x0∈X是非光滑弱严格(F,α,ρ,d)-伪凸函数.

2 最优性条件

在点x0∈Rn定义集合J*={j∈J∣hj(x0=0)},J={1,2,…,m}.

约束规格在点x0,Ω0≠Ø.

引理1[30]设f1,f2:Rn→R在x处是Lipschitz的,如果f1(x)≥0,f2(x)>0,f1-f2在x处正则,则

证明由f-vge:=(f1-v1g1,…,fp-vpgp)在x0∈X是非光滑(F,α,ρ,d)-伪凸函数得

fi(x)-vigi(x)

又由τ>0,αi(x,x0)>0,

⟹

⟹

定理2设(x0,τ,λ)∈Rn×Rp×Rm满足

λjhj(x0)=0,j=1,2,…,m,

(2)

τ>0,λ≥0,

(3)

对所有的i=1,2,…,p,fi(x)-vigi(x)≤fi(x0)-vigi(x0);

对其中某些k,fi(x)-vigi(x)

(5)

又h在x0∈X是非光滑(F,α″,ρ″,d″)-凸函数,有

(6)

所以

(7)

(7)+(8)式得

即

那么x0是(MFP)的有效解.

证明只需改变定理2的证明中的关于函数h的部分.

由h在x0∈X是非光滑(F,α″,ρ″,d″)-伪凸函数(或非光滑弱严格(F,α″,ρ″,d″)-伪凸函数),及hj(x)≤0,hj(x0)=0得hj(x)≤hj(x0),故

即(6)式,余下证明与定理2相同.

(9)

如果fi、-gi(i=1,…,p)在x0是非光滑(F,α1i,ρ1i,d1i)-凸函数,hj(j=1,…,m)在x0是非光滑强(F,α2j,ρ2j,d2j)-伪凸函数,且

(11)

假设x0不是(MFP)的有效解,则存在(MFP)的有效解x使得

至少有一个不等式严格成立.

至少有一个不等式严格成立.

又τ>0,所以

由F的次线性性得

由hj(j=1,…,m)在x0是非光滑强(F,α2j,ρ2j,d2j)-伪凸函数,及hj(x)≤0,hj(x0)=0,有hj(x)≤hj(x0),故

又λj≥0,α2j(x,x0)>0及F的次线性性可得

即

(12)+(13)式得

显然与(10)式矛盾.

证明只需改变定理4证明中的关于函数h的部分.

由hj(j=1,…,m)在x0是非光滑弱严格(F,α2j,ρ2j,d2j)-伪凸函数,及hj(x)≤0,hj(x0)=0,有hj(x)≤hj(x0),故

又λj≥0,α2j(x,x0)>0及F的次线性性可得

即得(13)式,其余部分的证明与定理4相同.

致谢成都信息工程学院引进人才项目(KYTZ201203)和成都信息工程学院中青年学术带头人科研基金(J201218)对本文给予了资助,谨致谢意.

[1] Gulati T R, Islam M A. Sufficiency and duality in multi-objective programming problems involving generalizedF-convex functions[J]. J Math Anal Appl,1994,183:181-195.

[2] Vial J P. Strong and weak convexity set and functions[J]. Math Oper Res,1983,8:231-259.

[3] Preda V. On efficiency and duality for multi-objective programs[J]. JMAA,1992,166:365-377.

[4] Liang Z A, Huang H X, Pardalos P M. Optimality conditions and duality for a class of nonlinear fractional programming problems[J].J Opt Theory Appl,2001,110:611-619.

[5] 吴泽忠,李泽民. 广义(F,α,ρ,d)-凸条件下多目标规划问题的最优性充分条件[J]. 经济数学,2002,19(4):90-94.

[6] Weir T , Mond B. Generalized convexity and duality in multi-objective programming[J]. Bull Austral Math Soc,1989,39:287-299.

[7] Egudo R. Efficiency and generalized convex duality for multi-objective programs [J]. J Math Anal Appl,1989,138:84-94.

[8] 曾德胜,吴泽忠. 一类多目标分式规划问题的最优性条件[J]. 四川大学学报:自然科学版,2006,43(4):751-756.

[9] 吴泽忠,郑丰华. 一类非线性分式规划问题的最优性条件和对偶[J]. 四川师范大学学报:自然科学版,2007,30(5):594-597.

[10] 吴传平. 多目标数学规划解的一些新的充要条件[J]. 重庆文理学院学报:自然科学版,2011,30(4):9-11.

[11] 李瑞华,主雪梅. 广义凸规划问题的最优性条件[J]. 绵阳师范学院学报:自然科学版,2010,2(29):15-18.

[12] 李动锋,邱根胜. 一种新广义凸多目标分式规划的最优性充分条件[J]. 纯粹数学与应用数学,2009,25(4):807-815.

[13] 彭再云,雷鸣,刘亚威,等. 一类可微凸多目标分式规划的最优性条件[J]. 重庆交通大学学报:自然科学版,2009,28(1):156-158.

[14] 吴泽忠. (F,α,ρ,d)-凸性下一类多目标分式规划问题的最优性条件和对偶[J]. 四川大学学报:自然科学版,2009,46(6):1623-1627.

[15] 江维琼,吴春. 广义(F,α,ρ,d)-凸性条件下多目标分式规划问题的K-T条件及对偶[J]. 黄冈师范学院学报,2006,26(3):11-27.

[16] Cambini A, Martein L. Generalized Convexity and Optimization[M]. Berlin,Heideberg:Spriner-Verlag,2008:78-81.

[17] 林锉云,董加礼. 多目标优化的方法与理论[M]. 长春:吉林教育出版社,1992:1-449.

[18] 曾德胜,吴泽忠. (F,α,ρ,d)-凸和广义(F,α,ρ,d)-凸性下一类多目标规划问题的对偶[J]. 四川师范大学学报:自然科学版,2006,29(1):63-66.

[19] 张晓敏,吴泽忠. (F,α,ρ,d)-凸和广义(F,α,ρ,d)-凸条件下一类多目标规划问题的对偶[J]. 成都信息工程学院学报,2012,27(3):318-325.

[20] Liu J C. Optimality and duality for generalized fractional programming involving nonsmooth (F,P)-convex functions[J]. Comput Math Appl,1996,32:91-102.

[21] 罗勇,姚元金. 一类非凸非光滑多目标分式规划的最优性条件[J]. 湖北民族学院学报:自然科学版,2009,27(4):398-402.

[22] 颜丽佳. 非光滑(F,α,ρ,d)-凸函数的多目标分式规划最优性条件[J]. 西华师范大学学报:自然科学版,2006,27(4):361-364.

[23] 颜丽佳. 关于非光滑(F,α,ρ,d)-凸函数的多目标分式规划的对偶性[J]. 西华师范大学学报:自然科学版,2008,29(1):24-28.

[24] Zhao K Q, Tang L P, Yang X M. Optimality and duality for a class of non-smooth optimization problems[J]. OR Transactions,2010,14(2):45-54.

[25] 赵克全,唐莉萍. 一类不可微多目标分式规划问题的最优性条件[J]. 重庆师范大学学报:自然科学版,2010,27(4):1-4.

[26] 唐莉萍,蒋华, 赵克全,等. 一类非光滑规划问题的混合对偶[J]. 四川师范大学学报:自然科学版,2011,34(1):34-37.

[27] Zheng X J, Cheng L. Minimax fractional programming under non-smooth generalized (s,ρ,θ) -d-univexity[J]. J Math Anal Appl,2007,328:676-689.

[28] 姜艳,张庆祥. 一类不可微凸多目标规划解的最优性充分条件[J]. 延安大学学报:自然科学版,2010,29(1):17-21.

[29] Liu S M, Feng E M. Optimality conditions and duality for a class of nondifferentiable multi-objective fractional programming problems[J]. J Glob Optim,2007,38:653-666.

[30] Clarke F H. Optimization and Nonsmooth Analysis[M]. New York:Wiley-Interscience,1983.

[31] 赵克全,罗杰,唐莉萍. 一类非光滑规划问题的最优性条件[J]. 重庆师范大学学报:自然科学版,2010,27(2):1-3.