高中阶段二次函数的理解与应用

钟海锋

摘要：二次函数的概念问题是最基础的问题，二次函数解析式的应用、二次函数单调性、和值域问题以及在方程方面的运用是二次函数应用的基本问题，本文分析了二次函数与函数相关的一些典型例题.

关键词：二次函数应用

在高中阶段，二次函数不仅是数学教学的重点及难点，也是高考的重点，同时它也是连接其他知识系统的关键.本文重点对二次函数定义的理解与应用进行探讨.

一、二次函数的定义及理解

二次函数表达式的右边通常为二次三项式，即y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，函数的开口方向由a决定，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大.）

高中阶段的二次函数与初中阶段的二次函数不太一样，高中阶段的二次函数是建立在集合和映射的基础上的，二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f∶A→B使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.

例1已知f（x）=3x2-9x+11，求f（x+3）.

这里不能将f（x+3）理解为x=x+3时函数值，只能理解为自变量为x+3的函数值.

例2设f（x+3）=3x2-x+1，求f（x）.

这个问题理解为已知对应法则下，定义域中元素x+3的象是3x2-2x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则.一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+3的多项式.

f（x+3）=3x2-x+1=3（x+3）2-9（x+3）+11.

再用x=x+3得到f（x）=3x2-9x+11.

（2）变量代换.这种方法可以通用，可以使用一般的函数.

令t=x+3，则x=t-3，所以f（t）=3（t-3）2-9（t-2）+11，从而得出f（x）=3x2-9x+11.

二、二次函数解析式的应用

1.解析式问题

解答函数解析式问题的方法有待定系数法、换元法、配凑法、消元法等.

例3求一次函数f（x），使得f{f（x）}=8x+7.

分析：在解答本题时，用待定系数法，当所求的函数是已知的函数类型时，用此方法，一次函数的基本型为f（x）=ax+b.

解：设解析式为f（x）=ax+b.

则f[f（x）]=a[f（x）+b]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b.

同理，f{f[f（x）]}=a3x+a2b+ab+b.

即a3x+a2b+ab+b =8x+b，则a2b+ab+b=7.（1）

a3=8.（2）

由（1）（2）解得：a=2，b=1.

所以f（x）=2x+1.

2.单调性、值域的应用

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞，-b2a及-b2a，+∞上的单调性用定义去严格的论证，充分利用函数图象的直观性，增加适当的练习题进行练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性.

例4已知函数f（1-x2）=log2x2（2-x2），求：（1）f（x）的解析式及定义域.（2）判定f（x）的单调性.

解：（1）令1-x2=t，则x2=1-t.

所以f（t）=log2（1-t）（1+t）=log2（1-t2）.

即f（x）=log2（1-x2）.

由1-x2>0解得-1

所以f（x）=log2（1-x2）（-1

（2）①设-1

所以1-x12<1-x22，log2（1-x12）

即f（x1）-f（x2）=log2（1-x12） -log2（1-x22） <0.

所以函数f（x）=log2（1-x2）在区间（-1，0）上是增函数.

②设0≤x10.

∴1-x12>1-x22，log2（1-x12） >log2（1-x22）.

即f（x1）-f（x2）=log2（1-x12） -log2（1-x22）>0.

所以函数f（x）=log2（1-x2）在区间（0，1）上是减函数.

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.

例5求函数y=4x-5+2x-3的值域.

错解：令t=2x-3，则2x=t2+3.

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+14）2+78≥78.

故所求的函数值域是[78，+∞）.

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便能体现出良好的思维批判性.

3.二次函数在方程方面的应用

例6已知含参数的一元二次方程的根在某区间，求参数范围.

分析：可借助二次函数的图象.

解：设f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程ax2+bx+c=0的两根为α，β（α≤β），m，n为常数且n

（1）α，β分居两区间时，只需考虑端点函数值的符号.

如α∈（-∞，m），β∈（m，+∞）f（m）<0，

α∈（-∞，n），β∈（m，+∞）f（n）<0且f（m）<0.

（2）α，β位于同一区间时，不但要考虑端点函数值符号，还要考虑Δ≥0及-b2a的范围.如α，β∈（m，+∞）f（m）>0，

-b2a>m，

△=b2-4ac≥0，α，β∈（n，m）f（m）>0，

f（n）>0，

△=b2-4ac≥0

n<-b2a

，α，β∈（-∞，n）f（n）>0，

-b2a

△=b2-4ac≥0..

例7已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1<2-1；

（2）如果|x1|<2，|x2-x1|=2，求b的取值范围.

分析：本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考查根的分布等综合运用所学知识的能力.

解：（1）设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1（a>0）.

由条件x1<20.

即4a+2b-1<0，

16a+4b-3>0，解得34-4a

显然必有34-4a<12-2a，得a>18.②

①÷（-2a）得：2-38a>-b2a>1-14a.

故x0=-b2a>1-14a>-1.结论成立.

（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0可得x1·x2=1a>0.

∴x1，x2同号.

若0

∴x2=x1+2>2.

∴g（2）<0，即4a+2b-1<0.③

又（x2-x1）2=（b-1）2a2-4a=4，

∴2a+1=（b-1）2+1. （∵a>0，负根舍去）

代入③式可得，2（b-1）2+1<3-2b ，解得b<14.

若-2

∴g（-2）<0，即4a-2b+3<0.④

又2a+1=（b-1）2+1代入④式，

得2（b-1）2+1<2b-1，解得b>74.

综上，当074.

总之，二次函数是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，从中学数学教材来看，二次函数占有及其重要的地位，无论是在代数中还是解析几何中，使用二次函数解答的机会非常多.将二次函数作为载体，构建数形结合思想、分类讨论的思想、等价转换的思想.

参考文献

周小峰.高中二次函数的教学探微.[J].考试教研版.2007（04）.

周建涛.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学与教学通讯.2005（12）.

康宜建.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学教学研究.2004（04）.

储一平.二次函数——数学[M] 中学生数理化（高三版）.2003（03）.

3.二次函数在方程方面的应用

例6已知含参数的一元二次方程的根在某区间，求参数范围.

分析：可借助二次函数的图象.

解：设f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程ax2+bx+c=0的两根为α，β（α≤β），m，n为常数且n

（1）α，β分居两区间时，只需考虑端点函数值的符号.

如α∈（-∞，m），β∈（m，+∞）f（m）<0，

α∈（-∞，n），β∈（m，+∞）f（n）<0且f（m）<0.

（2）α，β位于同一区间时，不但要考虑端点函数值符号，还要考虑Δ≥0及-b2a的范围.如α，β∈（m，+∞）f（m）>0，

-b2a>m，

△=b2-4ac≥0，α，β∈（n，m）f（m）>0，

f（n）>0，

△=b2-4ac≥0

n<-b2a

，α，β∈（-∞，n）f（n）>0，

-b2a

△=b2-4ac≥0..

例7已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1<2-1；

（2）如果|x1|<2，|x2-x1|=2，求b的取值范围.

分析：本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考查根的分布等综合运用所学知识的能力.

解：（1）设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1（a>0）.

由条件x1<20.

即4a+2b-1<0，

16a+4b-3>0，解得34-4a

显然必有34-4a<12-2a，得a>18.②

①÷（-2a）得：2-38a>-b2a>1-14a.

故x0=-b2a>1-14a>-1.结论成立.

（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0可得x1·x2=1a>0.

∴x1，x2同号.

若0

∴x2=x1+2>2.

∴g（2）<0，即4a+2b-1<0.③

又（x2-x1）2=（b-1）2a2-4a=4，

∴2a+1=（b-1）2+1. （∵a>0，负根舍去）

代入③式可得，2（b-1）2+1<3-2b ，解得b<14.

若-2

∴g（-2）<0，即4a-2b+3<0.④

又2a+1=（b-1）2+1代入④式，

得2（b-1）2+1<2b-1，解得b>74.

综上，当074.

总之，二次函数是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，从中学数学教材来看，二次函数占有及其重要的地位，无论是在代数中还是解析几何中，使用二次函数解答的机会非常多.将二次函数作为载体，构建数形结合思想、分类讨论的思想、等价转换的思想.

参考文献

周小峰.高中二次函数的教学探微.[J].考试教研版.2007（04）.

周建涛.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学与教学通讯.2005（12）.

康宜建.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学教学研究.2004（04）.

储一平.二次函数——数学[M] 中学生数理化（高三版）.2003（03）.

3.二次函数在方程方面的应用

例6已知含参数的一元二次方程的根在某区间，求参数范围.

分析：可借助二次函数的图象.

解：设f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程ax2+bx+c=0的两根为α，β（α≤β），m，n为常数且n

（1）α，β分居两区间时，只需考虑端点函数值的符号.

如α∈（-∞，m），β∈（m，+∞）f（m）<0，

α∈（-∞，n），β∈（m，+∞）f（n）<0且f（m）<0.

（2）α，β位于同一区间时，不但要考虑端点函数值符号，还要考虑Δ≥0及-b2a的范围.如α，β∈（m，+∞）f（m）>0，

-b2a>m，

△=b2-4ac≥0，α，β∈（n，m）f（m）>0，

f（n）>0，

△=b2-4ac≥0

n<-b2a

，α，β∈（-∞，n）f（n）>0，

-b2a

△=b2-4ac≥0..

例7已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1<2-1；

（2）如果|x1|<2，|x2-x1|=2，求b的取值范围.

分析：本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考查根的分布等综合运用所学知识的能力.

解：（1）设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1（a>0）.

由条件x1<20.

即4a+2b-1<0，

16a+4b-3>0，解得34-4a

显然必有34-4a<12-2a，得a>18.②

①÷（-2a）得：2-38a>-b2a>1-14a.

故x0=-b2a>1-14a>-1.结论成立.

（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0可得x1·x2=1a>0.

∴x1，x2同号.

若0

∴x2=x1+2>2.

∴g（2）<0，即4a+2b-1<0.③

又（x2-x1）2=（b-1）2a2-4a=4，

∴2a+1=（b-1）2+1. （∵a>0，负根舍去）

代入③式可得，2（b-1）2+1<3-2b ，解得b<14.

若-2

∴g（-2）<0，即4a-2b+3<0.④

又2a+1=（b-1）2+1代入④式，

得2（b-1）2+1<2b-1，解得b>74.

综上，当074.

总之，二次函数是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，从中学数学教材来看，二次函数占有及其重要的地位，无论是在代数中还是解析几何中，使用二次函数解答的机会非常多.将二次函数作为载体，构建数形结合思想、分类讨论的思想、等价转换的思想.

参考文献

周小峰.高中二次函数的教学探微.[J].考试教研版.2007（04）.

周建涛.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学与教学通讯.2005（12）.

康宜建.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学教学研究.2004（04）.

储一平.二次函数——数学[M] 中学生数理化（高三版）.2003（03）.