基于压缩感知的气象雷达回波压缩采样与重建

刘 露，何建新，曾强宇

(成都信息工程学院电子工程学院，四川成都610225)

0 引言

气象雷达是专门用于大气探测的雷达，其探测目标一般是雨滴、云等降水粒子。气象雷达回波有助于确定探测目标的强度、相对速度、空间位置等宏观特征以及各种物理特征。由于雷达的分辨率越高，其获取的分辨单元越小，探测目标的精度越高。因此高分辨雷达是未来气象雷达的发展方向。受限于Nyquist采样定理，传统气象雷达提高分辨率，将面临采样率过高、数据存储空间过大等问题。

针对上述问题，将压缩感知(Compressed Sensing or Compressive Sampling，CS)理论应用于气象雷达信号处理中，即用较低的采样率对气象回波信号进行采样，最后运用重建算法高概率恢复出原始回波信号。2007年CS理论首次被引入到高分辨雷达信号处理[1]。Herman[2]提出基于压缩感知的高分辨率雷达的工作原理，说明当目标信号在某种域中满足稀疏性或可压缩性时，可以将目标信号在某种基下进行转换，转换后的信号保留了原始信号的信息，用较低采样率就可以重建原始信号。在此基础之上，潘汇[3]提出一种基于压缩感知的脉冲体制雷达信号处理方案，该方案有别于传统雷达的处理方式，能够在低采样频率条件下获取更高的时频分辨率。张玉玺[4]提出一种新的基于压缩感知理论的多普勒解模糊处理方法，可实现PRF分组参差方式下对多个目标的解多普勒模糊处理。

将CS理论应用于气象雷达信号处理中有望简化气象雷达接收机硬件的成本，提高气象雷达的分辨率，减少数据的存储量和传输量，加快数据处理速率等。然而，将CS理论应用于气象雷达信号处理中的研究却相对较少，就高分辨率气象雷达而言，CS理论的应用还是一个新的研究方向。基于压缩感知理论，重点研究了CS理论应用于气象雷达中的关键技术，主要有气象雷达原始回波信号的稀疏化、非相干测量和重建。建立了基于CS理论的气象雷达回波信号压缩采样与重建的过程，并用实测的回波数据仿真了该过程。结果表明CS理论有助于气象雷达突破传统采样定理的限制，在较低采样率下重建出高分辨率回波信号。

1 压缩感知的基本原理

气象雷达原始回波信号在某个变换域或稀疏字典中被判定具有稀疏性，则将回波信号投影到该变换域中转变为稀疏信号，然后对该稀疏信号进行非相干测量得到维数远低于原始回波信号维数的观测信号，通过求解优化问题重建出变换域中的稀疏信号，最后重建的稀疏信号经逆变换恢复出气象雷达原始回波信号。具体可表示如下:

设 ψ = {ψi| ψi∈ RN×1，i=1，2，…，N } 是一组正交矩阵，一维气象雷达原始回波信号可表示为x∈RN×1，如果x在Ψ对应的变换域具有稀疏性，则x可表示为:

如果θ=ψ－1x=(θ1，θ2，…，θN)T有K(K＜＜N)个非零值，那么x在Ψ域是K稀疏的。压缩感知理论指出，当x在某组变换基Ψ上稀疏时，将x进行随机测量得到压缩测量值y= (y1，y2，…，yM)T，M＜N，即:

式中θ是x在Ψ域的稀疏系数，Φ是随机观测矩阵，Θ是感知矩阵。式(2)表示在变换域中，由高维稀疏信号获取低维观测信号的过程。由于M＜N，因此由y重构θ是一个病态问题，不能直接求解，可以转化为最优化问题，在L1范数下来解，如式(3)所示，

注意Θ必须满足有限等距离性质(Restricted Isometry Property，RIP)，即保证Θ不会将任意2个不同的K稀疏信号θ映射到同一个观测集合y中，才可以保证θ被高概率重构出来。最后，重构的θ经相应的逆变换即可恢复原始回波信号x。依据压缩感知理论的基本原理，文中重点研究气象雷达原始回波信号的稀疏分析、非相干测量及重建问题。

2 基于压缩感知的气象雷达回波信号压缩采样与重建

图1展示了基于CS理论，气象雷达回波信号的压缩采样与重建过程。

图1 气象雷达回波信号的压缩采样与重建过程

首先，基于离散小波变换(Discrete Wavelet Transform，DWT)对气象雷达原始回波信号进行稀疏分解，获取信号的高频系数和低频系数，由于低频系数的稀疏度依旧很高，为保证最终的重建效果因此只对高频系数进行非相干测量，然后运用正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法重建高频系数，最后结合低频系数经离散小波逆变换(Inverse Discrete Wavelet Transform，IDWT)后，恢复气象雷达原始回波信号。

2.1 气象雷达原始回波信号的稀疏分析

一般而言，在探测范围内降水粒子的强度、分布具有一定的离散性，图2举例说明气象雷达实测原始回波体扫中一个PPI数据的稀疏情况。

图2 气象雷达在不同天气过程下实测的原始回波信号的稀疏情况

图2(a)是某次龙卷风天气中，气象雷达实测的原始回波体扫中一个PPI数据的稀疏情况，图2(b)则是某次台风中实测回波数据的稀疏情况。由此可知，气象雷达回波信号在空时域一般具有稀疏性，满足CS理论应用的前提条件，即原始信号在某个变换域具有稀疏性。虽然，原始回波信号在空时域已经具有稀疏性，但稀疏度较低。为了进一步提高稀疏度，将原始回波信号投影的某个变换域，完成气象雷达原始回波信号的稀疏分解。

小波变换(Wavelet Transform，WT)是一种信号的时间尺度分析方法，利用WT的伸缩和平移等特性对任意信号进行多尺度的细化分析，并且在时域和频域都能对信号进行局部化分析。WT具备压缩比高、速度快、抗干扰等优点。小波变换包括连续小波变换(Continuous Wavelet Transform，CWT)和离散小波变换，由于CWT的计算量很大，在实际工程中，不宜实现，因此必须加以离散化，即对尺度参数a、平移参数b进行离散化[9－10]。研究证明[11]，离散小波变换快速Mallat算法使小波变换在雷达信号处理中的应用成为可能。离散小波变换可以对气象雷达回波信号进行时频联合分析，其表达回波信号局部特征的能力较强，并且能实现原始回波信号的降维。

图3 气象雷达原始回波信号经DWT后的稀疏情况

图3分别展示了龙卷风和台风中，雷达探测的2组PPI原始回波信号经DWT所得的4个系数分量及其稀疏情况。其中，4个系数分量分别是原始回波信号的近似系数A、水平细节系数H、垂直细节系数V和对角细节系数D:A是原始回波信号先后在水平和垂直方向上经过低通滤波的结果，它是原始回波信号能量的集中频带，具有较大的数值;H是原始回波信号先后经过水平低通滤波和垂直高通滤波的结果，它反映了原始回波信号在水平方向上的变化信息和边缘信息;V是原始回波信号先后经过水平高通滤波和垂直低通滤波的结果，它反映了原始回波信号在垂直方向上的灰度变化信息和边缘信息;D是原始回波信号先后在水平和垂直方向上都经过高通滤波的结果，它反映了水平方向和垂直方向原始回波信号灰度的综合变化信息，同时包含少量的边缘信息。另外A又被称为小波低频系数分量，H、V和D则被称为小波高频系数分量。经分析各个分量的稀疏情况可知，低频系数的稀疏度相比原始回波信号明显提高，高频系数则更加稀疏。研究表明[12]，原始信号的小波高频系数具有较强的稀疏性，经过压缩感知算法可以得到数据量大大减少的观测序列，并且可以由这些观测序列高概率重构高频系数分量。

2.2 小波高频系数的非相干测量

鉴于小波高频系数的稀疏度远高于低频系数的稀疏度，同时根据降水粒子的电磁散射特性，气象雷达脉冲响应在高频区域可以被少数重要的散射中心刻画。因此，只需对小波高频系数进行非相干测量。

图3说明了气象雷达原始回波信号的小波高频系数分量是K稀疏的，基于压缩感知的基本原理，可得小波高频系数的压缩感知原理如下:

假设ρ=(ρ1，ρ2，…，ρN)T是气象雷达原始回波信号的小波高频系数分量，稀疏度为K，将ρ进行非相干测量得到观测值u=(u1，u2，…，uM)T，即:

式(4)中Φ是测量矩阵，I是单位矩阵，Θ0是感知矩阵。由于ρ已经是K稀疏的，所以不必ρ进行稀疏化，即稀疏变换矩阵由单位矩阵代替。式(4)说明了由原始回波信号的小波高频系数获取低维观测值的过程。其中，测量矩阵Φ将直接影响小波高频系数所需的采样数以及能否高概率重建高频系数。

高斯随机矩阵是典型的一致同分布随机矩阵，能以极高概率满足RIP条件。基于高斯随机矩阵的非相干测量不仅可以对小波高频系数进行压缩测量，又保证了信息在采样过程中不被破坏。因此，选用高斯随机矩阵作为测量矩阵。

2.3 原始回波信号的重建

重建原始回波信号指的是由观测值u重建原始回波的稀疏系数ρ，将重建后的ρ经稀疏逆变换恢复出气象雷达原始回波信号x。采用一种计算复杂度低、易操作、具有渐进收敛性的[13]贪婪算法——正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法，作为原始回波信号稀疏系数的重建算法。OMP算法[14－15]包括识别、重建和更新3部分，基本原理是在每次的迭代中，从Φ的列中选出与当前小波高频系数信号残差向量相关性最大的列来构建高频系数信号中一个向量点的稀疏逼近，并且在每次迭代更新中通过对已选择的Φ的列进行正交化进而保证迭代结果的最优化，求出新的残差并更新Φ，然后在已更新的Φ中选择与新的残差向量相关性最大的列向量。其中，迭代次数由小波高频系数的稀疏度K确定。OMP算法的输入参数:测量矩阵Φ、观测值u和高频系数稀疏度K;输出参数:系数ρ的稀疏逼近，残差e;其中，迭代次数k，索引λ，索引集Λ。算法的具体流程如下:

Step1初始化残差:e0=u，Λ0= Φ，k=1;

Step2当k≤K时，重复执行

Step 2.2 更新索引集 Λk= Λk－1∪ {λk};

Step 2.3 更新 φΛk= φΛk－1∪ {φλk};

Step 2.5 计算残差 ek=u－φΛkρk;

Step 2.6如残差ek小于阈值，或达到最大迭代次数，进入Step 3;

Step 3输出ρ^= ρk，e=ek。

经正交匹配追踪后，即可得到气象雷达回波信号的小波高频系数的近似表示，最后，将重建后的小波高频系数结合低频系数经过离散小波逆变换恢复出气象雷达的原始回波信号。

3 仿真结果及分析

基于CINRAD SA雷达在龙卷风和台风中实测的回波数据，对图1所示的过程进行仿真及验证。图4～5所示的是原始反射率回波和不同采样频率下的重建回波的对比图。

图4 CINRAD SA雷达在龙卷风天气中的原始反射率回波与基于不同采样率重建结果的对比图

图4(a)和图5(a)是原始反射率回波，图4(b)和图5(b)是当采样率M=0.3N时的重建回波，图4(c)和图5(c)是当采样率M=0.5N时的重建回波，图4(d)和图5(d)是当采样率M=0.7N时的重建回波。从对比图中可以看出:0.3倍采样率时，重建回波与原始回波存在较大误差;0.5倍采样率时，误差明显降低;0.7倍采样率时，则已高概率重建出原始回波。因此，采样率的大小决定重建效果的好坏。图6表明不同采样率下的重建回波图与原始回波图的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)。

图5 CINRAD SA雷达在台风天气中的原始反射率回波与基于不同采样率重建结果的对比图

图6说明实测的原始回波与重建回波的PSNR随采样率的增加而提高。图7说明0.5倍采样率时原始回波与重建回波的每个径向的PSNR。

图6 不同采样率下的原始回波与重建回波的PSNR

图7 0.5倍采样率时原始回波与重建回波的每个径向的PSNR

从图7可以看出每个径向的PSNR≥27dB，即可说明两组回波信号已被高概率重建。

4 结束语

阐述压缩感知理论，明确将压缩感知应用于对气象雷达回波信号压缩采样与重建的过程:首先采用离散小波变换对CINRAD SA雷达实测的反射率回波信号进行稀疏分解，得到信号的小波高频系数和小波低频系数;其次，使用高斯随机矩阵对具有极高稀疏度的小波高频系数进行非相干测量，并运用正交匹配追踪算法重建小波高频系数;最后使用离散小波逆变换高概率重建出原始的回波信号。经仿真分析得出，压缩感知理论的应用将有助于气象雷达突破传统采样定理限制，以较低的采样率高概率重建出原始回波信号。

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