高速高精度三轴并联机器人的动力学建模❋

吴冬敏，芮延年，马明智，沈 铭，张 攀，杨 业

（1.苏州大学，江苏 苏州 215021；2.南京铁道职业技术学院，江苏 南京 210015）

0 引言

并联机器人属于空间多环结构，具有刚度大、承载能力强、精度高、自重负荷比小、动力性能好和结构紧凑等优点，与串联机器人形成互补关系，扩大了机器人的应用范围［1］。目前并联机器人已经广泛应用于机械、食品、医药、电子、汽车等领域。随着并联机器人应用领域的不断扩展，对并联机器人的主要性能，如速度、精度和重复操作性的要求越来越高，要求工作时执行机构能以高速度和高点位精度来完成操作。

动力学建模是并联机器人性能分析和实现运动控制的基础。目前，动力学建模方法有牛顿－欧拉法［2］、拉格朗日法［3］、高斯法、凯恩法［4］、虚功原理和微分几何原理等。各种建模方法描述同一机构的动态特性时，彼此是等价的，其中拉格朗日法能以最简单的形式求取非常复杂的系统动力学方程，且具有显式结构。

本文以一种高速高精度三轴并联机器人为研究对象，根据该并联机器人的结构特点，采用拉格朗日法建立其动力学模型，为设计最优的控制器提供理论依据［5，6］。

1 高速高精度三轴并联机器人结构

高速高精度三轴并联机器人的结构简图如图1所示。

由图1可知，该并联机器人由上平台、下平台和3条完全相同的运动支链构成。其中上平台为静平台，固定于机架上；下平台为动平台，又称为并联机器人末端执行器；各条运动支链由主动杆和从动杆以球铰链相连。主动杆位于上平台上，与伺服电机的输出轴以转动副形式相连，在伺服电机驱动下可在一定范围内摆动；从动杆和末端执行器相连，从动杆为轻质细长杆，通过控制伺服电机的位置和速度，可实现动平台在3个平面内的运动，因此该并联机器人具有3个平动自由度。由于该并联机器人的从动杆为轻质细长杆，减小了各支链惯性，因此该动平台的动态特性和定位精度都较高。相比于传统的六自由度并联机器人，这种少自由度并联机器人还具有结构设计简单、制造和维护成本低、易于控制等优势。

图1 高速高精度三轴并联机器人结构简图

为方便描述，把上平台与主动杆、下平台与从动杆、主动杆与从动杆之间均看成是球面副连接。在并联机器人的工作平面上建立了空间直角坐标系，坐标系的单位为mm。记la1、la2、la3为主动杆，lb1、lb2、lb3为从动杆，3个主动关节分别位于A1、A2、A3处，3个从动关节分别位于B1、B2、B3处。3个主动关节转角记为qai，i＝1，2，3；3个从动关节转角分别记为qbi，i＝1，2，3。

2 高速高精度三轴并联机器人动力学建模

由图1分析可知，高速高精度三轴并联机器人是由3个具有相同结构的串联机器人连接构成，可以将并联机器人分为3个结构相同的串联机器人。先建立每个串联机器人的拉格朗日函数，然后将3个串联机器人的拉格朗日函数相加，再加入闭链约束条件，最终得到并联机器人的拉格朗日函数。

通过对3轴并联机器人的切分可以得到单个串联机器人的结构，如图2所示。由图2可知，串联机器人由2个关节和2个连杆组成。2个关节分别位于A、B点，其关节角度分别记为qa和qb。则该串联机器人2个连杆的动能Ta和Tb分别为：

其中：Ia、Ib分别为2个连杆相对于重心的转动惯量；l为主动杆和从动杆长度之和；ma、mb分别为2个连杆的质量；ra为重心（xca，yca）到点A 的距离；rb为重心（xcb，ycb）到点B 的距离；（xca，yca）、（xcb，ycb）分别为2个连杆重心坐标，其中xca＝racosqa，yca＝rasinqa，xcb＝lcosqa＋rbcosqb，ycb＝lsinqa＋rbsinqb。则两连杆总的动能为：

则两连杆总的势能为：

因此串联机器人的拉格朗日函数为：

可将式（5）的拉格朗日函数简化为：

其中

则并联机器人的拉格朗日函数就等于3条运动支链（3个串联机器人）拉格朗日函数之和，即：

其中：Li（i＝1，2，3）为每条支链的拉格朗日函数。且有：

图2 二自由度串联机器人结构图

记并联机器人的关节广义坐标为q＝［qa1qa2qa3qb1qb2qb3］T，关节力／力矩向量为τ＝［τa1τa2τa3τb1τb2τb3］。将式（12）代入如下的Euler－Lagrange方程：

得到并联机器人的动力学模型为：

其中：M 为质量矩阵；C 为阻尼矩阵；G 为重力矩阵。

其中：cabi＝cos（θai－θbi），sabi＝sin（θai－θbi），i＝1，2，3。 式（15）所得到的是3 轴并联机器人的开链动力学模型，要得到完整的并联机器人动力学模型，必须引入闭链约束项。加入闭链约束所引入的约束力ATλ，可以得到如下的并联机器人动力学模型：

其中：ATλ 为加入约束条件后并联机器人所引入的约束力，约束力的大小由λ决定。

并联机器人的闭链约束方程为：

对式（17）求关于时间的微商，得到并联机器人的速度约束条件为：

其中：速度约束矩阵A（q）为：

3 结论

（1）本文利用拉格朗日法对高速高精度三轴并联机器人进行动力学建模，首先将三轴并联机器人虚拟切割成3个结构相同的串联机器人，建立各串联机器人的拉格朗日函数方程。由于3个串联机器人结构完全相同，将各串联机器人的拉格朗日函数相加得到并联机器人的开链动力学模型，然后加入闭链约束条件，最终得到完整的并联机器人动力学模型。

（2）从三轴并联机器人动力学模型可以看出，该动力学模型结构简单、计算高效，方便后续并联机器人性能分析和实现运动控制，也可为其他空间并联机器人的建模提供参考。

［1］ 李艳，王勇，陈正洪，等.并联机器人智能控制研究现状［J］.机床与液压，2008（12）：180－183.

［2］ 孔令富，张世辉，肖文辉，等.基于牛顿－欧拉方法的6－PUS并联机构刚体动力学模型［J］.机器人，2004，26（5）：395－399.

［3］ 黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论及控制［M］.北京：机械工业出版社，1997.

［4］ 张国伟，宋伟刚.并联机器人动力学问题的Kane方法［J］.系统仿真学报，2004，16（7）：1386－1391.

［5］ 蔡自兴.机器人学［M］.北京：清华大学出版社，2000.

［6］ 黄真.空间机构学［M］.北京：机械工业出版社，1991.