电荷量子化介观LC电路的准经典解

林琨智,刘 艳,何 畏

(1.吉林工业职业技术学院,吉林 吉林 132108;2.吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132021;3.华北电力大学 国际教育学院电气工程及其自动化系,北京 102206)

近年来,关于介观电路量子效应的研究已引起人们广泛关注[1-4],基于电荷量子化建立的介观电路理论[5],采用绝热近似,将电源作为常数处理,给出介观电路的定态解.由于含电感和电容介观电路中的电流强度和电压是时间的函数,因此,若电路的量子态处于不同本正态的叠加,则其实验可测量值为力学量的平均值.本文在文献[5-6]的基础上,以LC串联电路为例,采用介观电路准经典描述[7]力学量平均值随时间的演化规律,给出描述电荷量子化介观电路的准经典方法.

1 电流强度的平均值

经典有源LC串联电路的运动方程为

(1)

其中:q为电荷;L为电感;C为电容;ε(t)为外加电源.其对应的Hamilton量为

(2)

ћ.

(3)

(4)

(5)

在p表象中动量算符定义为

(6)

自由Hamilton算符定义为

(7)

Hamilton算符为

(8)

对于介观LC电路

(9)

(10)

这里{·,·}表示反对易.使式(10)等号成立的条件为

(11)

根据相干态是最小不确定态的性质,式(10)应取等号,即

(12)

(13)

利用式(5),(6)及Q的定义可得:

(14)

(15)

LC介观电路满足Schrödinger方程

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

将式(18)和式(24)代入式(19),式(23)代入式(20)得:

(25)

(26)

将式(25)除以式(26)可得

(27)

(28)

由式(18),(25),(28)可得LC介观电路电荷平均值满足的非线性方程为

(29)

(30)

其中:

(31)

将式(31)对t微分得电流强度的平均值为

(32)

取cn(ωt)的实周期K,当时间t满足

(33)

时,式(32)不为零.其中

(34)

若电源给LC电路电容充电的电荷数为基本电荷的整数倍,则在任意时刻电路中都不应出现基本电荷的分数情况.即

(35)

将式(35)代入式(31)可得

(36)

2 相干态波函数

由式(11),(12)可得[9]

(37)

将式(37)代入式(11)可得

(38)

(39)

将式(14),(18)代入式(39)可得

(40)

令

(41)

移项得

(42)

由相干态为满足最小不确定态的表述

(43)

中求出(Δq)2并代入式(42)可得

(44)

由于(Δpe)2为小量,因此式(44)中第二项的量比第一项更小,故舍去.令其等于零可得

(45)

将式(45)代入式(43)可得

(46)

将式(45)代入式(40)可得相干态波函数为

(47)

ψ(p,t)=eiθ(p,t)φ(p,t),

(48)

其中θ(p,t)为实数.

由于ψ(p,t)为归一化波函数,因此代入式(47)可得

(49)

(50)

式(50)乘以dt并积分得

(51)

3 准经典波函数

由于电荷和电流强度平均值与相干态波函数存在的前提是存在满足Schrödinger方程式(16)的准经典波函数式(48),因此若θ(p,t)存在,则式(48)成立.将式(47)代入式(48)后再代入式(16),并令等式两端的实部和虚部对应相等,可得:

(52)

(53)

其中:

(54)

(55)

(56)

式(56)为Riccati方程,该方程存在y(p,t)的解,从而可得

(57)

将式(57)代入式(52),(53)可得h1(t),证明ψ(p,t)=φ(p,t)eiθ(p,t)存在.

当qe→0时,由式(29),(51),(47)分别得:

(58)

(59)

(60)

将式(59)代入式(60)可得归一化概率密度为

→0.

(61)

式(58)和式(61)与文献[7]的结果相符.

综上所述,本文以LC介观电路为例,利用电荷量子化介观电路中电荷和广义电流满足的对易关系、 波函数遵循的Schrödinger方程和力学量平均值随时间演化公式,给出了相干态波函数满足的微分方程,形成了描述电荷量子化介观电路的准经典方法.

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