三坐标测量中测量点数对精度影响的研究

□ 曹 旭 □ 李 明 □ 韦庆玥 □ 李 伟

上海大学 机电工程与自动化学院CIMS&机器人中心 上海 200072

坐标测量技术是一种通过在测量空间中对被测工件几何特征的离散点测量和被测要素的拟合获取，并以公称数和图样规范为依据，进行误差评定的技术。整个过程涉及到从几何特征轮廓面离散点采集方法、几何要素拟合、评定基准建立以及尺寸误差和几何公差评定等，同时还应包括对整个过程规范制订的方法等。

图1描述了坐标测量中离散点获取的过程，图中，将一个被测物体（图示为一个虚线的圆）置于一个平面直角坐标系（图示为测量坐标系）中，通过坐标测量方法能得到被测圆上的一个点集P｛P1，P2，P3...Pn｝的坐标值，然后用理想要素定义进行圆拟合计算，得到图示的被测几何要素的拟合要素（图中实线圆），以及该拟合要素的导出要素即被测圆的圆心。通过与公称要素（模型）的比较得到相应的偏差，并根据图样所标注的公差进行误差评定。

▲图1 几何坐标测量原理示意图

▲图2 测量中的不确定影响因素

在上面描述的坐标测量过程中，测量的数量和分布将对测量结果产生相应的影响，这也是本文主要研究的内容。

1 测量不确定度来源分析

坐标测量机涉及到一个庞大而复杂的技术和应用体系，而且整个工作涉及到的环节也很多，所有这些都会对坐标测量结果的产生带来影响，对测量结果的质量可以用测量不确定度来定量说明。

在三坐标测量中，影响测量不确定度的因素有很多 。 “GB/T 18779.2-2004（ISO/TS 14253-2:1999） 产品几何量技术规范（GPS）工件与测量设备的测量检验第二部分：测量设备校准和产品”中描述了数字计量测量过程中对测量结果不确定度的十大影响因素，其具体内容如图2所示。

在这些影响因素中，测量设备的参考元素、测量设备、测量设备性能与参数设置都可以按GB/T 16857（ISO 10360）系列标准的相关内容进行检定与修正，测量设备供应商会提供相应的补偿方法。在一般测量工作中，环境影响、物理常数和转换因子、测量评定软件和计算方法等也有方法可以得到相应的补偿和检定。

从图2中可以看到，实际的测量操作过程对测量结果的影响不可忽视，包括测量人员的因素和一些不完整的或含糊的定义与测量方法等，其中就包括测点采集问题。

测点是整个坐标测量的根本，其如何采集将直接影响到测量结果，有关测点策略，目前还没有规范的方法，仅有英国BS 7172标准简单推荐了几何特征的坐标测量点数（测点数下限），对实际应用的指导作用并不大。

2 研究方法与过程

2.1 主参数的确定

测点策略包括了测点点数和分布等，其应受到被测量要素实际状况（误差精度和体量）、测量系统精度、测量评定要求等方面的影响。考虑到坐标测量机本身的测点精度较高，因此这里暂不考虑测量系统的测点误差问题。关于点的分布，对于曲率变化不大的几何要素而言，一般采用均布方式。

因此，在考虑测量点数时，主要将考虑测点数与被测要素的精度状况、被测要素体量之间的关系问题，这也是研究中的3个主参数。

2.2 测点分布的确定

考虑到被测要素种类的多样和复杂性，笔者主要先研究一些常规几何要素的测点策略，并以直线为例展开相关研究。

图3描述了在直线测量中，在某一直线精度下，对单位长度下的直线进行均布采点。其中d为直线的长度，δ为被测要素自身的误差，且探测球在距两边端点不超过直线长度10%的范围内均布采点。

2.3 测量点数的确定

从坐标测量原理可知，测点的数量与被测要素体量和精度状有直接的关系，为了进一步简化确定点数的方法，引入一个跳长比η的概念：

即被测要素（直线）的误差值（这里使用图样上标注的公差值代替）与被测要素长度的比值。经过这样的设置，在测量点数确定时，只要考虑测点与跳长比η的关系，就能使测量点数的确定方法适用于不同精度的被测要素。

在坐标测量中，被测要素的获取是通过对所采集离散点的拟合来完成的，拟合方法一般采用最小二乘法。因此在确定点数对测量精度（拟合结果精度）影响时，采用了比较的方法。设想有一条理想的直线（下面称为样本直线），其上面被随机加上了误差，误差值不大于所标注的公差值。同时，根据采点策略采用均布的方法在样本直线上采集点（模拟坐标测量采点），然后通过相应的直线拟合得到被测直线，最后通过被测直线与样本直线的差异来判断拟合的精度，这也间接反映了测点数量对测量结果的影响。

一般情况下，测量精度应不超过被测要素公差值的三分之一至十分之一，所以测点点数影响的判据就是实测数据的拟合结果与理论要素的偏离程度，即小于公差值的1/3。同时考虑到测量点数对测量时间的影响，引入置信度，即在相应的置信度下，分别确定测量点数。在确定点数时，分别考虑被测要素本身的精度情况及点数，当被测要素本身精度对测点数无影响时，测点数量才得到确定。

根据以上的方法描述，在测点数量选择时的分析计算流程如图4所示。

3 方法验证

GB/T 16857第六部分规定了检定数字测量软件的方法，这些软件用于坐标测量中的拟合要素计算和误差评定，要素的拟合包括线（二维和三维）、面、圆（二维和三维）、球、圆柱、圆锥以及圆环等。

3.1 检定方法的流程

检定方法的原则是比较转换检测参数值和标准参数值。转换检测参数值可由输入标准数据集到送检软件按转换规则得到；标准数据集是模拟要素的尺寸、形状、位置、方向和取样的范围而设计的。它们也被设计成模拟包括探测误差和要素形状误差在内的典型的坐标测量机测量误差［1］。图5为检定方法的流程。

▲图3 均布采点示意图

▲图4 确定测量点数的流程图

▲图5 检定方法的流程图

▲图6不同精度等级下的概率密度函数图

3.2 验证确定点数的方法

借鉴计算拟合要素检测的方法来验证确定点数方法的可行性。首先计算出模拟要素上点的坐标，输入三坐标测量软件进行计算，得出实际几何元素；再计算出测量偏差，也就是对应计算拟合要素过程中的转换检测参数值；而对应标准参数值的是判断依据：测量偏差值不大于被测要素公差的三分之一；最后进行比较，判断测量偏差是否不大于被测要素公差的三分之一。

4 实验验证

下面针对直线的评定问题进行验证确定点数方法的可行性实验。

4.1 方法步骤

（1）假设一条理论直线，长度为d。为了计算方便，设该直线方程为y=3。

（2）均布采点。第一个点的横坐标为0，最后一个点的横坐标为d。

（3）随机添加各点误差。在与理想直线垂直的方向上，也就是各点的纵坐标，加上被测要素的误差，即得出实际直线的方程为 y1=y+（δrand（1）- δ/2）。 其中 δ是被测要素自身的误差值，rand（1）表示从0～1之间的任意数。

（4）最小二乘法拟合。得到实际直线，计算出实际直线和理想直线的偏差h。

（5）循环100次，此时，被测要素本身精度对测点数无影响，得出h的100个结果，并作概率密度函数图。

（6）求出实际要素和理论要素的偏差值h，在不超过被测要素公差值三分之一情况下，要达到相应置信度的点数。

4.2 结果与讨论

▲图7 不同精度等级下各测量点数的置信度及拟合曲线图

由GB/T 1184标准，查出公差等级下对应的长度和公差值，用MATLAB软件拟合分析，得到不同精度等级下，循环100次测量偏差是被测要素公差值三分之一的概率密度函数图，如图6所示，横坐标和纵坐标的乘积表示落在该范围内的概率。

以上图6中的两幅图是在不同精度等级下，循环100次测量偏差h是被测要素公差三分之一的概率密度函数图，同时，也可以用循环100次，各点数能达到的置信度及其拟合曲线图来更直观地表达，如图7所示。是任意选择两种不同精度等级下用MATLAB运行的结果，另外，还根据GB/T 1184中所列出的不同精度下对应的长度、公差值用这种方法做了试验，结果只是在1～3点内浮动，见表1。

表1 达到置信度对应的点数

5 结论

通过实例分析，得出了评价直线度误差时不同的精度等级下，所求置信度对应的提取点数，并且由数据结果可知，精度等级的不同，并不影响点数的选择。同时，也可以用该方法对其它的形位误差，如圆度误差、圆柱度误差、同轴度误差等在不同精度等级下测量点数的研究。研究测量点数对精度的影响，不仅在数字化测量规范上有了进一步的完善，而且更好地控制影响测量不确定度的因素，进而得到更准确的测量结果。

［1］ GB/T 16857.6-2006，产品几何技术规范（GPS）坐标测量机的验收检测和复检检测（第六部分）［S］.

［2］ 赵幸福.测量不确定度评价方法在大型工件现场加工中的应用［J］.组合机床与自动化加工技术，2011（8）:68-72.

［3］ GB/T 18779.2-2004，产品几何技术规范（GPS）工件与测量设备的测量检验（第二部分）［S］.

［4］ 谭见闻.基于MATLAB评定直线度误差［J］.计量与测试技术，2011,38（6）:18-19.

［5］ 黄富贵.直线度误差评定的测量提取点数选择［J］.华侨大学学报，2011,32（6）:615-617.