缪启忠
(扬州中学教育集团树人学校,江苏 扬州 225002)
原题.(2012年扬州中考题)在测图1中动滑轮机械效率时得到表1数据(绳重和摩擦不计):
表1
图1
(1)第2次实验中拉力做的有用功是________J,动滑轮的机械效率是________.
(2)若实验时弹簧测力计没有沿竖直方向拉动,则测出的机械效率_________.(变大/变小/不变)
原题答案:(1)在第2次实验中,W有用=Gh=1.5N×0.2m=0.3J,W总=Fs=0.9N×0.4m=0.36J,动滑轮的机械效率为
(2)若实验时弹簧测力计没有沿竖直方向拉动,F变大,s不变变大;而不变,有可知测出的动滑轮的机械效率变小.
讨论:对这道题第(2)问的答案有2种意见.
(1)变小.理由是斜拉时拉力变大,总功变大,而有用功不变.
(2)不变.理由是有用功和额外功不变,则总功和有用功不变.
笔者认为,从初中生的角度来分析,总功等于有用功加额外功,而有用功(提升重物的功)不变,额外功(提升动滑轮的功)不变,而摩擦和绳重不计,即总功不变,有用功也不变,机械效率也不变.但也有不少学生认为在提升重物时,滑轮会沿水平方向移动,从而使额外功增加,使总功增大,导致机械效率减小.实际上认为水平移动会使额外功增加是错误的.下面通过两个特殊例子来说明.
第1种情况是动滑轮水平移动而拉绳的手并不水平移动.为了使动滑轮水平移动,手握绳的点就不能水平移动,可以证明手的运动方向必须与绳的方向垂直,证明如下:设绳长为l,悬点为O.开始时刻绳与水平方向夹角为α.如图2所示,动滑轮处在A处.拉绳的手在B处.则由平衡条件可知AB段绳与水平方向夹角也为α.由于绳长是一定的,所以四边形AA′DC与四边形AA′B′B全等,且对于动滑轮移动轨迹线对称.即B与C和B′与D分别和通过动滑轮的水平线对称.而∠OCD为直角.所以BB′与AB的方向垂直.即手的拉力方向与手的位移方向垂直,所以手的拉力不做功.
图2
图3
第2种情况是拉绳的手水平移动而动滑轮不水平移动.这时随着手的向远处移动动滑轮将上升.所以在这个过程中手的拉力要做功,不过这时拉力所做功与竖直上拉所做功相等,并不增加新的额外功.证明如下:从上面的讨论可知,手握绳的点B或B′与点C或D,分别相对于通过A和A′的水平线对称,如图3所示,即△ABC和△A′B′D均为等腰三角形,所以BB′=ED=CDsinα.又,B′N=,所以.为了计算拉力所做功,可将拉力F分解为水平和竖直两个分力,分别为Fy=Fsinα和Fx=Fcosα.其中Fy与位移垂直不做功,只有Fx做功.其所做功为W=FxBB′=FxCDsinα=F CDcosαsinα,根据平衡条件有拉力的竖直分力等于物重的一半,即Fsinα=mg.提升动滑轮所需做的有用功为所以W=W′.即这时拉力所做功与竖直上拉所做功相等,并不增加新的额外功.
通过上面的讨论不难看出,实际上在斜拉动滑轮时,无论动滑轮是否水平移动,拉力所做的总功没有变化,所以机械效率应不变.
图4
图5
再讨论斜拉的情况,斜拉时不外乎如图4、5的两种情况及其合成:(1)拉力方向斜向而移动方向竖直;(2)斜拉时有一点位置不动;或者是两种情况的合成.
第1种情况拉力虽然增大,移动方向上竖直分力其所做功为W=Fscosθ,其值与竖直上拉相等.
第2种情况其所做功如图6所示,显然有mg=2Fcosθ.而物体上升的高度为Δh,拉绳的距离为2Δs=Δhcosθ.所以拉绳所做功为W=FΔs=mgΔh.即与竖直向上拉做功相等.所以其机械效率是不变的.
图6
总起来说,斜拉时拉力要增大,而其做功却不变.对于第1种情况,只是增加了横向的拉力但横向并不做功.对于第2种情况位移与拉力方向相同,拉力增大而位移减小,当θ增大时拉力也随之增大,感觉费力,但并不多做功.
实际上,如果运用功能定理,不论怎么拉(绳重和摩擦不计),拉力所做的功,全部用于增加重物的势能.这样就不难看出,斜拉时动滑轮的机械效率是不变的.
通过以上证明,本题的正确答案应该是“不变”.
笔者认为,此题对于考查初中学生的知识和能力的要求是过高了,从阅卷情况也看出,选择“变小”和“不变”的学生比例各占50%,即使选择“不变”的学生也不能解释水平拉力不做功.