弱S－嵌入子群与有限群的超可解*

郭桂容，赵 涛

(1.六盘水师范学院数学系，贵州六盘水 553004;2.山东理工大学理学院，山东淄博 255049）

本文所讨论的群均为有限群，使用的符号及术语是标准的 (见文 ［1］)。设F为饱和群系，群G的子群H被称为是F－可补的是指存在L∈F使得G=HL成立。此时，我们称L是H在G中的一个F－补。群G的子群H被称为是S－可换的［2］(或S－拟正规的［3］)，若H与G的每个Sylow子群P都可换。在文 ［4］中，作者将其推广为:群G的一个子群H称为是G的S－可换嵌入子群，如果H的每个Sylow子群同时也是群G的某个S－可换子群的Sylow子群。目前，人们已对这两个概念做了很多的推广。例如，郭教授等［5］引入了几乎S－正规子群的概念。群G的子群H被称为是几乎S－正规的是指存在NG使得HNG且H∩T≤Hse，其中HsG是群G含于H的最大S－可换子群。作为进一步地推广，S－嵌入子群的概念在文 ［6］中被引入:H被称为是G的S－嵌入子群是指存在NG使得HN在G中S－可换并且H∩T≤Hse。通过对某些子群的几乎S－正规性和S－嵌入性质的研究，人们已经得到了很多有意义的结果 (可见文［7－8］等)。最近，在文 ［9］中作者们引出了以下概念:

群G的子群H称为G的一个弱S－嵌入子群，如果存在G的正规子群T使得HT为G的S－可换子群且H∩T≤Hse，其中Hse是群G含于H的一个S－可换嵌入子群。

在文［8－9］中，通过假定群G的某些素数幂阶子群满足弱S－嵌入性质，作者们已经得到了关于群G结构的若干重要刻画。在本文中，我们主要讨论弱S－嵌入子群对群G超可解性的影响，得到了几个新的结果。

1 准备知识

引理1［2］设H为群的一个s－可换子群。则

(ii)如果H是一个p－群 (p为素数)，则有NG(H)≥Op(G)。

引理2［10］假设P是群G的一个含于Op(G)的p－子群。如果P在G中S－可换嵌入，则P在G中S－可换。

引理3［9］设G为群且有H≤K≤G。

(ii)如果H在G中弱S－嵌入，则H在K中弱S－嵌入。

(iv)如果H在G中弱S－嵌入且K ⊿G，则存在G的一个含于K的正规子群T使得HT在G中S－可换且H∩T≤Hse。

引理4［9］设p为|G|的最小素因子且P为G的非循环Sylow p－子群。若P的每个在G中无超可解补的极大子群都在G中弱S－嵌入，则G为p－幂零群。

引理5［9］设N为G的非平凡正规p－子群。如果N的每个极大子群都在G中弱S－嵌入，则N有一个极大子群在G中正规。

2 主要定理及其证明

定理1 群G超可解当且仅当存在G的正规子群E使得G/E超可解，且E的非循环Sylow子群的每个在G中无超可解补的极大子群都在G中弱S－嵌入。

证明 必要性是明显的，我们只需要证明定理的充分性。假设结论不成立且G为使得|G||E|为极小的反例。则有

设p为|E|的最小素因子，P为E的 Sylow p－子群。如果P为循环群，则根据文 ［11，Lemma 2.2］可知E为p－幂零群。若P非循环，令P1为P的一个在E中无超可解补的极大子群。易知，P1在G中也无超可解补。于是根据假设，P1在G中弱S－嵌入。由引理1知，P1在E中弱S－嵌入。因此由引理4可知E是p－幂零的。设K为E的正规p－补，则根据假设和引理3知K的非循环Sylow子群的每个在K中无超可解补的极大子群都在K中弱S－嵌入。于是反复使用上述证明可知E为超可解型Sylow塔群。特别地，E可解。令q=max π(|E|)，Q∈Sylp(E)则有QG。

②G有唯一的一个含于E的极小正规子群N，G/N超可解且Φ(G)=1。

令N为G的一个含于E的极小正规子群。由E为可解群知，N为初等交换p－群，其中p为素数。显然，(G/N)/(E/N)≅G/N为超可解群。假设T/N为E/N的一个非循环的 Sylow r－子群且T1/N为T/N的极大子群，其中r为|E/N|的一个素因子。如果r=p，则T为E的非循环的 Sylow p－子群且T1为T的极大子群。根据假设，T1在G中有超可解补或T1在G中弱S－嵌入。根据引理2可知，T1/N在G/N中有超可解补或是T1/N在G/N中弱S－嵌入。现在假定r≠p。此时，存在E的Sylow r－子群R使得T=RN。令R1=R∩T1，则R1为R的极大子群且T1=R1N。根据假设，R1在G中有超可解补或是R1在G中弱S－嵌入。根据引理3(iii)，T1/N在G/N中有超可解补或是T1/N在G/N中弱S－嵌入。这表明 (G/N，E/N)满足定理的条件。于是由G的极小性可设G/N为超可解群。由于所有超可解群构成一个饱和群系，我们可假定N为群G含于E的唯一极小正规子群且N ≤≠ Φ(G)。因此，Φ(G)=1。

③N=Q=F(E)=CE(N)非循环且 G=［N］M，其中M是G的一个极大子群。

由于Φ(G)=1，故存在G的极大子群M使得G= ［N］M。由C=CE(N)=CG(N)∩EG。可知，(C∩M)G=(C∩M)NM=(C∩M)M=C∩M。于是C∩M是G的正规子群。从而C∩M=1有且C=N。由N≤Oq(E)≤F(E)≤F(G)≤CG(N)知，N=F(E)=Q。再根据②得，G/N超可解。如果N循环，则G为超可解群，矛盾。

④最终的矛盾。

设Mq为M的一个Sylow q－子群且Gq=NMq。由G=［N］M知，Gq为G的Sylow q－子群。令Q1为Gq的一个含于Mq的极大子群且N1=N∩Q1，则有N1Gq。由|N:N1|=|N:N∩Q1|=|NQ1:Q1|=|Gq:Q1|=q知，N1为N的极大子群。令T为N1在G中的任一补，则有G=N1T=NT且N=N∩N1T=N1(N∩T)成立。这表明N∩T≠1。由N∩=G且N为G的极小正规子群知，N∩T=N且T=G为N1在G中的唯一补。因此，可设N1在G中无超可解补。根据假设和引理3(iv)知，存在KG使得N1K≤E在G中S－可换且N1∩K≤(N1)se。由②知N∩K=1或N≤K。如果N∩K=1，则有N1=N1(N∩K)=N∩N1K。根据引理1(i)知，N1=N∩N1K在G中S－可换。如果N≤K，则有N1=N1∩N≤N1∩K≤(N1)se≤N1。这表明N1=(N1)se在G中是S－可换嵌入的。由引理2，我们也有N1在G中是S－可换的。于是，根据引理 1(ii)知，NG(N1)≥Oq(G)。另一方面，N1=N∩Q1⊿Gq。于是，N1G。从而有N1=1且|N|=q，这与③矛盾。因此，极小阶反例不存在，定理得证。

定理2 设F为包含所有超可解群类U的饱和群系。群G∈F当且仅当存在G的正规子群E使得G/E∈F，且E的非循环Sylow子群的每个在G中无超可解补的极大子群都在G中弱S－嵌入。

证明必要性是明显的，我们只需证明充分性。假设定理结论不成立且G是使得|G||E|极小的反例。

由于E/E=1超可解，且E的非循环Sylow子群的每个在E中无超可解补的极大子群都在E中是弱S－嵌入的。根据定理1可知，E为超可解群。于是对于p=max π(|E|)和p∈Sylp(E)，我们有PG。现在，设N为群G含于P的一个极小正规子群。显然，(G/N)/(E/N)≅G/E∈F。根据引理3知，定理条件对于G/N和E/N仍成立。由G的极小性得G/N∈F。因为F为饱和群系，我们可设N是群G含于P的唯一极小正规子群且N≤≠Φ(G)。由定理1(3)中证明可知，N=Op(G)=P。如果N为循环群，则由文 ［12，Lemma 2.16］知G∈F，这与群G的选取矛盾。因此我们可设N非循环。令N1为N的一个极大子群。通过使用一个与定理1中第④步类似的证明，我们可推出N为循环群从而有G∈F成立。

接下来，利用群G的某些极小子群的弱S－嵌入性质，我们也给出了群G属于饱和群系的一个充分条件。

定理3 设F为包含U的饱和群系，群G有一个正规子群E使得G/E∈F。假设对于E的每个非循环Sylow子群P均有:

(i)P的每个极大子群

或

(ii)P的每个素数阶及4阶 (如果P为非交换2－群且H⊆≠Z∞(G)循环子群H在G中弱S－嵌入，则G∈F。

证明假设定理不成立且我们考虑使得|G||E|极小的反例 (G，E)。设P为E的Sylow p－子群，其中 p=max π(|E|)。则有

①E为p－幂零群。

如果P的每个极大子群都在G中弱S－嵌入，则根据引理4，我们可知E为p－幂零群。接下来，我们假定P的每个素数阶和4阶 (如果P为非交换2－群且H⊆≠Z∞(G))循环子群H都在G中弱S－嵌入。根据引理3可知H在E中弱S－嵌入。令K为E的真子群且p0∈Sylp(E)。则存在某个x∈E使得Px0≤P。由于K p－幂零当且仅当Kxp－幂零。不失一般性，我们可假定P0≤P。由于Z∞(G)∩ K≤ Z∞(K)，P0的每个素数阶和4阶(如果P0为非交换2－群且H⊆≠Z∞(G))循环子群H在K中弱S－嵌入。因此由归纳假设得K为p－幂零群。于是，E为极小非p－幂零群。根据文［13，IV，Theorem 5.4］知，E满足以下性质:

(i)E=［P］Q，其中P和Q分别是E的正规Sylow p－子群和非正规循环Sylow q－子群;(ii)P/Φ(P)为E的主因子;(iii)P的方次数是p或4。

令X/Φ(P)为P/Φ(P)的极小正规子群，则存在x∈X/Φ(P)使得X/Φ(P)=〈x〉Φ(P)/Φ(P)且|〈x〉|=p或4。根据假设知〈x〉⊆Z∞(E)或〈x〉在E中弱S－嵌入。在前一种情形下，我们有P∩Z∞(E)⊆≠Φ(P)成立。于是由 (ii)知，(P∩Z∞(E))Φ(P)=P从而P≤Z∞(E)。但此时E为幂零群，矛盾。

现假定〈x〉在E中弱S－嵌入。根据引理3(iv)知，存在E的S－可换子群C和正规子群T使得〈x〉T=C≤P并且T∩〈x〉≤〈x〉se。如果X/Φ(P)在 E/Φ(P)中 S－可换，则容易得到X/Φ(P)在E/Φ(P)中正规。再由 P/Φ(P)是 E的主因子得P/Φ(P)=X/Φ(P)为循环群。因此，P循环且E为p－幂零群。此矛盾表明X/Φ(P)在E/Φ(P)中不是S－可换的。于是，〈x〉在E中也不是S－可换的。而根据引理2知〈x〉se在E中S－可换，于是我们有1＜T＜P。这表明TΦ(P)≠P，从而有T≤Φ(P)。但此时

为E/Φ(P)的S－可换子群。这个矛盾表明论断①成立。

②E=P是非循环的。

由①知，E为p－幂零群。假设P＜E且T为E的正规p－补，则TG。由引理3，我们可知定理假设对于G/T(相对于E/T)仍成立。因此，由G的选取知G/T∈F。于是，定理假设对于 (G，T)仍成立。再由 (G，E)的选取知T=E，矛盾。因为G/E∈F，根据 ［12，Lemma 2.16］我们可设P是非循环的。

③如果P的每个极大子群都在G中弱S－嵌入，则P=GF是G的极小正规子群。

事实上，设N为群G的一个含于P的极小正规子群。根据引理3知，假设对于G/N仍成立。从而由G的选取知，G/N∈F。因此可设N为群G含于P的唯一极小正规子群且N⊆≠Φ(G)。令M为群G的一个使得G=［N］M成立的极大子群，则P=P∩NM=N(P∩M)。由P≤F(G)≤CG(N)知P∩M为G的正规子群，从而P∩M=1。于是，我们有N=P=GF成立。

④最终的矛盾。

如果P的每个极大子群都在G中弱S－嵌入，则由②和③知P是G的极小正规子群且|P|＞p，这与引理5相矛盾。

接下来，我们假定P的每个素数阶和4阶(如果P为非交换2－群且H⊆≠Z∞(G))循环子群H在G中弱S－嵌入。根据 (G，E)的选取可设P=GF且P≤≠Φ(G)。令M为群G的一个不包含P的极大子群，则有M/M∩P≅G/P∈F。根据引理3知，假设对于M仍成立。因此，由G的极小性得M∈F。这表明G的每个不含P的极大子群都属于群系 F。于是根据文 ［14，Theorem 3.4.2］知，下列结论成立:

(i)P/Φ(P)为P的G－主因子;

(ii)P的方次数为p或4(若p=2且P非循环);

(iii)如果P为交换群，则有Φ(P)=1。

如果P/Φ(P)的每个极小子群都在G/Φ(P)中S－可换，则P/Φ(P)的每个极大子群也都在G/Φ(P)中 S－可换。因此根据引理 5知，|P/Φ(P)|=p，这与②矛盾。现在我们选取P/Φ(P)的一个在G/Φ(P)中非S－可换的极小子群X/Φ(P)。任取x∈X/Φ(P)且令L=〈x〉，则有|L|=p或4。根据假设知L⊆Z∞(G)或L在G中弱 S－嵌入。如果 L⊆ Z∞(G)，则有 P∩Z∞(G)≤≠Φ(P)。于是，(P∩Z∞(G))Φ(P)=P，即P≤Z∞(G)。因此，我们可得=p且P为循环群，这与②矛盾。下面我们假定L在G中弱S－嵌入。由于X/Φ(P)在G/Φ(P)中不是S－可换的，L在G中非S－可换。因此根据引理3(iv)，存在G的一个含于P的非平凡正规子群T使得LT在G中S－可换且T∩L≤Lse=LsG≠L。显然，T≠P。因此，TΦ(P)≠P，即T≤Φ(P)。此时，我们有

X/Φ(P)=LΦ(P)/Φ(P)=LTΦ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是S－可换的。这个矛盾表明极小反例不存在，从而定理得证。

［1］GORENSTEIN D.Finite groups［M］.New York:Chelsea，1968.

［2］KEGEL O H.Sylow-Gruppen und Sbnormalteiler endlicher Gruppen［J］.Math Z，1962，78:205 －221.

［3］DESKINS W E.On quasinormal subgroups of finite groups［J］.Math Z，1963，82(2):125 －132.

［4］BALLESTER-BOLINCHES A，PEDRAZA-AGUILERA M C.Sufficient conditions for supersolvability of finite groups［J］.J Pure Appl Algebra，1998，127:113 －118.

［5］GUO W，WANG Y，SHI L.Nearly s-normal subgroups of finite group［J］.J Alg Disc Struc，2008，6(2):95 －106.

［6］GUO W，SHUM K P，SKIBA A N.On solubility and supersolubility of some classes of finite groups［J］.Sci China:Ser A，2009，52(2):272－286.

［7］WANG Y，GUO W.Nearly s-normality of groups and its properties［J］.Commun Algebra，2010，38:3821 －3836.

［8］MALINOWSKA I A.Finite groups with sn-embedded or s-embedded subgroups［J］.Acta Math Hungar，2012，136(1/2):76－89.

［9］LI J，CHEN G，CHEN R.On weakly S-embedded subgroups of finite groups［J］.Sci China Math，2011，54(9):1899－1908.

［10］LI Y，WANG Y，WEI H.On p-nilpotency of finite groups with some subgroups π-quasinormally embedded［J］.Acta Math Hungar，2005，108(4):283 －298.

［11］WEI H，WANG Y.The c-supplemented property of finite groups［J］.Proc Edinburgh Math Soc，2007，50:493－508.

［12］SKIBA A N.On weakly s-permutable subgroups of finite groups［J］.J Algebra，2007，315:192 －209.

［13］HUPPERT B.Endliche Gruppen［M］.New York，Berlin:Springer，1967.

［14］GUO W.The theory of classes of groups［M］.Beijing-NewYork-Dordrecht-Boston-London:Science Press-Kluwer Academic Publishers，2000.