连续框架的等价刻画及Riesz型框架的新结果

相中启，潘 伟

(华中师范大学数学与统计学院，中国 武汉 430079)

1952年，Duffin和Schaeffer在深入研究非调和Fourier级数时引入框架(离散框架)的概念[1].小波分析诞生以来，框架理论得到了迅速发展[2-3].它广泛应用于信号处理、图像处理和抽样理论等方面[4-7].连续框的概念由Kaiser[8],Ali等[9]分别独立引入，它是离散框架的概括，是一般化的框架.Gabardo和韩德广[10]称其为“与可测空间相关的框架”；Askari等[11]称其为“广义框架”；而在数学物理中则称其为“相干态”[9].目前，连续框架已广泛应用于连续小波变换及短时Fourier变换等方面[12-13].本文主要讨论了连续框架的等价刻画和连续框架的对偶问题.

全文组织如下：第1节列出本文所要用到的一些定义和基本事实并给出连续框架的2个等价刻画.第2节讨论了连续框架的对偶，给出了Riesz型框架的新结果.

1 连续框架的等价刻画

本文中，H，K始终指复的Hilbert空间，S指连续框架的框架算子.

定义1[10]设H是复的Hilbert空间，(Ω,μ)是赋有正测度μ的测度空间，{φω}ω∈Ω⊆H使得对所有的f∈H,是Ω上的可测函数.如果存在A，B>0使得

(1)

则称{φω}ω∈Ω关于(Ω，μ)是连续框架，A，B分别称为连续下、上框架界，所有上框架界的下确界称为最优上框架界,所有下框架界的上确界称为最优下框架界，显然最优框架界仍是框架界.若(1)式右端不等式成立，则称{φω}ω∈Ω是Bessel序列，B称为Bessel界.易见，若μ是计数测度，Ω:=,则{φω}ω∈Ω成为离散框架.此外，(1)式左端的不等式表明{φω}ω∈Ω是完备的，即

设{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)是H的界为A，B的连续框架，则

(2)

T*:H→L2(Ω,μ),(T*f)(ω)=〈f,φω〉,ω∈Ω.

(3)

由复合算子T和其共轭算子T*就得到框架算子

(4)

容易证明S有界，可逆且是自共轭的正算子.由此得到连续框架恢复公式

(5)

(6)

引理1[3]设W：K→H是有界线性算子，若其值域RW是闭的，则存在有界线性算子W†：H→K使得WW†f=f,∀f∈RW.算子W†称为W的伪逆算子.

进一步，Christensen证明了

引理2[3]设W：K→H是有界线性算子，若其值域RW是闭的，则

(ii) (W*)†W*是R(W*)†上的正交投影；

(iv) (W*)†=(W†)*.

下面的定理给出了连续框架的一个等价刻画.

定理1设{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)是H中的Bessel序列，则{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)是H的连续框架的充分必要条件是：(2)式所定义的算子T是满射.

证先证必要性.设{φω}ω∈Ω是H的界为A，B的连续框架，其预框架算子为T，由(2)式知

所以T*是单射，因此T是满射.

再证充分性.只需证明存在常数c1,c2(0

(7)

所以

接下来的定理同样给出了连续框架的等价刻画.

定理2{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)为H的界为A，B的连续框架当且仅当下面2个条件满足：

(ii)预框架算子T是定义好的且

(8)

证首先假设{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)是H的界为A，B的连续框架，即

由Cauchy-Schwartz不等式得

因此‖Tη‖2≤B‖η‖2,于是(ii)成立.

A‖T†Tη‖2≤‖TT†Tη‖2=‖Tη‖2.

即

这说明{φω}ω∈Ω满足下框架条件，上框架条件可以由(8)式右端的不等式直接得到.

2 连续框架的对偶

定义2[10]设{φω}ω∈Ω,{ψω}ω∈Ω关于(Ω，μ)是H的连续框架，若对任意的f,g∈H

则称{ψω}ω∈Ω是{φω}ω∈Ω的对偶框架；若{φω}ω∈Ω的对偶框架唯一，则称{φω}ω∈Ω是Riesz型框架.

〈f,(TT*)-1f〉.

因此

综上可知{S-1φω}ω∈Ω是{φω}ω∈Ω的对偶框架.

下面的定理给出了预框架算子T的伪逆T†的详细刻画.

定理3设{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)是H的连续框架，T是其预框架算子，S是其框架算子，则

(T†f)(ω)=〈f,S-1φω〉,f∈H,ω∈Ω.

此外，若A，B是{φω}ω∈Ω的最优框架界，则A=‖S-1‖-1=‖T†‖-2,B=‖S‖=‖T‖2.

证由于{φω}ω∈Ω是H的连续框架，由定理1知T是满射，即RT=H.由引理1知，∀f∈H,TT†f=f.对任意的h∈H有

由(2)式知

因此

(T†f)(ω)=〈f,S-1φω〉,∀f∈H,ω∈Ω.

根据定义，

引理5[10]设{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)是H的连续框架，T是预框架算子.则{φω}ω∈Ω是Riesz型框架的充分必要条件是RT*=L2(Ω,μ).

下面给出Riesz型框架的新结果.

定理4{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)为H的界为A，B的Riesz型框架当且仅当下面2个条件满足：

(ii)预框架算子T是定义好的且

A‖η‖2≤‖Tη‖2≤B‖η‖2,∀η∈L2(Ω,μ).

(9)

推论1{φω}ω∈Ω关于(Ω,μ)为H的Riesz型框架的充分必要条件是(2)式所定义的算子T是定义好的双射.

参考文献：

[1] DUFFIN R J, SCHAEFFER A C. A class of nonharmonic Fourier series [J]. Trans Amer Math Soc, 1952,72(2):341-366.

[2] DAUBECHIES I. Ten lectures on wavelets [M]. Philadelphia: SIAM, 1992.

[3] CHRISTENSEN O. An introduction to frames and Riesz bases [M]. Boston: Birkhäuser, 2002.

[4] FEICHTINGER H G, STROHMER T. Gabor analysis and algorithms: theory and applications[M].Boston: Birkhäuser, 1998.

[5] FEICHTINGER H G, STROHMER T. Advances in Gabor analysis [M]. Boston: Birkhäuser, 2003.

[6] CASAZZA P G. Modern tools for Weyl-Heisenberg frame theory [J]. Adv Imag Elect Phys, 2001,115(1):1-127.

[7] 王国秋，杨梦云.双正交小波的谱半径及其应用[J].湖南师范大学自然科学学报, 2011,34(1):14-18.

[8] KAISER G. A friendly guide to wavelets [M]. Boston: Birkhäuser, 1994.

[9] ALI S T, ANTOINE J P, GAZEAU J P. Continuous frames in hilbert spaces [J]. Ann Phys, 1993,222(1): 1-37.

[10] GABARDO J P, HAN D. Frames associated with measurable space [J]. Adv Comp Math, 2003,18(3):127-147.

[11] ASKARI-HEMMAT A, DEHGHAN M A, RADJABALIPOUR M. Generalized frames and their redundancy[J]. Proc Amer Math Soc, 2001,129(4):1143-1147.

[12] ALI S T, ANTOINE J P, GAZEAU J P. Coherent states, wavelets and their generalizations [M].Berlin: Springer-Verlag, 2000.

[13] GRÖCHENIG K. Foundations of time-frequency analysis [M]. Berlin: Birkhäuser-Verlag, 2001.