竖直面内的圆周运动模型分析

柴彦龙

高中物理教学中，竖直面内的圆周运动问题较为常见。相关内容也是学生普遍感觉到难以理解、难以处理的。本文中就此问题进行了系统的总结，希望对广大物理教师的教学和学生的学习有所启发。

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动（带电粒子在匀强磁场中运动除外），运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

一、两类模型——轻绳模型和轻杆模型

1.轻绳模型

运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力。

所以：

（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有mg=m，式中的vmin是小球通过最高点的最小速度。

（2）质点能通过最高点的条件是v≥vmin=；

在最高点可能存在两种情况：

（1）即由重力和拉力的合力提供向心力

（2）只有重力提供向心力

在最低点只有一种情况

绳上一定有拉力

2.轻杆模型

运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。

所以质点过最高点的最小速度为零，（临界速度）

在最高点可能存在四种情况：

（1）当v=0时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即N=mg；

（2）杆上弹力为零，由重力提供向心力v=

（3）当v>，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；即

（4）當0

在最低点只有一种情况

杆上一定有向上的拉力

两类模型的最大区别在于，在圆周最高点能否提供向上的支持力。实际中可依据此判断具体题目中物理情境下属于哪种模型。

例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

本题可归类于轻绳模型。

例2 如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（ ）

A.速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动

B.当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力

C.当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg

D.只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg

解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知mg2R=mvmin得vmin=2，所

以A错，mg2R+v02=mv2得v0=，此时=mg即重力刚好能提供

向心力，小球对轨道无压力。最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，B对，C错，最高点F1=m-mg，最低点F2=m+mg

由机械能守恒有mv12+mg2R=mv22，所以F2-F1=6mg，D对。

本题可归类于轻杆模型。在这两类基本模型的基础上，还可进行相应的提高和升华。例如

在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ（如图3）。现给小球一个垂直悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问：

（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值为多大？

（2）小球在B点的初速度为多大？

解析：小球在做圆周运动的过程中，所受的重力和电场力均为恒力，这两个力的合力大小为F=我们不妨把重力场与电场的复合场

叫做等效重力场，F叫做等效重力，小球在复合场中的等效重力加速度为g效==，其方向斜向右下方，且与竖直方向成θ角。小球在竖

直面内做圆周运动的过程中，由于只有等效重力做功（细线的拉力不做功），所以动能与等效重力势能可以相互转化，且总和保持不变，与重力势能类比可知，等效重力势能mg效h=ΔEk，其中h为小球距等效重力势能零势面的高度。

（1）设小球静止时的位置B为零势点，根据动能与等效重力势能的总和不变可知，小球位于与B点对应的同一直径上的A点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小.设小球在A点时速度为va，此时细线拉力为零，等效重力提供向心力，即

答案：（1）位于与B点对应的同一直径上的A点，vB=。（2）竖直面内的圆周运动极其临界问题的模型是高中物理中极具代表性的问题，能够考察学生对能量、圆周运动、受力分析等知识的综合运用能力。是高考中考察较多的问题。希望本文能够澄清大家在教学中的疑难。