一类(p1,…,pn)-Laplacian方程组三解的存在性

潘晓丽,　赵永超

(1.黑龙江科技大学 理学院, 哈尔滨 150022; 2.东北农业大学 工程学院, 哈尔滨 150030)



一类(p1,…,pn)-Laplacian方程组三解的存在性

潘晓丽1,赵永超2

(1.黑龙江科技大学 理学院, 哈尔滨 150022; 2.东北农业大学 工程学院, 哈尔滨 150030)

为了将(p,q)-Laplacian方程组解的部分结果推广到(p1,…,pn)-Laplacian方程组,利用三临界点定理和广义Sobolev空间的一些性质,对一类含有(p1,…,pn)-Laplacian算子,并带有Dirichlet边界条件的拟线性椭圆方程组解的存在性进行了探讨。根据变分原理将方程组的能量泛函表示出来,在方程组满足一定条件下,证明了该椭圆方程组三解的存在性。该研究推广了已有的拟线性椭圆方程组解的存在性结果,为下一步证明该方程组解的其他性质奠定了基础。

三临界点定理; 临界点; 多重结果; 三解; (p1,…,pn)-Laplacian

0　引　言

含有p-Laplacian的非线性椭圆方程问题产生于上世纪80年代末,最初用于研究非牛顿流体力学和多孔媒质中气体的湍流问题,近年来广泛应用于非线性弹性力学、非牛顿力学、人口生物学、天体物理学、燃烧理论、冰川学等多种问题的研究中。因此,对这类方程的研究具有重要的现实意义。近年来,关于p-Laplacian方程特征值的Dirichet问题正解的存在性和多重性已取得大量的科研成果[1-6]。例如, 文献[1]研究了一类含有p-Laplacian 算子的拟线性椭圆方程组:

(1)

至少有两个不同的非平凡解。特别地, 文献[12]讨论了问题(1),证明了存在一个开区间Λ⊆[0,+∞)和正数ρ,使得对任意的λ∈Λ,问题(1)至少有三个弱解且范数小于ρ。

在已有关于含有(p,q)-Laplacian方程组的解的存在性研究的基础上,笔者研究了一类含有(p1,…,pn)-Laplacian的非线性椭圆方程组

(2)

问题(2)的能量泛函为

u1(x),…,un(x))dx。

此外,u=(u1,u2,…,un)∈X是问题(2)的弱解当且仅当u是I的临界点。即:对任意的v=(v1,v2,…,vn)∈X,满足

1　预备知识

定理1[10]令X是可分的自反的实Banach空间,Φ:X→R是连续Gteaux可微且序列弱下半连续泛函,其Gteaux导算子在X*上有连续可逆算子,Ψ:X→R是连续Gteaux可微泛函且其Gteaux导算子是紧的。假设

并且存在连续凹泛函h:[0,+∞)→R,使得

则存在一个开区间Λ⊆[0,+∞)和一个正实数ρ,使得对每一个λ∈Λ,和带有紧的导算子的C1泛函J:X→R,存在δ>0 满足, 对每一个μ∈[0,δ],方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

在X上至少有三个范数小于ρ的解。

令

因为pi>N,则s<+∞,此外,对于1≤i≤n,如下不等式成立[13]:

其中,Γ表示Gamma函数,m(Ω)表示Ω的Lebesgue测度。

取x0∈Ω,r2>r1>0,满足B(x0,r1)⊂B(x0,r2)⊆Ω。令

θi=θi(N,pi,r1,r2)=

1≤i≤n。

文中的主要结论还依赖如下引理。

(1)F(x,t1,…,tn)≥0,∀(x,t1,…,tn)∈ΩB(x0,r1)×[0,d]×…×[0,d];

和

证明令

则(u1,u2,…,un)=(ω1,ω2,…,ωn)∈X,并且

‖,

因此,有

由引理1条件(1),得到

∫ΩB(x0, r2)F(x,ω1(x),…,ωn(x))dx+

∫B(x0, r2)B(x0, r1)F(x,ω1(x),…,ωn(x))dx≥0,

因此,由引理1假设(2),有

2　主要结论

(1)F(x,t1,…,tn)≥0,∀(x,t1,…,tn)∈ΩB(x0,r1)×[0,d]×…×[0,d];

(5)存在一个开区间Λ⊆[0,+∞)和一个正实数ρ,使得对每一个λ∈Λ,对于所有的γ>0,

则存在δ>0,对每一个μ∈[0,δ],问题(1)在X上至少有三个范数小于ρ的解。

证明对任意的u∈X,令

显然,Φ是连续Gteaux可微且序列弱下半连续泛函,其Gteaux导算子在X*上有连续可逆算子;Ψ和J是连续Gteaux可微泛函且其Gteaux导算子是紧的。特别,对任意的u=(u1,u2,…,un)∈X,v=(v1,v2,…,vn)∈X,

因此问题(2)的弱解正是方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

的解,由定理2(3), 对任意λ>0, 有

再由引理1,存在ω=(ω1,ω2,…,ωn)∈X,满足

Φ(0,0,…,0),

对任意的u=(u1,u2,…,un),有

即

则

固定ρ,满足

其中,h(λ)=λρ,则由定理1,结论成立,即问题(2)在X上至少有三个范数小于ρ的解。

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[11]RICCERI B. Existence of three solutions for a class of elliptic ei-

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[13]TALENTI G. Some inequalities of sobolev type on two-dimensional spheres[M]//Walter W. General Inequalities 5. Boston: Birkhauser Basel, 1987: 401-408.

(编辑王冬)

Existence of three solutions for class of equations involving (p1,…,pn)-Laplacian

PANXiaoli1,ZHAOYongchao2

(1.School of Sciences, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China; 2.College of Engineering, Northeast Agricultural University, Harbin 150030, China)

Aimed at promoting the partial results of the (p,q)-Laplacian equations to the (p1,…,pn)-Laplacian equations, this paper discusses a class of quasi-linear elliptic equations involving the (p1,…,pn)-Laplacian with Dirichlet boundary condition and proves the existence of at least three weak solutions via three critical points theorem and some other properties of generalized Sobolev spaces. The energy functional is expressed in some appropriate generalized Sobolev spaces according to the variational principle, and the existence of three solutions for the elliptic equations is proved under certain conditions. The study extending the previous results of the existence serves to prove other properties of the elliptic equations.

three critical points theorem; critical points; multiplicity results; three solutions; (p1,…,pn)-Laplacian

2013-04-17

黑龙江省教育厅海外学人科研资助项目(1153h02)

潘晓丽(1982-),女,达斡尔族,内蒙古自治区莫旗人,讲师,硕士,研究方向:偏微分方程,E-mail:panxiaoli006@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.022

O175.25

1671-0118(2013)03-0314-05

A