平面翻折寻常事 一问一变巧传情——一道立体几何翻折问题的教学案例

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(象山中学 浙江象山 315700)

平面翻折寻常事一问一变巧传情——一道立体几何翻折问题的教学案例

●张美娟

(象山中学 浙江象山 315700)

立体几何中的“翻折问题”是在图形动态变化的过程中,探究静态的空间位置关系与数量关系，是探索变化过程中某一参变量的变化范围问题,能很好地考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力,是这几年浙江省高考命题的热点.从2009年开始至今的高考中有3年考到翻折问题,由于翻折使图形由“静态”转化为“动态”,提升了思维的难度,拓宽了空间想象的范围,学生普遍感到较难把握,从而得分率较低.因此对翻折问题的教学研究,显得非常重要.本文通过对2012年浙江省数学高考试题第10题——翻折问题的教学,谈谈如何在教学中渗透“怎么做”,研究思考的突破口,希望能得到同行的指正.

1 问题呈现

( )

A.存在某个位置,使得直线AC与BD垂直

B.存在某个位置,使得直线AB与CD垂直

C.存在某个位置,使得直线AD与BC垂直

D.对任意位置,3对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直

(2012年浙江省数学高考试题)

环节1阅读型提问,理解题目

著名数学教育家斯托利亚尔说:“数学教学就是数学语言的教学.”但在实际教学中常将数学教学简化为解题教学,认为让学生阅读思考是浪费时间.其实,数学文本材料是说明性的文字表现,倾向于将复杂的问题情境简洁地呈现给学生,让其在简短的文字中发现所蕴含的数量关系.因此,在数学教学中,教师给予学生一定的时间阅读、动手画图及符号化,生动形象的图形变化过程是必要的.

师：未知量是什么？

生：3对直线AC与BD,AB与CD,AD与BC是否垂直？

师：已知数据是什么？

师：条件是什么？

图1

生：如图1，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折.

师：你需要观察的是什么？

生：在翻折过程中,是否存在某个位置,使3对直线AC与BD,AB与CD,AD与BC垂直？

评注每个学生都有分析、解决和创造的潜能,都有一种与生俱来的探索、研究与发现的创造本能.教师通过问题串：“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？把条件的各个部分分开,你能否用不同的方法重新叙述它？”这既是与解题直接相关的认知环节,也是对学生心理的充分把握,让学生表现出更充足的自信、更认真的思考,使学生更积极地寻找解决问题的思路和答案,培养学生自我发问的审题习惯.

环节2回顾性提问,唤醒思维

师：你知道其他与其有关的题目吗？

生思索.

师：观察未知量.以前碰到过类似的题目吗？

师：未知量是什么(关注目标)？

生：2条直线是否垂直.

师：以前做过线线垂直的题目吗(提示学生联想)？怎么判断线线垂直呢？

生：线面垂直.

师：你能举一个例子吗？线线、线面关系出现比较多的简单几何体是什么？

生(联想)：正方体

教师让学生画一个正方体,并观察.图2中有线线垂直关系吗？有与此题类似的线线位置关系吗？以选择项A中直线AC与BD为例进行说明.

生：图2中直线BD与A1C垂直.

从1831年法拉第发现了电磁感应以来，人类进入了电器时代。100多年来，科学技术不断进步，电器设备也越来越多样化，新型设备的不断出现，也是对能源的一大挑战。如今，能源的短缺是全社会共同关注的重点问题，因此从科学发展、可持续发展等方面考虑，电气工程有必要进行节能设计。

师：你是如何判断直线BD与A1C垂直的？

生：BD⊥面A1CA,因为直线BD⊥A1A,BD⊥AC.

师：再观察未知量.在图像变化过程中直线BD是否垂直于直线AC呢？

图2 图3

部分学生受图2的影响,把矩形ABCD画成正方形(如图3),则在翻折过程中直线BD⊥平面AOC.并类比在矩形ABCD中作出与BD垂直的直线AE(如图4),垂足为点O,在翻折过程中,BD⊥面AOE,则直线BD不可能垂直AC.

图4 图5

教师继续提问：如何判断直线BD是否垂直于直线AC呢？

生：BD是否垂直AC所在的面.

师：如何判断线面垂直？

生：线线垂直.

师：与BD垂直的线有吗？已知数据与已知条件是什么？

生：没有现成的,需要在面BDC或面ABD内作一条.

学生作出BD的垂线AO,CF(如图5),在翻折过程中分别与直线AC构成面AOC与面CFA.如果BD⊥AC,则BD⊥面AOC,BD⊥面ACF(这不可能).

评注在教学中,学生已具备解题所需要的知识储备,只是不知道如何提取、组织与运用.教师的重要任务之一是帮助学生优化已有的知识经验与认知结构,将“货源充足”的知识仓库“组织良好”.此处教师看似“漫不经意”的提问,旨在唤醒学生的思维,寻找问题与知识之间的联系,促使已有解题经验的迁移.教师启发性的、层层递进的提问,是对主体解题思维活动的反诘,是一种自我意识、自我预测、自我调节与监控,也是隐性而不露痕迹的,这样学生才感觉到:在自己的思考下独立解题,收获成功的自信.

环节3激发性提问,完善思维

师：在翻折过程中直线AB与CD是否垂直？你如何判断直线AB与CD是否垂直？

生：在翻折过程中,直线CD是否垂直直线AB所在的面.

师：如何找与直线CD垂直的面？

生：先找与直线CD垂直的线——BC与AD.

师：在运动过程中都能垂直吗？

生：直线BC能,直线AD不能.

师：为什么？

生：在翻折过程中,直线AD与CD的位置关系在改变,而直线BC与CD的位置关系不变.

师：为什么？

生：直线AD与CD在折线的2侧,而直线BC与CD在折线的同侧.

师：找到与CD垂直的直线BC的目的是什么？

生：在翻折过程中能否与直线AB构成与直线CD垂直的面.

师：能吗？为什么？

生：能,因为在翻折过程中,点A在面BCD内的射影可以落在边BC上.

师：为什么？

生：因为ABCD是矩形,所以BC>AB.

至此教师的目的达到了，选择项B成立，排除了选择项C,D.

评注对学生的发展而言,解决问题活动的价值不只是获得具体的结论,它更大的意义是启迪学生的思维,使思维实现直觉向理性的跃升.教师通过问题串,调动学生对图形的直观感知与原先的解题经验,使学生进一步完善解题思路,使解题思路更加理性与成熟,检验每一步的正确性.这样,学生收获的将不仅是数学知识,还有“数学思考”的意识和“问题解决”的艺术.

环节4反思型提问,沉积思维

数学教学应重视揭示获取知识的思维过程,重视对学生回顾与反思意识的培养.学生对重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等,都需要一个足够的探索、交流的活动空间,需要“解题之后的回顾与反思”.

(1)你能改变条件,使存在某一位置,使直线BD与AC垂直吗？

(2)若把矩形ABCD改为正方形,结果如何？

(3)你能改变条件使3对直线在翻折过程中都有可能垂直吗？

(4)若只让直线AD⊥BC,如何改变题设？

(6)图像在翻折过程中有什么特征？

(7)在解题过程中你用到了所有的数据了吗？

(8)你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？

其中问题(1)，(2)，(3)本质上是同一个问题.

评注4教学中,用“足”问题资源能提高教与学的有效性.在解题后的“回头望”,对解题过程加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的.因为对解题过程的回顾和审视会对题目有更全面、更深刻的理解,既可以检验解题结果是否正确、全面,推理过程是否无误、简捷,还可以揭示问题之间规律性的联系,发挥例题、习题的“迁移”功能.

环节5变式拓展,问题延伸

教师不应满足于一问一答式的低级认知技能,还应让学生通过归纳推测、类比联想、改变属性、追溯过程等方法,对问题进行变更、引申、拓展,让学生在数学情境中发现新问题,提出新见解.提出问题,是思维创新的过程,是知识的内化与提升的一个重要手段,能够促进学生智慧生成.因此教学的最后阶段,是教师让学生对题目进行改编.下面是一些成果体现:

(答案:①②③④.)

变式2(以第2个选择项为背景)

(1)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将△ABD沿BD折起,使平面ABC⊥平面BCD,在平面ABC内,过点A作AK⊥BC,K为垂足,则BK=______.

图6

(2)在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E为AD中点,F为线段ED(端点除外)上一动点,现将△ABF沿BF折起,使平面ABC⊥平面BCD,在平面ABC内过点A作AK⊥BC,K为垂足(如图6).设BK=t,则t的取值范围是______.

(2009年浙江省数学高考试题第17题改编)

变式3(1)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.在线段AD上是否存在一点N,当将△ABN沿BN折起至平面ABN⊥平面BCD时,CN⊥AB?

(2)已知矩形ABCD,AB=a,当线段AD长为多少时,在线段AD上存在点N,当将△ABN沿BN折起至平面ABN⊥平面BCD时,CN⊥AB?

(答案:(1)存在;(2)[2a,+∞).)

变式4在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,点E为AB中点,点F在线段AD上,且AF=2.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF.

(1)求二面角A′-EB-C的余弦值;

(2)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A′重合,求线段BN的长.

(2010年浙江省数学高考试题第20题改编)

2 案例反思

建构主义理论认为,学生是信息加工的主体,是意义的主动建构者.课程标准理念下的高三数学复习课应突出学生知识的意义建构.因此,高三复习教学,不应是教师展示解题的“才艺表演”,更不应只强调静态数学知识(数学概念、命题、算法、解题技巧等)的获得,不注重数学思维与思想方法的培养与渗透,使教学成为单纯的习题演算操练；数学教学是思维的教学,从这一角度出发,教学就应当给学生更多的时间去思考、更多的机会阐述自己对问题的看法.作为教学活动的组织者,应思考并实践,如何“让学生带着问题轻松步入课堂,在愉快且又适度紧张中学习(探究);又要让学生带着新的、更高层次的问题走出课堂,在自由自在中研究(学习)、发展”，让学生在课堂上主动积极地展示自己的才华智慧.复习课上有一个突出的矛盾,就是时间太紧,既要处理足量的题目,又要充分展示学生的思维过程,但只要教师能充分发挥点拨、启发、诱导、调控的主导作用,二者是可以兼顾的.由此可见,高三数学复习教学,更应使课堂教学真正成为师生互动、对话式的主体自主探究与自省研究的学习过程.

[1] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬,译．上海：上海教育出版社,1995：1-23.

[2] 俞宏达.数学解题教学中自然而有效的提问方式探析[J]．中学数学,2005(12)：4-7.