例谈导数综合题中数形结合的应用

●

(杭州市外国语学校 浙江杭州 310023)

例谈导数综合题中数形结合的应用

●张传鹏

(杭州市外国语学校 浙江杭州 310023)

纵观近几年全国各地区的数学高考，每年都有导数试题，且有一道大题考查利用导数研究函数的极值、单调区间、实际应用或证明不等式，尤其是试题中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象的问题更加复杂化.许多学生在学习和解答时，十分茫然，不知从何下手.其实在解决此类问题时，若能将抽象化为直观，并时刻给学生渗透“数形结合思想”，则问题可以变得更简单明了.

(2009年福建省数学高考理科试题)

解法1f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),

得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞)，单调递减区间为(-1,3)，因此

从而直线MP的方程为

联立

得

x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2+4m=0,

线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，等价于上述方程在(-1,m)上有根，即函数

g(x)=x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2+4m

在(-1,m)上有零点.因为g(x)为三次函数，所以g(x)至多有3个零点，2个极值点，又g(-1)=g(m)=0，因此g(x)在(-1,m)上有零点等价于g(x)在(-1,m)上恰有一个极大值点和一个极小值点，即

g′(x)=3x2-6x-m2+4m-4=0

在(-1,m)上有2个不相等的实数根，即

解得

2

图1

又因为-1

解得m=2，因此满足题设条件的t的最小值为2.

评注本题给出了2种解法：解法1通过分析把问题转化为“当方程3x2-6x-m2+4m-4=0在(-1,m)上有2个不相等的实数根时求实数m的取值范围”，容易找到思路，但计算量大.证法2则巧妙地利用函数图像，通过分析知道当线段MP与曲线f(x)相切时，t取到最小值,使得问题简单明了，且计算量小，学生容易理解.

例2已知函数f(x)=(k2-klnx)ex(k为非零常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．当b>0时,若f(x)≥(1+a)x-exlnx+b在定义域上恒成立，求(a+1)b的最大值．

解法1f(x)≥(1+a)x-exlnx+b⟺ex-(a+1)x-b≥0，令h(x)=ex-(a+1)x-b≥0，则

h′(x)=ex-(a+1).

当a+1<1时,h′(x)>0，从而y=h(x)在x∈R+上单调递增,因此

h(x)>h(0)=1-b≥0,

即0

当a+1=1时,h′(x)>0，从而y=h(x)在x∈R+上单调递增，因此

h(x)>h(0)=1-b≥0，

即b≤1，此时(a+1)b的最大值为1．

当a+1>1时,由h′(x)>0⟺x>ln(a+1),h′(x)<0⟺x

h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0,

即

b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1),

从而

(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(其中a+1>1).

令a+1=t(t>1),设F(t)=t2-t2lnt(t>1),则

F′(t)=t(1-2lnt),

从而

解法2基本不等式法.

由f(x)≥(1+a)x-exlnx+b⟺ex-(a+1)x-b≥0,得

从而

因此

解法3数形结合法.

f(x)≥(1+a)x-exlnx+b⟺ex-(a+1)x-b≥0,即ex≥(a+1)x+b在定义域上恒成立，则

a+1≥0.

当a+1=0时，(a+1)b=0.

当a+1>0时，如图2所示，设曲线y=ex,y=(a+1)x+b，2条曲线切点为P(x0,ex0)，则

从而(a+1)b=ex0(ex0-x0ex0)=e2x0(1-x0)，

图2

则

因此

评注本题给出了3种解法：解法1通过讨论求出(a+1)b的最大值，比较繁琐，学生不易想到，且运算量较大；解法2则巧妙地利用了基本不等式，再借助于导数，求出(a+1)b的最大值；解法3巧妙利用了2个函数图像相切的位置关系，求出了(a+1)b的最大值，思路简洁，学生容易理解.

例3设函数f(x)=x2-xlnx+2，

(1)求f(x)的单调区间；

解(1)令g(x)=f′(x)=2x-lnx-1(x>0)，则

故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).

F′(x)<0；

当x∈(1,+∞)时，G(x)>0,从而

F′(x)>0,

故

图3

解得

若要有2个交点，则必有k>1，故

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路.最常用的是“以形助数”的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归.从上面的探讨可以看出，在导函数的教学过程中，除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数形结合思想的方法来研究问题，从而提高学生的创新能力和实践能力.

(本文系全国教育科学“十二五”规划2011 年度教育部重点课题“高中数学有效教学课例研究”(课题批准号：DHA110240)的阶段性成果.)