一节专题复习课的设计与反思——以“圆锥曲线中的最值问题”为例

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(黄岩中学 浙江黄岩 318020 )

一节专题复习课的设计与反思
——以“圆锥曲线中的最值问题”为例

●李柏青

(黄岩中学 浙江黄岩 318020 )

在“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”第4次研讨会上,笔者上了一节高三专题复习课“圆锥曲线中的最值问题”.圆锥曲线中的最值问题是与圆锥曲线相关的典型综合性问题.通过这一类问题的分析、解决和反思,能引导学生提炼数形结合思想方法和解决此类问题的基本策略,举一反三、触类旁通,发展数学思维.

1 设计前的思考

1.1 内容分析

在解析几何中,曲线是具有某种属性的动点轨迹,在用坐标法建立点与有序数对的联系后,点动伴随着数量的变化,研究变化中的最值问题自然而生.圆锥曲线中的最值问题,涉及圆锥曲线的定义、方程及其几何性质等核心内容,核心思想是数形结合思想,基本策略主要是通过代数分析和几何分析,建立适当的数学模型(主要是函数模型和几何模型).其中几何分析宜优先选择,即依据曲线的定义和几何性质,借助几何直观直接作出最值点位置的判断；但当几何关系不明显时,就需要借助代数分析来实现突破,即通过引进参变量,将目标表示为参变量的函数,进而转化为函数的最值问题求解.

根据上述分析,本课的教学重点是:通过对圆锥曲线中最值问题的分析与解决,掌握代数分析和几何分析2种基本策略,并能进行简单的应用.

1.2 学情分析

在本课学习前,学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握,对圆锥曲线中的最值问题也有过一些接触,初步具备了自主解决一些简单问题的能力.在解决较综合的问题中,可能会有以下一些障碍:

(1)审题往往是薄弱环节,比如不明确问题的条件和结论,就进行盲目的求解；不重视目标的导向作用,忽视变量隐含的取值范围等等.

(2)面对问题的条件和结论,难以激活相关的知识,不能加以灵活运用.

(3)分析过程缺乏策略性知识,不能对解决问题的策略作出合理的选择或判断.

(4)代数的运算能力不强,忽视图形中几何关系的推理转化，在一定程度上影响问题解决的执行力.

(5)解题习惯于就题论题,缺乏自主性的总结与反思,对解决问题的方法和策略认识模糊,难以形成有效的学习经验.

为了突出重点,确定本课的难点是:圆锥曲线相关知识的综合与联系,加强数形结合的能力，提高策略性知识的学习与运用.

在教学中,设置的问题力求简洁明了,分析时保证学生独立思考的时间,重视自我反思和总结.同时通过多题一解强化技能,通过一题多解激发学生思考的热情和创新的意识.

1.3 确定目标

根据教学内容与学情分析,确定本课的教学目标：

(1)了解圆锥曲线中的最值问题的特点,通过一些典型问题的分析与解决,了解代数分析和几何分析这2种基本策略,明确方法的操作步骤,能根据问题的特点选择合理的策略；

(2)通过最值问题的解决,进一步加深对圆锥曲线定义、方程、几何性质等基础知识的理解和运用,体会数形结合思想；

(3)在问题解决的过程中,学会自主探究,在交流、反思、概括的过程中强化策略意识和创新意识.

2 过程的设计

图1

2.1 解决问题,提炼策略

如图1,点P是抛物线上的一个动点,随着点P的运动,一些与之相关的量也随之发生着变化,而研究变化中的最值问题是一项既有意义又有挑战性的任务.

如何根据这类问题的特点,寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.

问题1做一做，想一想

已知F(0,1),M(0,3),N(3,0),P是抛物线x2=4y上的一个动点.

(1)求|PF|的最小值；

(2)求|PM|的最小值；

(3)求|PM|+|PN|的最小值.

解后反思(1)分析你在求解过程中主要用了哪些知识?

(2)你能概括出求解过程中关键的操作步骤吗？

(3)你能否用简单的语言总结解决圆锥曲线中最值问题的基本策略？

(4)面对具体问题时如何选择相应的策略,你有怎样的经验？

设计意图问题1结构清楚,入口简单,计算简明.在方法上有回归定义、构造函数、几何论证等典型方法．让学生先做,一方面是了解学生的学习水平,诊断学生在学习中存在的问题；另一方面,通过学生的做,对此类问题及其解法有切身的感受与体验.

由于学生的能力有差异,同时出示“问题和反思”,可以为学生提供自主发展的时间和空间．同时也提醒学生解题不是最终目的,重要的是学会解题后的反思，从而总结出解决圆锥曲线中最值问题的基本策略以及具体明确的操作步骤.

2.2 初步应用,巩固策略

2.2.1 基础训练

(1)点P是抛物线C：x2=4y上的动点,F是抛物线C的焦点,点M(2,4),则|PF|+|PM|的最小值为________.

设计意图基础训练涉及抛物线、圆与椭圆上的动点,目标依然是两点间距离的最值，它是对已经获得的基本策略和方法的检测和强化.其中第(1)小题利用抛物线的定义转化为求点P到准线与定点的距离之和的最小值,再利用平面几何知识作直接判断；第(2)小题先利用圆的几何特点,得到|PM|-1≤|PQ|≤|PM|+1,从而将问题转化为求椭圆上动点P到圆心M的距离|PM|的最值问题,再利用代数的方法建立目标函数进行求解．

2个问题都利用几何关系先将目标量进行适当转化,再通过几何分析或代数分析的策略进行求解,体现了解法的灵活性.设计成填空题的形式可引导学生优先选择图形直观解决问题,解答题形式强调理性推导,对学生的掌握情况进行有效的反馈.

2.2.2 变式训练

问题2议一议

图2

设计意图本题以直线与椭圆的位置关系为背景,以直线运动引发数量“比值”的变化.实际上是基本训练中第(2)小题的变式.

采用问题变式,促使学生透过表面现象把握问题的本质.同时通过一题多解,引导学生养成深入思考、优化选择、积极进取的学习习惯.

2.3 综合应用,提升策略

问题3说一说

图3

你能说明理由吗？谈谈你的解题思路,并与同学议一议,了解一些不同的思路.

设计意图本题重在一题多解，在策略的选择、方法的实施中各个环节都会有不同方案：

若将图形的变化归因于直线y=kx的运动,则以k为参变量,通过求弦长|PQ|和点A,B到直线y=kx的距离来构建目标函数：

若将图形的变化归结为点P的运动,则以点P的坐标为参变量,利用图形的结构特点建立目标函数,建立的过程也可有不同的方法：

(1)S=S△ABP+S△ABQ=

(2)S= (S△POB+S△QOB)+(S△POA+S△QOA)=

若从圆与椭圆类比的角度分析,可以通过伸缩变换将椭圆的内接四边形映射为圆的内接四边形.利用图形的几何特征判断出圆内接四边形面积的最大值,再反演到椭圆内接四边形面积的最大值.

上述解法充分体现了策略的选择性和方法的灵活性,强调了数形结合、转化与化归等核心思想的运用.在使用过程中借助一个“好题”,由学生自主地思考、讨论、交流、表达,以一题多解的方式提升思维的深刻性和创造性,激发学生参与学习的热情,养成锲而不舍的意志品质.

2.4 反思总结,内化策略

通过本节课的学习,你有什么收获？

(1)你能否总结出解决圆锥曲线中最值问题的一般策略？

(2)能否进一步说明这些方法的具体步骤？

(3)你还有其他收获或感想吗？请与大家一起分享.

设计意图教师引导下的自主反思,是解题策略和思想方法内化的有效途径.

图4

2.5 目标检测

设计意图提出问题是学生学习的“弱点”.在复习课的教学中,让学生尝试从特定角度提出“自己”的问题并交流.这既是目标达成的检测,也是对学生创新意识的培养.

3 基于课例的反思

从教学实施的情况看,基本达到了预期的效果,学生的参与度高,思考时间充足,课堂气氛热烈,精彩生成不断.课中及课后的反馈表明教学是有效的.

专题复习课一般针对某些核心知识、某类典型的问题、某种思想方法作专题性的复习.它的重点是程序性知识和策略性知识的学习.通过问题的解决,明确方法的操作步骤,体会数学思想方法的应用,掌握解决一类问题的基本策略,并能进行自觉的迁移.

本课作为一节典型的专题复习课,课堂结构相对稳定,教学环节比较鲜明.具体如表1所示：

表1 专题复习题的组成

续表1

巩固策略提出已知问题的简单变式简单运用策略,独立解决,巩固所得,强化技能,提高迁移能力组织反馈与评价提升策略提出综合性、发展性和挑战性的问题交流、讨论,寻求问题解决的思路与方法,追求一题多解、发展思维组织、讲解、引导、激励策略内化提出反思性问题自己反思、总结,相互交流心得组织、鼓励目标检测提出开放性问题独立编题、相互解题提供问题背景,组织交流与评价

在这些环节中,问题的设置是核心环节.问题的设置要围绕着核心内容和思想方法，要强调知识的综合和联系，针对学生的问题，保证一定的层次性和发展性,能进行适当的延伸或变式.

本课教学中设计了独立解决、反思提炼、合作研讨、讲议结合、思路探寻等各种活动——“做、思、说、议”,这些活动都是为概括数学思想方法和解决问题策略服务的.独立解决问题、反思总结是基本学习活动的平台.

概括是学习数学思想方法和解决问题策略的关键.概括就是把典型问题解决的基本步骤和要点一般化、程序化,并用语言清晰表述,使之成为今后问题解决的指南.

适当训练是内化数学思想方法和解决问题的基本途径.要把总结出的思想方法和策略内化为问题启动的自动化行为习惯,需要经过适当的训练使操作程序“缩短”,形成可以嵌入新情境的“子程序”,并通过相互联系,形成数学思想方法和策略系统.

综上所述,以问题为载体,以解决问题和反思总结为平台,以概括数学思想方法、发展数学思维为核心,以适当训练为渠道,这应该是专题复习课教学的基本策略.

[1] 涂荣豹,宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社,2011.6.

[2] 曹才翰,章建跃.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社,2008.4.