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(会宫中学 安徽枞阳 246740)
一道湖北预赛试题的解法及一般性结论
●王怀明汪根友
(会宫中学 安徽枞阳 246740)
(2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)
图1
图2
(1)
(2)
评注该解法通过构造数量积,把向量等式化为数量形式,然后利用向量数量积的几何意义,通过计算得到2个方程,计算量比解法1要小.
图3
AF=OF=AE.
由OF∥AB,得
即
解得
因此
因为AB=2,AC=3,所以
评注该解法根据平面向量基本定理作平行四边形,再由三角形内心的性质求出p,q的值,计算量较小.
我们发现p,q的值与△ABC的3条边的长度紧密相关:它们的分母7等于3条边长度之和,分子分别等于AB,AC的长度,p,q的比值恰好等于2条边AB,AC的长度之比,是巧合还是必然?经过探究,笔者得到如下结论:
图4
由点O是△ABC的内心,得AO平分∠BAC,即四边形AEOF是菱形,从而
AE=AF=OF.
由OF∥AB,得
即
解得
因此
即
同理可得
笔者还发现p,q的比值仅与边AB,AC的长度有关,而与另一边BC的长度无关,因此该试题的条件“BC=2”是多余的.若要求出p,q的值,则需要用到此条件.