把握“长度”“方向”两要素 寻求“代数”“几何”双突破——话说数学高考平面向量题的快速破解艺术

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(青田县教师进修学校 浙江青田 323900)

把握“长度”“方向”两要素寻求“代数”“几何”双突破——话说数学高考平面向量题的快速破解艺术

●蒋海瓯

(青田县教师进修学校 浙江青田 323900)

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一．平面向量自进入高中数学新课程以来，就以其具备“长度”与“方向”两要素，兼具“代数”与“几何”双形态，成为高中数学的重点内容与主干知识，成为实施数形结合的有效工具，成为检测学生思维能力和综合素养的重要素材，因而备受高考命题者的青睐与厚爱，成为近10年来每年高考必考的一个热点问题，并在考查力度上有日渐加强、加深、加大之态势．

近几年高考时常呈现“富有创意、独具魅力、难度适中”的平面向量试题，成为高考数学试卷中的一大亮色．这类试题仔细分析起来其实并不难，但学生求解起来却很繁琐．例如：2013年浙江省数学高考理科卷第7题，相当多的学生投放了大量的求解时间、进行了大量的推算(有些学生据此还不得其解)，许多学生甚至发出了这道平面向量题运算量怎么这么大的感叹声，严重影响了后续题目的求解，时间的投入与效益的产出极不相符，这不免引起了我们深深的警觉！为此，我们有必要探寻与阐述求解高考数学平面向量题的策略水平和快速破解艺术！

1 解决长度问题

快速破解艺术1:解决长度问题(指求解向量的模)，采用平方转换(即平方化)，常可巧夺天工，直达目的.

向量是一个既有“大小”(长度或称为模)又有“方向”的量．求解向量的长度(即向量的模)或模的取值范围是历年数学高考中的常见题型，而许多高考试题也常常涉及或用到有关向量模的确定与求解．解决此类问题，按题设给定的条件，直接地去求解向量的模往往不太方便.采用|a|2=a2(由a2=a·a，实质上是将向量的模转换成向量的数量积来处理)的方法，运用这种“平方化”的迂回战术，将向量模的问题转化为简单的向量数量积的计算来转换求解，可巧妙化解．

(2013年浙江省数学高考文、理科试题)

速解由|b|2=b2=x2+y2+2xye1e2=

得

由y∈R得

Δ=3x2-4(x2-|b|2)≥0,

点评这里特别地利用了|a|2=a2这一技巧，自然、顺利、快速地破解了该填空压轴题．

(2012年全国数学高考新课标卷理科试题)

分析这里直接去寻求|b|将难以入手，不便操作.先对题设中的条件进行分析变换，“平方化解”是良策．

(2a-b)2=10，

展开得

4a2+b2-4ab=10，

从而

4+|b|2-4|b|cos45°=10，

故

点评在求解与向量的模有关的问题时，养成运用|a|2=a2求解的思想意识与解题习惯，可以达到“巧取豪夺”之效果，其操作简便易行，却能大大地节约解题的时间成本．

2 计算数量问题

快速破解艺术2：计算数量问题(如向量的数量积)，先用基本定理(或回路法)，常能另辟蹊径，快速便捷.

平面向量基本定理(同一平面内的任一向量都可表示为该平面内的2个不共线向量的线性组合)是平面向量的重要定理，它为平面向量间的运算与变换提供保障，更为向量运算数量化、代数化提供理论依据．运用平面向量基本定理，选取恰当的“基底”是关键．为便于操作与变换，我们常常采用向量的“回路法”变换(回路即指几个首尾相连的向量构成一个封闭图形，即“回路图”)，将未知、难求的向量转化为已知、易求的向量．近几年高考中有关平面向量数量积的考题，直接运用数量积公式常常很难求解甚至不能求解，而先用“回路法”进行向量间适当的变形与变换，却能暗渡陈仓，快速获解．

(2013年天津市数学高考文、理科试题)

速解如图1，

得

点评运用向量基本定理，选取合适的基底很重要．回路法是选择基底的一种简明而有效的方法．

图1 图2

(2012年浙江省数学高考文、理科试题)

分析鉴于问题的一般性，此题较为适合的求解方法是特殊化：即把三角形看成等腰三角形，以求快速地得出结论．此时，

由余弦定理，得

速解如图2，

点评本题若采用“特殊化”再加“坐标化”(建立直角坐标系)，求解当然非常地简明快捷，此处从略．

3 方向确定问题

快速破解艺术3：方向确定问题(指向量方向明确)，找寻几何模型(即几何化)，常显别样天空，简明迅捷.

向量的加法、减法、数乘等线性运算都有着明确的几何意义(向量的加法遵守平行四边形法则或三角形法则，向量的减法遵守三角形法则，向量的数乘与原向量共线，它们都有着明晰的几何模型)，向量a,b的数量积a·b也可看成是向量a的模|a|与向量b在a方向上的射影|b|cosα的乘积．平面向量兼具“代数”与“几何”的双重身份，平面向量问题的思考要善于从“数”与“形”的结合和转化入手，尤其关注向量方向的确认，使平面向量的有关问题回归为平面几何的常见问题，从而直观明晰，迅捷破解．

例5已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是______.

(2010年浙江省数学高考理科试题)

分析按照本题提供的题设条件，求解一般会按以下思维过程运行：

因为β=α+(β-α),所以

β2=α2+(β-α)2+2α(β-α).

由|β|=1,α与β-α的夹角为120°,知

1=|α|2+|β-α|2-|α|·|β-α|,

从而 |β-α|2-|α|·|β-α|+|α|2-1=0.

这个关于|β-α|的一元二次方程有实根，从而

Δ=|α|2-4(|α|2-1)≥0,

得

又因为|α|>0,所以

该求解过程比较繁琐，而且求解有一定的技巧性，一般学生即使想到了也不一定能将运算进行到底．

图3

故

点评这里依据向量减法的几何意义，找到了问题的几何模型，将平面向量问题巧妙地转化成为平面几何中的基本图形——三角形，从而使考题的求解不仅直观清晰，而且简单易行，令人赏心悦目．

例6已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省数学高考理科试题)

分析按照题目的表面特征，直接求解本题，考生一般采用下面的解法(即常规解法)：

因为(a-c)·(b-c)=0,所以

a·b-a·c-b·c+c2=0,

从而

a·b=0

即

c2=(a+b)·c,

因此

|c|2=|(a+b)·c|≤|a+b|·|c|.

所以

即

于是

故选C．

该解法直接运用向量的运算法则，逐步推进，不断深化，并且要运用向量的重要性质|a·b|≤|a|·|b|进行转化，从而把等式问题转变为不等式问题，最后解一元二次不等式而获得本题的答案．这种解法过程冗长，小题大做，求解需要大量的时间，推演过程还有一定的难度，就选择题而言，并不合算．

图4

故选C．

点评这里通过对题设条件的剖析，采用数形结合的思想方法，将向量问题几何化，把复杂的考题即刻转化为平面几何中的基本图形——圆内接四边形问题，问题的求解与答案的获取如同“囊中取物，手到擒来”，变得自然、流畅而简单．

4 向量问题坐标化

快速破解艺术4：向量问题坐标化(即代数化)，是解决平面向量题的通用之法，更是破解平面向量题的便捷之策.

图5

向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示可以使向量的运算完全代数化，同时将“数”与“形”更加紧密地结合起来．实际上向量的加、减、数乘、数量积运算，向量的平行(共线)、垂直关系，向量的长度(模)、夹角都可以用坐标来表达．向量问题坐标化，不仅可以把有关平面向量考题的求解转化为学生熟知的数量运算，而且运算过程非常简洁．我们要充分发挥向量坐标法这一求解平面向量题的通用之法和便捷之策，着力增强破解平面向量题的速度和效率．

(2013年北京市数学高考理科试题)

分析本题直接从图形中寻找a,b,c之间的线性关系，有一定的难度而且稍有不慎便容易犯错．但正方形网格为我们将向量图形问题坐标化(即代数化)打开了方便之门，更为本题的求解寻找到了简洁之法．

速解以a,b的交点为原点建立直角坐标系，则

a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).

由c=λa+μb，得

-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,

从而

故

点评这里通过建立适当的直角坐标系，将平面向量代数化，把平面向量问题转化为方程或函数问题，使问题的求解变得更容易把控与便捷．

例8已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围为

( )

(2013年湖南省数学高考理科试题)

分析本题直接由|c-a-b|=1出发求解需要用不等式的有关性质，而且求解过程繁杂而冗长．而将|c-a-b|=1两边平方处理，也会带来复杂的运算过程．而题设条件a⊥b，为我们用坐标法求解提供了契机与方便．

速解由a·b=0,得a⊥b，分别以a,b为x轴、y轴建立直角坐标系，则

a=(1,0),b=(0,1),a+b=(1,1).

设c=(x,y),由|c-a-b|=1,得

(x-1)2+(y-1)2=1,

故c的轨迹是以(1,1)为圆心、1为半径的圆，从而

点评这里通过坐标化，将平面向量考题转化为我们熟悉的、便于操控的单位圆问题，从而一望而解，一举突破．

求解高考数学平面向量题，要善于通过以形助数(几何化)或以数解形(代数化)的双重突破，促使“复杂问题简单化，抽象问题具体化”，从而实现优化解题过程，提高解题效率的美好追求！

[1] 蒋海瓯.平面向量的交互性[J].中学教研(数学)，2007(3)：5-9．