不变子空间方法及一个非线性演化方程的精确解*

姜丙利， 柳银萍

(华东师范大学 计算机科学与技术系，上海 200241)

不变子空间方法及一个非线性演化方程的精确解*

姜丙利， 柳银萍

(华东师范大学 计算机科学与技术系，上海 200241)

应用不变子空间方法构造了一个非线性演化方程的精确解，通过分别考虑其2阶和3阶不同的不变子空间，获得了3个具有分离变量形式的精确解.通过和已有的解比较，所得的解都是首次报道的新解.

不变子空间方法；精确解；非线性演化方程；广义变量分离

0 引 言

非线性演化方程精确解对研究自然界的各种非线性运动具有重要意义，因为这些解可帮助人们洞察运动系统内部的结构，从而获得更广泛的应用.不变子空间方法是构造非线性偏微分方程精确解的有效方法之一，最早是由Titov等[1-2]提出，后经Qu Changzheng等[3]进一步优化和拓展，使得该方法能应用于求解两耦合的非线性演化方程的精确解.该方法通过不同阶的不变子空间，可以获得不同形式的精确解[4-6].文献[7]还给出了两耦合的非线性演化方程可能拥有的最大不变子空间的维数估算；文献[8]将该估算一般化，给出了由多个方程组成的方程组可能拥有的最大不变子空间的维数估算；文献[9-10]在前人工作的基础上，进一步简化了该方法的应用.

本文基于文献[9-10]的工作，应用不变子空间方法求解了一个非线性演化方程.

1 不变子空间方法的基本思路

考虑一个非线性演化方程

式(1)中:

式(2)中:mi表示第i个非线性微分算子Fi的最高阶微分次数;Fi[u]是足够光滑的非线性微分算子.

应用不变子空间法的具体步骤如下：

步骤1 确定非线性演化方程的不变子空间.

令Wk1,k2,…,kq表示线性空间W1k1×W2k2×…×Wqkq，其中

要求对任意的1≤i≤q,fi1(x),fi2(x),…,fiki(x)都是线性无关的.不妨令Wiki表示一个ni阶线性微分方程解的子空间，即

式(5)中:ni≥ki;ai0(x),ai1(x),…,aini-1(x)是连续函数.

如果矢量微分算子F满足如下条件：

也就是

那么，称F有不变子空间Wk1,k2,…,kq.

步骤2 构造非线性演化方程的精确解.

非线性演化方程的不变子空间是Wk1,k2,…,kq,当且仅当Cij(t)满足

方程(1)具有如下形式的精确解[9-10]：

求解线性微分方程(10)，结合式(11)，即可得到非线性演化方程(1)的精确解.

2 应用不变子空间方法求解一个非线性演化方程

考虑非线性演化方程[11]

式(12)中:p,q,r是常数；F[u]是非线性微分算子.根据文献[7-8]的结论，通过计算知，方程(12)所能考虑的不变子空间的最高维数为5，并且其他阶的不变子空间没有非平凡解.因此，以下仅分别考虑在2阶和3阶不变子空间来构造该方程的精确解.

2.12阶不变子空间W2

2阶不变子空间W2由如下线性微分方程定义：

式(13)中，a0,a1是待定常数.故方程(12)的不变子空间为W2的不变条件为

将F代入方程(14)，反复用-a1ux-a0u替代uxx,整理得到含有项uq+1,uxuq,u2xuq-1,u3xuq-2和u4xuq-3的方程.令方程中不同项的系数为零，则得到方程组

应用吴消元法软件包Charsets[12-13]求解代数方程组(15)，得到2组非平凡解：

将式(16)和式(17)分别代入式(12)和式(13)，得到

2.23阶不变子空间W3

3阶不变子空间W3由如下线性微分方程定义：

式(20)中，a0,a1,a2是待定常数.故方程(12)的不变子空间为W3的不变条件为

同样地，将非线性算子F代入方程(21)，反复用-a2uxx-a1ux-a0u替代uxxx,整理得到含有项uq+1,uxuq,uxxuq,u3xuq-2,u2xuq-1,u4xuq-3,u5xuq-4,u2xxuq-1,uxuxxuq-1,u2xuxxuq-2,u3xuxxuq-3和uxu2xxuq-2的方程.令方程中不同项的系数为零，于是有方程组

应用吴消元法软件包Charsets求解代数方程组,可得

将式(23)代入式(12)和式(20)，得

综上所述，通过分别考虑2阶和3阶不同的不变子空间，获得了3个不同的系统,即系统(18)、系统(19)和系统(24).下面将基于这3个系统构造方程(12)的精确解.

2.3构造精确解

例1考虑非线性系统(18)，由式(16)可知，系统(18)中的非线性方程是方程(12)在q=2时的情形，即

其相应的2阶不变子空间W2为

由L[y]=0可得方程(25)的不变子空间为

令方程(25)有如下形式的精确解：

将式(28)代入方程(25)，有

求解方程(29)，可得

式(30)中，B1,B2是任意常数.由式(28)和式(30)可得方程(25)的精确解为

其相应的2阶不变子空间W2为

由L[y]=0可得方程(32)的不变子空间为

令方程(32)有如下形式的精确解：

将式(35)代入方程(32)，得

求解方程(36)，得到

因此，由式(35)和式(37)可得方程(32)的精确解为

例3考虑非线性系统(24)，由式(23)可知，系统(24)中的非线性方程是方程(12)在q=1时的情形，即

其相应的3阶不变子空间W3为

由L[y]=0可得方程(39)的不变子空间为

令方程(39)有如下形式的精确解：

将式(42)代入方程(39)，有

求解方程(43)得到

式(44)中，B是任意常数.由式(42)和式(44)可得方程(39)的精确解为

3 结 论

不变子空间方法是构造非线性演化方程精确解的有效方法之一，本文将不变子空间方法应用到一个具有未知参数指数的非线性演化方程，通过分别考虑其2阶和3阶不同的不变子空间，分别获得了未知参数分别满足不同约束条件时的不同形式的精确解.这些解与文献[11]中已知的分离变量形式的解具有不同的结构，它们都是首次报道的新解.

[1]Titov S S.A method of finite-dimensional rings for solving nonlinear equations of mathematical physics[C]//Ivanova T P.Aerodynamics.Saratov:Saratov University,1988:104-109.

[2]Galaktionov V A.Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities[J].Proc Roy Soc Endin Sect A,1995,125(2):225-246.

[3]Qu Changzheng,Zhu Chunrong.Classification of coupled systems with two-component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method[J].Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2009,42(47):475201.

[4]Galaktionov V A,Svirshchevskii S R.Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics[M].London:Chapman and Hall/CRC,2007.

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[6]Svirshchevskii S R.Lie-backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations[J].Physics Letters A,1995,199(5/6):344-348.

[7]Zhu Chunrong,Qu Changzheng.Maximal dimension of invariant subspaces admitted by nonlinear vector differential operators[J].J Math Phys,2011,52(4):043507.

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[9]Ma Wenxiu.A refined invariant subspace method and applications to evolution equations[J].Science China Mathematics,2012,55(9):1769-1778.

[10]Ma Wenxiu,Liu Yinping.Invariant subspaces and exact solutions of a class of dispersive evolution equations[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(10):3795-3801.

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[13]Wang Dongming.Elimination practice:Software tools and applications[M].London:Imperial College Press,2004.

(责任编辑 陶立方)

Theinvariantsubspacemethodandexactsolutionsforanonlinearevolutionequation

JIANG Bingli, LIU Yinping

(DepartmentofComputerScienceandTechnology,EastChinaNormalUniversity,Shanghai200241,China)

The invariant subspace method was applied to construct exact solutions of a nonlinear evolution equation, and three solutions in the form of separation of variables were successfully obtained with the help of different invariant subspaces. Compared with known solutions, these solutions were first reported new solutions.

invariant subspace method; exact solution; nonlinear evolution equation; separation of variables

O157.5

A

1001-5051(2013)02-0155-06

2012-11-09

国家自然科学基金资助项目(11071274)

姜丙利(1987-),男,山西长治人,硕士研究生.研究方向:符号计算;数学机械化.

柳银萍.Email： ypliu@cs.ecnu.edu.cn