有限生成模自同态环的一种刻画*

王飞飞， 郑清月， 赵燕波， 陈淼森

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

有限生成模自同态环的一种刻画*

王飞飞， 郑清月， 赵燕波， 陈淼森

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

定义了矩阵环的零化子，对有限生成模的自同态环进行了刻画．证明了有限生成左R-模的自同态环是环R上矩阵环的一个子环的同态像，并利用此结果给出了代数学中一些经典结论的新的证明．

零化子；有限生成模；自同态环；矩阵环

0 引 言

模的自同态是代数学的一个重要研究对象．刻画模的自同态环可以推广线性代数的一些经典结论[1]，也可以为模的研究提供一种途径[2-3]．因此，研究模的自同态具有很好的理论意义．Goldie等[4]通过构造Goldie环刻画了Noether环上有限生成模的自同态环，从而推广了Levitski定理．本文通过定义矩阵环的零化子，刻画了一般环上有限生成模自同态环的结构，从而用新的方法证明了代数学中一些经典的结论．

本文中的环R均指具有单位元的结合环,模RM指幺作用左R-模．采用文献[5]中的规定，记End(RM)=EndrR(M)，即对于左R-模，将自同态作用在元素的右边．

1 循环模的自同态环

定义1[5]对于模RM的非空子集X，称l(X)={r∈R|rX=0}为X在R中的(左)零化子，简称X的零化子．特别地，当X={a}时，记l(a)=l(X)；当X=M时，记AnnR(M)=l(M)．

易知，对于模RM的任意非空子集X，l(X)是R的左理想．若X又是RM的子模，则l(X)是R的理想．

引理1对于模RM，任意m∈M，环R的子集I={r∈R|l(m)r⊆l(m)}是R的子环，且l(m)是I的理想．

证明 显然，环R的单位元1∈I．对于任意r1,r2∈I，有

l(m)(r1+r2)⊆l(m)r1+l(m)r2⊆l(m)+l(m)=l(m)，

从而r1+r2∈I．又因为l(m)(r1r2)=(l(m)r1)r2⊆l(m)r2⊆l(m)，所以r1r2∈I．因此，I是R的子环．l(m)是R的左理想，自然也是I的左理想．又由I的定义可知，l(m)也是I的右理想．所以，l(m)是R的理想．证毕．

定理1循环模RM的自同态环同构于R的子环的商环．

证明 设RM的生成元为m，则M=Rm．由引理1知，I={r∈R|l(m)r⊆l(m)}是R的子环，l(m)是I的理想．接下来分3步证明End(RM)≅I/l(m)．

1)构造映射φ．先构造从End(RM)到I/l(m)的对应法则φ．对任意f∈End(RM)，若(m)f=rm，则取f在φ作用下的像为r在I/l(m)中的等价类，即φ(f)=r+l(m)．因为f是模RM的自同态，所以(0)f=0，即对任意r0∈l(m)，有(r0m)f=r0(m)f=r0rm=0成立，即l(m)r⊆l(m)成立，因此r∈I．假设f′∈End(RM)，(m)f′ =r′m．若f=f′，则

rm=r′m⟹(r-r′)m=0⟹r-r′∈l(m)⟹r+l(m)=r′+l(m)，

即φ(f)=φ(f′)．所以，φ是End(RM)到I/l(m)的一个映射．

2)证明φ是环同态．对于任意f1,f2∈End(RM)，设(m)f1=r1m，(m)f2=r2m，于是

(m)(f1+f2)=(m)f1+(m)f2=r1m+r2m=(r1+r2)m，

即φ(f1+f2)=r1+r2=φ(f1)+φ(f2),(m)(f1f2)=(m)f1f2=(r1m)f2=r1(m)f2=r1r2m,也就是φ(f1f2)=r1r2=φ(f1)φ(f2).

3)证明φ是同构．假设φ(f1)=φ(f2),φ(f1)=r1+l(m),φ(f2)=r2+l(m)，于是r1-r2∈l(m)⟹r1m=r2m⟹f1=f2．所以，φ是单射．又对于任意r"+l(m)∈I/l(m)，可以证明f(rm)=rr"m是模M的自同态．假设r1m=r2m，则有(r1-r2)m=0⟹r1-r2∈l(m)．于是对r"∈I，有(r1-r2)r"∈l(m)，即(r1-r2)r"m=0⟹r1r"m=r2r"m．所以f是RM到自身的一个映射．易证f是模同态.因此，φ是满射．证毕．

当R是交换环时，定理1中I=R，即可得以下推论:

推论1假设R是交换环，则循环R-模M的自同态环同构于R的商环．

又当R是交换环，且循环R-模M是忠实时，定理1中l(m)⊆AnnR(M)=0，从而可得以下推论:

推论2假设R是交换环，则忠实循环R-模的自同态环同构于R．

利用定理1可以对以下熟知的结论给出新的证明．

定理2[6]正则模RR的自同态环同构于R．

证明 由于正则模RR为循环模，且生成元为1，所以l(1)=0，I={r∈R|l(1)r⊆l(1)}=R．由定理1即得End(RR)≅R．证毕．

定理2也说明存在非交换环上的忠实循环模RM，它的自同态环同构于R．

利用定理1亦可证明著名的Schur引理．

定理3(Schur引理) 若RM是单模，则End(RM)为除环．

证明 设RM是单模，于是对于任意0≠m∈M，有M=Rm．由定理1知，End(RM)≅I/l(m)．对于任意I/l(m)中的非零元r+l(m)，因为r∉l(m)，所以rm≠0．由RM是单模知R(rm)=M．因此，存在x∈R，使得xrm=m，即(xr-1)m=0⟹xr-1∈l(m)，也即存在x+l(m)∈I/l(m)，使得

(x+l(m))(r+l(m))=1+l(m)．

从而证明了I/l(m)中任意非零元均有左逆元，则I/l(m)是除环，即End(RM)为除环．证毕．

2 有限生成模的自同态环

定义2对于模RM中的n个元m1,m2,…,mn，记ξ=(m1,m2,…,mn)′，称矩阵环MatnR的子集

为n元组(m1,m2,…,mn)在MatnR中的(左)零化子，简称(m1,m2,…,mn)的零化子．

命题1对于模RM的任意n个元m1,m2,…,mn，l(ξ)是矩阵环MatnR的左理想．

对于任意1≤i≤n，

即CA∈l(ξ)．于是，l(ξ)是MatnR的左理想．证毕．

不难证明以下引理:

引理2对于模RM的任意个n元m1,m2,…,mn，矩阵环MatnR的子集

MatnI={A∈MatnR|l(ξ)A⊆l(ξ)}

是MatnR的子环，且l(ξ)是MatnI的理想．

.

定理4有限生成模RM的自同态环同构于矩阵环MatnR的子环的商环．

若f=f′，则(ri j)-(r′i j)=(ri j-r′i j)∈l(ξ)，即(ri j)+l(ξ)=(r′i j)+l(ξ)．所以，φ是End(RM)到MatnI/l(ξ)的一个映射．

从而φ(f+f′)=φ(f)+φ(f′)．又因为

即φ(ff′)=φ(f)φ(f′),所以，φ是End(RM)到MatnI/l(ξ)的环同态．

因为(r"i j)∈MatnI，所以

从而

当RM是循环模时，R上的1×1矩阵环显然同构于R，此时定义1中的零化子与定义2中所定义的零化子一致，即定理1可视为定理4的特例．

推论3n维自由模RM的自同态环同构于矩阵环MatnR．

证明 当RM是n维自由模，且取x1,…,xn是RM的基时，定理4中的l(ξ)=0，MatnI=MatnR．证毕．

线性代数中熟知的域k上的向量空间的自同态环同构于k上n×n矩阵环，亦可看作推论3的特例．

[1]Drensky V,Szigeti J,van Wyk L.Centralizers in endomorphism rings[J].J Algebra,2010,324(12):3378-3387.

[4]Goldie A,Small L W.A note on rings of endomorphisms[J].J Algebra,1973,24(2):392-395.

[5]Anderson F W,Fuller K R.Rings and categories of modules[M].2nd ed.New York:Springer-Verlag,1992.

[6]陈晋健,陈顺卿.模论[M].郑州:河南大学出版社,1994.

(责任编辑 陶立方)

Acharacterizationofendomorphismringsoffinitelygeneratedmodules

WANG Feifei, ZHENG Qingyue, ZHAO Yanbo, CHEN Miaosen

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was defined annihilators of matrix rings and characterized endomorphism rings of finitely generated modules. The endomorphism ring of a finitely generated leftR-module was proved to be the homomorphic image of a subring of the matrix ring overR, and a new proof to some classical results in algebra was given.

annihilator; finitely generated module; endomorphism ring; matrix ring

O153

A

1001-5051(2013)02-0150-05

2013-01-05

国家大学生创新创业活动计划资助项目(201210345010)

王飞飞(1989-)，男，浙江杭州人，硕士研究生.研究方向：代数学.

陈淼森. E-mail: mschen@zjnu.cn