讲清数学道理 揭示数学本质——提高高三数学复习效率的教学策略

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(萧山中学 浙江萧山 311201)

讲清数学道理揭示数学本质
——提高高三数学复习效率的教学策略

●李金兴

(萧山中学 浙江萧山 311201)

高三学生学得辛苦，但由于缺乏对数学问题本质的认识，常常事倍功半，在重复与茫然的训练中效率不高．因此，教师的指导作用应该体现在“讲清数学道理,揭示数学本质”上.通过教师自身或集体研究，帮助学生反思学习过程、领悟数学背景，从数学知识的根源开始，沿着习题变式的途径理清每一类问题的来龙去脉，使得数学知识“拎起来成一串、撒下去铺一片”，这样才能让学生举一反三，实现教学轻负高质的目的.

本文就高三复习阶段如何讲道理、揭本质例举几个典型问题，以期抛砖引玉.

1 新授课讲不清的道理，到复习课来讲

用斜二测画法画几何体的直观图，操作步骤十分简单：画轴后，使平行于x轴或z轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半．但按上述方法画的直观图是几何体的“平行投影”吗？如果是，投影面和投影线方向如何确定呢？如何描述投影线方向？

文献[1]对此作了阐述，得到结果：此时投影线与投影面成arctan2角．但这一结果并不能完全确定投影线的方向,可进一步作如下探究：

将水平放置的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图(如图1)看作一个平面图形(投影)，考虑到平面四边形ABB′A′、平面四边形DCC′D′与原图形全等，因此投影面与长方体侧面ABB′A′平行.特别地，不妨以长方体侧面DCC′D′所在平面为投影面．

图1 图2

图3

设M(2,0,0)，则

从而投影线与投影面成arctan2角(文献[1]的结论)．同理，设j=(0,1,0),k=(0,0,1)，可求得

反思斜二测画法新授课学习时还没有引入空间向量，因此可以在高三复习课阶段补充该知识.

2 学生一错再错的道理，将错就错地讲

2.1 从反例来辨别

先仿照此类错误解法，举例“对于函数y=x2+1(x>0)，因为当x>0时，x2+1≥2x，当且仅当x=1时等号成立，所以当x=1时，ymin=2”，这个结论显然是错误的(明确指出这种解法是错误的).

2.2 分析反例错因

让学生在同一坐标系中比较y=x2+1和y=2x的图像，便知“x2+1≥2x”只说明y=x2+1的图像始终在y=2x图像的上方，“当且仅当x=1时等号成立”只说明2个图像相切于点x=1处，切点并非图像的最低点(如图4)，y=2也并非函数y=x2+1(x>0)的最小值.

图4 图5

2.3 反思错解成因

3 解题方法巧妙的道理，辩证透彻地讲

数学题经常能一题多解，除了常规解法，教师应对“巧思妙解”作辩证分析：有些巧解很难想到，实用性不强；有些巧解变换情景后可能成为错解，应谨慎采用.

3.1 这样的巧解对不对

(2008年浙江省数学高考试题)

巧解(错解) 两边求导，得

-sinα+2cosα=0，

从而

tanα=2.

3.2 为何有这样的“巧思妙解”

例2已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(a≤0).

(1)若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；

参考答案简述如下：

(2)证明取a=-1,b=1，则

f(x)=lnx-x2+x.

当k取遍1,2,3,…,n并相加，即得

分析对于第(2)小题的答案，学生普遍感到取a=-1,b=1来构造函数f(x)=lnx-x2+x，非常巧妙但很难想到.事实上，若尝试用数学归纳法证明第(2)小题，则由假设n=k时结论成立推证n=k+1时结论也成立的过程中，只要证明不等式

即

因此只要证当x>1时，lnx

反思对于一些难度较大的问题，若答案过于“巧妙”，则学生容易对这类问题产生“敬畏”之心，不利于数学学习兴趣的培养.教师应该让“巧解”自然呈现其真面目，让学生有信心去创造“巧妙”解法.

4 学生会而不全的道理，放大细致地讲

“细节决定成败”很多时候能解释学生“会而不全”的道理，教师讲授时要将这些细节放大后细致地讲.

图6

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.

(2012年浙江省数学高考理科试题)

(2)设AB的中点为M(2t,t)，由点差法易得直线AB方程为

代入椭圆方程,整理得

3x2-12tx+16t2-3=0,

设f(t)=(3-4t2)(1-t)2，则

f(t)=-4t4+8t3-t2-6t+3，

从而

f′(t)=-16t3+24t2-2t-6.

至此，不少学生因为不能对f′(t)的表达式进一步因式分解，导致解题不全.事实上，由f(t)=(3-4t2)(1-t2)得

f′(t)= -8t(1-t)2-2(3-4t2)(1-t)=

-2(t-1)(8t2-4t-3),

反思将f(t)=(3-4t2)(1-t)2的表达式先展开再求导这一细节是导致解题失败的关键因素，教师也可在复习导数应用时专门对此进行针对性复习.

又如2011年全国高中数学联赛(一试)第7题：

例4直线x-2y-1=0与抛物线y2=4x交于点A,B，点C为抛物线上的一点，∠ACB=90°，则点C的坐标为______.

分析联立方程，消去x得

y2-8y-4=0，

因此以AB为直径的圆，其圆心为(9,4)，半径为

联立

即可求得点C坐标.该方程组消去x，整理得

y4-56y2-128y-48=0.

至此，不少学生因为不会解四次方程而无法完成解题.事实上，因为点A,B的坐标也是方程组的解，所以上述四次方程必有因式y2-8y-4,从而由

y4-56y2-128y-48=

(y2-8y-4)(y2+8y+12)=0,

解得点C的坐标为(1,-2)或(9,-6).

反思不能利用“A,B的坐标都是方程组的解”这一细节是导致解题失败的关键因素，类似问题在高考题中也有出现，教师应将这种细节放大，培养学生阅读题意、挖掘隐含条件的意识.

5 类比探究的道理，深入本质地讲

从而

即点M与短轴顶点B1,B2的连线的斜率之积为定值.设MB1,MB2与长轴分别交于点P,Q，则

因此

xP·xQ=a2，

而这恰恰就是|OP|·|OQ|=a2的数学本质.

即

从而同样有定值|OP|·|OQ|=b2.

利用坐标和线段长的对应关系这一数学本质，同样可研究抛物线相关问题.例如，抛物线y2=2px(p>0)，点A,B,C在抛物线上，BC⊥x轴，AC,AB与x轴交于点D,E，则xD+xE=0，即|OD|=|OE|.

反思典型例题之所以典型在于它反映了数学知识间的一种本质联系，使解题者能通过一道习题的研究掌握一类问题的解法，使教师能以此为例清晰地剖析出数学知识间的本质联系，不仅在内容上还能在方法上有利于进一步探究新知.

高中数学和数学教学的道理远不止本文例举的几类.通过教学，教师向学生展示各种数学概念、公式、法则、性质、结论，其目的是让学生对数学“知其然”；引导学生对数学结论进行推理论证、应用推广是让学生对数学“知其所以然”；而向学生讲清数学道理、揭示数学本质是让学生对数学“知其所以所以然”.

“数学要讲推理，更要讲道理”，如果在教学中只讲推理不讲道理，那么教师教给学生的仅仅是数学解题的方法和技术，缺乏数学思想的渗透，从而难以提高教学质量.

[1] 沈建刚．斜二测画法的一次“寻根”之旅[J]．中学数学教学参考,2010(1/2):26．