修理有延迟的线性n中取n-1好系统的可靠性分析*

王俊元，常迎香，廖鸣泰

(兰州交通大学)

0 引言

文献［1］对n-1中取连续n-1好系统在故障部件均可以修复如新的假设下，对系统的可靠性进行了分析，得到了系统的瞬时可用度、可靠度、系统首次故障前的平均时间等可靠性指标.文献［2］研究了n中取n-1好系统在故障部件不可以修复非新，部件寿命和维修时间的分布均是指数分布，当部件的寿命越来越短，维修时间越来越长时，研究了系统的可靠性.然而在现实生活中，当部件故障后不能立即得到修理，需要等待修理.该文在文献［2］的基础上假设修理有延迟，得到了系统在上述假设下的瞬时可用度、可靠度的Laplace变换表达式以及系统首次故障前的平均时间.

定义1［3］设{Xn，n=1，2，…}是相互独立的非负随机变量序列，如果Xn的分布函数是F(an-1t)，n=1，2，…，且 a ＞ 0，则称{Xn，n=1，2，…}是一个几何过程.

当 a ＞ 1 时，{Xn，n=1，2，…}是随机递减的;当0 ＜ a ＜ 1 时，{Xn，n=1，2，…}是随机递增的.

1 模型描述

(1)线性相邻n中取n-1连续好系统，由排成直线的n个同型部件和一个修理工组成，当且仅当系统中有相邻且连续的n-1个部件正常工作时，系统正常工作，否则系统故障.

(2)每次故障后部件不能修复如新，部件介于第(n-1)次修理完成和第n次修理完成的时间间隔称为部件的第n个周期.部件i在第k个周期的寿命(i=1，2，…，n)的分布函数为:当部件i-1在工作时，F0k(t)=P{≤t}=1-exp{-ak-1λ0t};当部件 i-1故障时，F1k(t)=P{≤ t}=1-exp{-ak-1λ1t}，其中 t≥0，i=2，3，…，n，λ1≥ λ0＞ 0.当 i=1 时，规定:F1k(t)=P{≤ t}=1-exp{-ak-1λ0t}.维修时间(i=1，2，…，n)的分布函数为:Gk(t)=P{≤t}=1-exp{-bk-1ut}，其中t≥0，i=1，2，…，n，u ＞ 0，a ＞ 1，0 ＜ b ＜ 1.

(3)假设部件发生故障后不能够立即得到修复，需要延迟修理，设Wn表示在第n个周期的延迟修理时间，Wn服从指数分布，用H(t)表示分布函数，H(t)=1-exp{-θt}.

(4)在t=0时，所有部件都是新的.

(6)系统故障后，未故障的部件不再发生故障.

2 模型分析

设N(t)表示系统在时刻t的状态，则有

{N(t)，t≥0}是一随机过程，系统的状态空间为 E={0，1，2，…，n，-1，-2，…，-n，n+2，n+3，…，n+n，n-1，n-2，…，n-(n-1)，-n+2，-n+3，…，-n+n，-n-1，-n-2，…，-n-(n-1)}，系统的工作状态集为W={0，1，n，-1，-n}，系统的故障状态集为F=E-W.随机过程{N(t)，t≥0}不是马尔科夫过程，但是通过补充变量的方法，使其变成马尔科夫过程.用Im(t)(m=1，2，…，n)表示部件m在时刻t所处的周期，则{N(t)，I1(t)，I2(t)，…，In(t)，t≥0}是广义的马尔科夫过程，时刻t系统的状态概率定义为:

其中 k1，k2…，kn=1，2，….

根据模型假设和增补变量法有:

初始条件为:P011…1(0)=1;Pik1k2…kn(0)=0，i≠0;P0k1k2…kn(0)=0，k1，k2，…，kn不全为 1.

当k1=k2= … =kn=1时有:(s)=

3 系统的可靠性指标

3.1 系统的瞬时可用度A(t)

由A(t)的定义，A(t)表示为:

A(t)的Laplace变换表达式A*(s)为:

实际上，系统是修复非新的，这暗示着系统的可用度随时间的变化趋于零.

3.2 系统的平均故障次数Mf(t)

系统在(0，t］内的平均故障次数为Mf(t)=，其中Wf(t)表示系统的瞬时故障频度，Wf(t)的Laplace变换表达式(s)为:

3.3 系统的可靠度R(t)

设模型中的故障状态集中的状态为过程{N(t)，I1(t)，I2(t)，…，In(t)，t≥ 0}的吸收状态，定义一个新的随机过程{^N(t)，^I1(t)，^I2(t)，…，^In(t)，t≥0}.

令 Qik1k2…kn(t)=P{^N(t)=i，^I1(t)=k1，^I2(t)=k2，…，^In(t)=kn}，i∈ E，则有概率分析得:

由R(t)的定义其表示为:

用类似的方法对式(19)到式(23)作Laplace变换得:

系统可靠度的Laplace变换R*(s)的表达式为:

特别的当k2=… =kn-1=1时，

则系统可靠度的Laplace变换R*(s)的表达式为:

以上结果都是修理有延迟，即θ≠0时研究得到的可靠性指标，当θ=0时，系统就变成了部件故障后能够立即得到修理的情形，类似于文献［2］中的研究情形.

［1］ 张元林，王太鹏，贾积身.n中取连续n-1好的可修系统可靠性分析［J］.自动化学报，1997，23(6):807-810.

［2］ 王旭艳，师义民.不可修复如新的线性相邻n中取连续n-1好系统的可靠性分析［J］.工程数学学报，2006，23(1):87-89.

［3］ 张元林.几何过程与冷储备系统分析［J］.中央民族大学学报，1995(1):15-20.

［4］ Zhang Yuanlin.A geometrial process repair model for a repairable system with delayed repair.Computer and mathematics with applications，2008，55(3):1630-1635.

［5］ Zhao Bing，Yue Dequan.The Geometric Process Maintenance Moldel of a Series System with a Cold Standby Compontent.Journal of Information ＆ Computational Science，2010，7(14):3085-3090.

［6］ 尚勇，李伟.独立维修两部件并联系统可靠性的进一步分析［J］.数理统计与应用概率，1994，9(4):93-100.

［7］ 曹晋华，程侃.可靠性数学引论［M］北京:科学出版社，1986.