不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较分析

郭效军，蔡德福

（1.国电南京自动化股份有限公司，江苏 南京 210032；2.华中科技大学 强电磁工程与新技术国家重点实验室，湖北 武汉 430074）

0 引言

实际电力系统运行中存在诸多不确定性因素［1-2］，如负荷功率的变化、发电机出力的变化、系统元件的随机故障等。风电场、光伏电站等可再生能源的大规模并网更是加剧了电力系统的不确定性［3-6］。常规潮流计算方法能得到系统确定的潮流分布，但该分布不能准确描述电网的运行状态［7］。概率潮流可计及各种不确定性因素，且能准确描述系统状态变量的分布特性，因而成为研究热点之一［8-11］。其中基于半不变量和级数展开的概率潮流计算方法（简称半不变量法）因计算简单、速度快，得到了广泛应用。

众多学者基于线性交流潮流模型采用半不变量法分析了风电场和光伏电站并网后电力系统的概率潮流［12-17］。文献［7］采用半不变量法分析了含分布式电源的地区电网动态概率潮流。文献［18］在半不变量和Edgeworth级数展开的基础上提出一种含风电场电力系统的负荷裕度概率分析方法。此外，也有学者将半不变量法应用于发电机组检修计划［19］、电力市场［20］和分布式发电的优化配置［21］等领域。

上述研究未考虑半不变量法在含大规模风电或光伏发电的电力系统中的计算精度。基于线性交流潮流模型的半不变量法因潮流方程在基准运行点处的线性化将会产生计算误差。此外，Gram-Charlier等级数展开的基本理论是中心极限定理［22］，当系统中含有大量概率分布函数为非正态分布的输入随机变量时，级数展开的拟合精度会降低。在某些情形下半不变量法计算结果的准确度可能不满足要求。虽然文献［14］分析了风电场接入前半不变量法的计算精度，但由于风电和光伏发电出力具有很强的间歇性和波动性，对半不变量法计算精度可能有较大影响。当风电和光伏发电出力在系统中占有较大比例时，采用半不变量法进行概率潮流分析能否仍然保证其计算精度，是合理应用该方法的前提。文献［23］分析了该方法各环节的假设条件及其可能引起的误差，得到了有益的结论，但未对比分析风电与光伏发电输入随机变量和各种级数展开下该方法的计算准确度。

本文采用线性交流潮流模型，利用半不变量和级数展开（包括Gram-Charlier级数、Edgeworth级数和Cornish-Fisher级数）对计及各种输入随机变量的电力系统概率潮流进行比较分析。以蒙特卡罗法计算结果为参考值，以输出随机变量累积分布的方差和的根均值 ARMS（Average Root Mean Square）为评价指标，比较分析各种输入随机变量和不同级数展开下半不变量法概率潮流计算结果的准确性，并阐述其误差产生机理。

1 输入随机变量的概率模型

1.1 风力发电出力的概率模型

风力发电出力的概率模型主要取决于风速的概率模型和风电机组的输出功率-风速模型。应用较广的风速概率模型为双参数威布尔分布模型，其概率密度函数为：

其中，v为风速；k为形状参数；c为尺度参数。

风电机组的输出功率-风速模型可近似表达为：

因要求并网风电场具备一定的无功调节能力，使其能够按恒功率因数运行［24］，无功出力见式（4）。

其中，θ为功率因数角。

由式（3）、（4）可得风力发电无功出力的概率模型。

1.2 光伏发电出力的概率模型

光伏发电出力的核心为太阳能电池，其输出功率与光照强度密切相关。太阳光照强度在一段时间内可近似为Beta分布［12］，其概率密度函数为：

其中，a、b均为Beta分布的形状参数；r、rmax分别为该时段内的实际光照强度和最大光照强度。

太阳能电池输出功率PS与光照强度r的关系为：

其中，A为太阳能电池总面积；h为太阳能电池光电转换效率。

由式（5）和式（6）可得到太阳能电池输出功率PS的概率密度函数：

其中，PSmax为太阳能电池最大输出功率。

光伏发电一般通过并网逆变器将输出功率因数控制在单位功率因数，因而其无功出力为零。

1.3 发电机组出力的概率模型

发电机组出力的概率模型一般可用两状态概率模型，即只有正常运行和故障强迫停运2种状态，其出力概率模型为：

其中，PG、QG为发电机组有功、无功出力；PGN、QGN为发电机组额定有功、无功出力；pG为发电机组故障强迫停运率。

1.4 负荷的概率模型

未来某一时刻的负荷预测结果可看成随机变量，并假设负荷服从正态分布，其有功、无功的概率密度函数为：

其中，μPL和 μQL为负荷有功和无功的期望值；σPL和σQL为负荷有功和无功的标准差。

2 半不变量法概率潮流

2.1 潮流方程线性化模型

将极坐标形式的节点注入功率方程和支路潮流方程用矩阵表示，并在基准运行点对其进行泰勒级数展开，忽略2次及其以上的高次项，可得：

其中，W为节点注入功率；X为节点状态变量；Z为支路潮流变量；J0为潮流计算雅可比矩阵；

式（10）可以进一步表示为：

若已知系统正常运行条件，可通过常规潮流计算得出基准运行点处的节点状态变量X0、支路潮流变量Z0和J0，进一步求得S0和T0。在已知节点注入功率随机扰动ΔW后，可根据式（11）求得节点状态变量和支路潮流变量的随机扰动。

2.2 半不变量计算

节点注入功率的随机扰动ΔW主要由节点发电机出力和负荷注入功率的输入随机变量（即ΔWG和ΔWL）构成，如下式：

其中，符号⊕表示卷积运算。

假定各节点注入功率的输入随机变量相互独立，可利用半不变量的可加性代替卷积运算，即：

式（11）可进一步变换成：

根据式（14）求取的节点状态变量ΔX和支路潮流变量ΔZ的各阶半不变量，可通过相关的级数展开近似求得ΔX和ΔZ的随机分布，包括概率密度函数和累积分布函数。

2.3 基于半不变量的随机分布的级数展开

目前，在电力系统规划与运行中应用较多的级数展开主要有3种，分别为Gram-Charlier级数、Edgeworth级数和Cornish-Fisher级数，其中前2种级数都是把随机变量的分布函数表达为由正态随机变量各阶导数组成的级数［25］。

2.3.1 Gram-Charlier级数展开

Gram-Charlier级数根据Hermite多项式的正交特性展开，因而又称为正交展开式。根据Gram-Charlier级数展开，随机变量的累积分布函数可表示为：

2.3.2 Edgeworth级数展开

Edgeworth级数根据Hermite多项式的各项级数的数量级展开，因而又称为渐近展开式，根据Edgeworth级数展开，随机变量的累积分布函数可表示为：

2.3.3 Cornish-Fisher级数展开

Cornish-Fisher级数的基本思想是根据选定累积分布函数的α分位数求取待求累积分布函数的α分位数，进而得到待求变量z的累积分布函数F（z）。其关键在于选取特殊的基础分布和拓展序列，其中经典的Cornish-Fisher级数是基于标准正态分布和Gram-Charlier级数展开［22］。若随机变量z的分位数为 α，则 z（α）可表示为：

其中，ξ（α）=φ-1（α）。

根据式 z（α）=F-1（α），可求得随机变量 z的累积分布函数 F（z）。

2.4 半不变量法计算准确性评价指标

半不变量法概率潮流可得到输出随机变量的数字特征和概率分布，其中数字特征一般采用期望值和标准差。当输出随机变量为正态分布时，期望值和标准差可完整描述其概率分布；当输出随机变量为非正态分布时，仅采用期望值和标准差还不足以完整准确描述其分布特性。由第1节可知风电出力、光伏出力和发电机组出力均为非正态分布，输出随机变量亦非正态分布。为准确评价半不变量法在不同情形下的计算准确性，本文以蒙特卡罗法计算结果为参考值，采用输出随机变量累积分布的ARMS［9］作为评价指标。ARMS指标可表示为：

其中，CCEi和CMCi分别为半不变量法和蒙特卡罗法得到的输出随机变量累积分布曲线上第i个点的值；N为节点数。

3 不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较流程

不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较流程如图1所示。

图1 不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较流程图Fig.1 Flowchart of probabilistic load flow calculation based on cumulant method with different series expansions

4 算例分析

采用半不变量法对图2所示的IEEE 30节点系统进行仿真计算。以20000次蒙特卡罗法计算结果为参考值，以PQ节点电压幅值为分析对象，以ARMS为评价指标，对比分析各种输入随机变量和3种级数展开下半不变量法计算结果的准确性，并分析误差产生机理。IEEE30节点系统的总负荷为189.2+j107.2 MV·A。ARMS指标计算中N=5000。假设各输入随机变量相互独立。

本节对如下4种情况分别进行分析：

a.情况1，只考虑负荷波动；

b.情况2，同时考虑负荷波动和发电机强迫停运；

c.情况3，同时考虑负荷波动、发电机强迫停运和风力发电出力的波动；

d.情况4，同时考虑负荷波动、发电机强迫停运和光伏发电出力的波动。

图2 IEEE 30节点系统Fig.2 IEEE 30-bus system

4.1 情况1

当只考虑服从正态分布的负荷波动时，由式（14）可求得系统状态变量的各阶半不变量，其中一阶半不变量为期望值，二阶半不变量为方差，三阶及其以上半不变量为零。由式（15）—（17）可知3种级数展开得到的系统状态变量累积分布函数相同，均服从正态分布。节点电压幅值ARMS的均值和最大值与负荷波动标准差的关系见图3。仿真结果表明：

a.若只考虑服从正态分布的输入随机变量，3种级数展开得到的半不变量法计算精度相同；

b.当负荷波动不大时，半不变量法计算精度高；

c.随着负荷波动增加，半不变量法计算精度降低。

图3 节点电压幅值的ARMS均值和最大值Fig.3 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

由于负荷波动的增加，更多注入功率远离负荷功率期望值，使得线性化处理引起的误差随之增大。此时，半不变量法计算误差主要来源于交流潮流方程的线性化。

4.2 情况2

若计及发电机强迫停运，节点电压幅值ARMS的均值和最大值与负荷波动标准差的关系见图4。

图4 节点电压幅值的ARMS均值和最大值Fig.4 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

仿真结果表明：

a.服从二项式分布的发电机出力对半不变量法计算精度影响较大，且ARMS指标随着负荷波动标准差的增加先减小再增加，当负荷波动标准差较小时，半不变量法计算精度较差；

b.不同级数展开拟合输出随机变量概率分布的精度不同。

3种级数展开的基本理论为中心极限理论，当独立输入随机变量的数量趋于无穷或者概率密度函数为连续而非离散时，其拟合精度高。由于发电机出力输入随机变量数量少（与发电机台数有关）且概率密度函数为离散函数，不满足中心极限定理。当负荷波动标准差较小时，节点注入功率主要为服从离散分布的发电机出力，ARMS指标较大，半不变量法计算精度较差，如当负荷波动标准差为3%，采用Gram-Charlier级数展开的ARMS最大值为3.56%，采用Cornish-Fisher级数展开的ARMS最大值为1.54%。文献［25］指出，若系统中发电机台数越多，机组的强迫停运率越高，则半不变量法的计算精度越高。因3种级数展开的方式不同，对输出随机变量概率分布的拟合精度也有所差异。由正态分布各阶导数构成的Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开的拟合精度基本相同，而Cornish-Fisher级数展开在计算离散分布的概率分布时与Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开相比拟合精度更高。

4.3 情况3

在情况2的基础上，将风电机组直接接入节点11，风电机组有2种型号可供选择：风机1（FL250）和风机 2（FL1000），相关参数见表 1［26］。风速的双参数威布尔分布的参数分别为k=3.97和c=10.7［13］。风速的概率分布与风电机组功率输出曲线见图5。假设2种类型风电机组的功率因数均为感性0.98。

表1 风电机组相关参数Tab.1 Parameters of wind generators

图5 风速的概率分布与风机的功率输出曲线Fig.5 Probabilistic distribution of wind speed and power output of wind generator

不同风电机组类型和不同装机容量对半不变量法计算精度的影响如图6所示，其中负荷波动标准差为15%，实线代表计及风机1的半不变量法计算精度，虚线代表计及风机2的半不变量法计算精度。

图6 节点电压幅值的ARMS均值和最大值Fig.6 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

仿真结果表明：

a.随着风电机组装机容量的增加，ARMS指标增加，半不变量法计算精度逐渐下降；

b.不同类型风电机组出力对半不变量法计算精度影响不同；

c.不同级数展开对输出随机变量概率分布拟合精度影响不同，特别是风电机组装机容量较大时，Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开拟合精度较差，而Cornish-Fisher级数展开拟合精度较好。

由图5可知，在给定风况下，风机1主要工作于切入风速和额定风速之间的线性工作区域，而风机2涵盖了线性上升区域和额定工作区域，且处于额定工作状态的概率较大，从而使得在给定风速和相同装机容量条件下，风机2的平均输出功率比风机1的平均输出功率大，且输出功率的波动也更大，导致半不变量法计算精度更差。

4.4 情况4

在情况3的基础上，将节点11接入的风电机组换成光伏电站，其他条件不变。单组太阳能电池的额定容量为0.25 MW，太阳能光照强度Beta分布的形状参数分别为a=0.85和b=0.85［24］。节点电压幅值ARMS的均值和最大值与光伏电站装机容量之间的关系如图7所示。

仿真结果表明：

图7 节点电压幅值的ARMS均值和最大值Fig.7 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

a.随着光伏电站装机容量的增加，ARMS的均值和最大值增加，半不变量法计算精度下降；

b.3种级数展开对输出随机变量概率分布的拟合精度影响较小，主要原因为此Beta分布形状参数下的太阳能光照强度近似为均匀分布，使得光伏有功出力也近似为均匀分布。

由式（7）可知光伏有功出力满足连续函数而非离散函数。

5 结论

半不变量法概率潮流因能快速求出节点电压和支路潮流的概率分布，得到了广泛的应用。但由于该方法为简化计算进行了近似处理，且不同级数展开适用于不同的分布类型，在某些情况下的计算精度可能不满足要求，因此有必要对不同情况下半不变量法概率潮流计算进行比较分析，为该方法的合理应用提供参考。本文以节点电压幅值为分析对象，以蒙特卡罗法计算结果为参考值，以ARMS为评价指标，对比分析了各种输入随机变量和不同级数展开下半不变量法概率潮流计算结果的准确性，并分析误差产生机理，得到以下结论。

a.不同输入随机变量对半不变量法计算精度影响不同。服从正态分布的输入随机变量对半不变量法计算精度影响小；服从离散分布、威布尔分布和Beta分布等非正态分布的输入随机变量对半不变量法计算精度影响较大。当服从非正态分布的输入随机变量所占比例较高时，半不变量法的计算精度变差。

b.不同级数展开得到的计及服从非正态分布输入随机变量的半不变量法计算精度不同。其中Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开的计算精度基本相同，Cornish-Fisher级数与前2种级数相比，在计算非正态分布的概率分布时精度更高。

c.当电力系统中非正态分布输入随机变量比较高时，为保证半不变量法概率潮流的计算精度，建议采取改进措施，如采用Von Mises法和级数展开相结合的方法［27］求取输出随机变量的概率分布。