MathCAD在“微波工程”教学中的应用

白 明，方 霄，苗俊刚

(北京航空航天大学电子信息工程学院，北京100191)

高校“微波工程”课程作为掌握微波基本原理和应用基础的专业课程。我们在本课程教学中发现，MathCAD作为一款简单易用的数学软件，不仅可以很方便的进行数学运算、绘制图形和动画，它的编程语言具有公式化、流程图化的优点［1]。在课程教学中我们利用MathCAD的函数计算功能和绘图功能，详细讲解“微波工程”中几个重要的知识点，绘制出图形。教学实践证明，MathCAD在提高“微波工程”教学质量方面可以发挥重要作用［2，3]。

1 在无耗传输线中的应用

微波工程中，无耗传输线是最基础最重要的一部分，但是传输线方程的电压电流表达式复杂，物理意义不明显，单纯的通过公式讲解学生不易领悟其本质。我们利用MathCAD方便、简单的绘图功能，可以动态地显示传输线中电压和电流变化情况，使学生加深对传输线方程的理解和掌握。

1)计算驻波电压和电流(省去变量赋值部分):

程序中的U(z)为传输线上任一点处的电压，I(z)为传输线上任一点处的电流，A1为振幅常数，β为波数，z为距负载端长度，Z0为传输线特征阻抗。绘制图形结果如图1所示。

2)计算行波电压和电流(省去变量赋值部分):

图1 驻波电压和电流分布

程序中:ΓL为负载端反射系数、RL为负载阻抗实部，XL为负载阻抗虚部，L为负载端的相移。

绘制图形结果如图2所示。

图2 行驻波电压和电流分布

很显然，MathCAD的编程语言跟我们平常书写的数学表达式非常相似。在MathCAD中只要有变量改变，与该变量相关的所有计算结果都将改变，这样一边书写表达式一边画图，可以使学生学习起来很直观，对性质和概念的理解也更深。MathCAD非常简单易学，学生在课下可以自己编写程序并画出图形。

2 在史密斯圆图中的应用

Smith圆图是传输线理论中一种重要的辅助图解工具，利用它可以快速方便地进行阻抗匹配计算、阻抗或导纳与反射系数的转换，能够迅速直观地显示阻抗或导纳随频率变化的轨迹。在“微波工程”课程的教学中，可以通过MathCAD画出Smith圆图能讲解加深学生对圆图的理解。

设传输线的反射系数Γ=Γr+jΓi，归一化负载阻抗ZL=r+jx，则由ZL=(1+ΓL)/(1－ΓL)，ΓL=(ZL－1)/(ZL+1)变形计算可得

式中，ΓL为归一化反射系数，Γr—反射系数实部，Γi—反射系数虚部，r—阻抗实部，x—阻抗虚部。

我们通过一个具体算例来演示。设某传输线特性阻抗Z0=50Ω，负载阻抗ZL=100+j100Ω，则沿z方向各点的输入阻抗和反射系数，可以通过Math-CAD在Smith圆图上画出。我们取θ为0到360度，每0.01度取一个点，给出如下MathCAD程序(篇幅有限，只写出算例的程序):

绘制图形结果如图3所示。

图3 Smith圆图实际应用

上图中实线描绘的是史密斯原图，虚线描绘的是反射系数。

我们只需改变负载阻抗大小，就可画出任意负载阻抗情况下，传输线沿Z方向各点的输入阻抗和反射系数。利用MathCAD辅助教学，非常适合学生课下练习，从而促进学生感性认识和学习的主动性。

3 在波导模式图象中的应用

规则金属波导中波的模式图像也是“微波工程”教学中的重点和难点。波导模式分布完整解的表达式由Maxwell方程组直接推导而来，其图形的绘制可以方便教师为学生讲解其中的物理意义。MathCAD具备绘制向量场图的功能，能够实现对波导的模式图形的多形式绘制。图4是矩形波导在各截面位置示意图。

图4 矩形波导在xyz三个方向截面位置(1，2，3)示意图

绘制矩形波导模式图的MathCAD程序如下(这里只给出主要公式部分，省去常量赋值和图形绘制部分):

程序中:Ex和Hx分别为波在x轴上的电场和磁场分量，βx为x轴波数，βy为y轴波数，βz为z轴波数，kc为截止波数。

1)矩形波导主模TE10模的波导模式图

以xz方向为例的TE10模的分布图示图5。2)矩形波导高次模TE11模的波导模式图

图5 TE10模xz方向波导模式图

MathCAD中任意变量的值改变，与其相关的运算结果都会改变。改变m和n的值，场量分布图就会随之改变，TE模的任意高次模都能够画出来。同时改变频率f，可以画出不同频率下的波导模式图。例如令m=1，n=1，就可以画出TE11模的波导模式图(以xy方向为例，其余方向只需在MathCAD中改变坐标系的下标即可画出)，如图6所示。

图6 TE11模xy方向波导模式图

此外，MathCAD还具有录制动画的功能，只需将波完整解的表达式中的时间常量变成与FRAME有关的时间变量，就可以动态演示矩形波导内场分布随时间变化的图形。学生籍此能够直观地了解波导内各模式场的分布和变化，对教学质量的提高大有帮助。

4 结语

本文通过“微波工程”课程教学中的三个重要教学内容，展示了MathCAD在实现分析方法和结果可视化方面的能力。运用MathCAD可以将复杂的数学表达式转换成图形和动画，使抽象的概念直观化，非常有利于初学者掌握。同时MathCAD简单易学，学生可以自主编程完成上课所讲内容，这样学生的参与性得到体现。上述教学方法已应用于实际的教学实践，达到了较好的教学效果，具有很好的推广价值。

［1] David M.Pozar.微波工程(第三版)［M] .张肇仪，周乐柱、吴德明，北京:电子工业出版社，2011.

［2] 严晓兰.MathCAD在信号与系统辅助教学中的应用［J] .南京:电气电子教学学报，2003，25(2):102-105

［3] 郝黎仁，李宝麟等.Mathcad2001及概率统计应用［M] .北京:中国水利水电出版社，2002.