垂直分层土壤中引外接地网的格林函数

王文亮，王瑛玮，赵刚刚，孙景涛

(1.东北电力大学 研究生院，吉林 吉林132012;2.大唐长山热电厂，吉林松原131109;3.洛阳市供电公司，河南洛阳471023;4.元宝山发电责任有限公司，内蒙古赤峰024000)

现代大电网向超高压、大容量和远距离方向的发展，对电力系统安全、稳定及经济运行的要求越来越高［1］。已建设的许多变电所及输电杆塔的接地装置因长期锈蚀及系统短路容量增大的原因，已不能满足要求，急需改造。目前，通常采用接地网引外接地来改善接地网老化。而在利用引外接地网对变电站接地网进行改进的时候，往往遇到土壤分布不均匀问题。格林函数(单位点电流源在空间任意位置上的电位函数)理论推导是求解接地电场/电位分布的基础［2-4］。点电流源在土壤中产生的电流场的计算方法已有很多文献论述。但这些方法都需要大量繁琐的推导，公式形式复杂，不利于开发适用于更多分层土壤结构的接地网性能数值分析软件。因此，本文提出了一种计算点电流源电流场的简单实用的递推算法，适用于具有任意垂直分层的土壤结构。利用圆柱坐标系建立拉普拉斯方程，结合相邻土壤分界面的电位边界条件，建立了各层土壤电位表达式中待定系数之间的递推关系和各层土壤电位表达式中的待定系数。无需将每层土壤中的电位表达式具体写出，减轻了任意分层土壤结构的接地网接地性能数值分析软件开发方面的工作。

1 垂直多层土壤的格林函数

垂直n层土壤模型如图1所示，坐标原点在地表面，z轴沿地表面，向右为正。h轴垂直于地表，且向下为正。点电源坐标为(x0，y0，z0)。各层土壤电阻率分别为 ρ1、ρ2、ρ3、ρ4…ρn，土壤分层在 z方向的坐标是 z0、z1、z2、z3、z4…zn。在分层土壤中，格林函数的公式推导是计算接地网电位分布的关键［5-6］。

图1 土壤分层结构图

图1所示多层土壤中点电流源产生的电位计算问题实际上是一个典型的格林函数问题。点电流源产生的电位在无限远处有界，在各层土壤分界面上满足电位边界条件。恒定电场中的格林函数拉普拉斯方程为

式中φ为电位。为便于本文讨论，使用如图1所示的圆柱坐标系下的拉普拉斯方程形式，并考虑到场的对称性，可以得到:

利用分离变量法解式(2)可得:

式中:Ii为第i段总流散电流;Vi为第i段在距离r处产生的电位;ρl为土壤电阻率;J0(λr)为第一类零阶贝塞尔函数。

当场点在有源层时，

由式(4)可见，通过对接地网中各段的流散电流在某一点产生的电位求和，可得接地网中此点的电位表达式。

2 格林函数表达式的推导

要想计算垂直分层土壤中的格林函数，需要对公式(4)进行积分，但是直接对第一类零阶贝塞尔函数进行广义积分非常麻烦。这里采用傅氏变化有:

由此可见，只需要确定系数 αi(λ)和 βi(λ)，就可以求出格林函数。传统的解决方法是经典镜像法，即将以上两个系数通过泰勒级数近似展开成有限项指数求和的形式。但是指数求和的项数问题会对函数的精度产生很大的影响。这里，采用加拿大学者Y.L.Chow教授首先提出的复镜像技术用于分层土壤接地参数计算方法，即通过prony法，将系数展开成有限项复指数求和的形式［7］:

取抽样点 λ =0，1，2，…，2n-1(或其它等距数值)，相应可得函数αi(λ)的具体值，组建的方程为

土壤分界面的边界条件如下:

至此，导出了垂直分层土壤中格林函数的具体表达式:

3 格林函数系数的推导

式(8)是2n个未知数组成的2n个方程，理论上是可以计算的，然而上式是非线性方程组，求解困难。Prony 指出:b1、b2、b3、…、bn-1、bn是满足下面高次方程的根。

求解上面的方程，关键是获得系数k。对上面方程组进行如下行变换:

整理得:

对方程组(8)进行类似处理，得到如下方程:

由于 α0、α1、α2、α3、…、αn已知，因此，可以利用式(13)求解系数k，然后将其代入式(10)求出b1、b2、…、bn，进而求出 a1、a2、…、an。

准确计算多层土壤中点电流源的格林函数是使用矩量法分析接地网接地性能的基础，利用点电流源在多层土壤中满足的的边界条件，并结合复镜像法可以快速准确地计算垂直分层土壤中点电流源的格林函数的数值。此方法可以用到大型接地网的设计和计算中。

4 算例

100 m×100 m的方形接地网置于垂直分层土壤中，通过900 m引外连接导体与60 m×60 m引外接地网相连，如图2所示。

原接地网埋深0.8 m，土壤电阻率1 000 Ω·m;网孔尺寸为10 m×10 m，材料为钢材，电阻率为1.7×10-7Ω·m，相对磁导率为636;1 kA电流从地网的左下边角处注入。引外接地网土壤电阻率100 Ω·m，网孔与原接地网相同。

计算不同层数情况下的接地阻抗与加拿大SES公司开发的接地标准软件CDEGS的计算结果如表1所示。从表1可以看出，在不同引外导体长度的情况下，递推算法与CDEGS的计算结果吻合，相比两种算法的结果最大偏差不超过1.21%。由此验证了递推算法的正确性。

图2 接地网引外接地示意图

表1 本文计算结果与CDEGS软件计算结果对比

5 结论

1)利用圆柱坐标系，将双侧递推法用于对任意分层土壤中点电源格林函数的分析计算切实可行。

2)实现程序化计算过程简单，不受层数限制。利用复镜像法，大大提高了函数的计算精度。

3)递推算法可以应用于垂直多层土壤格林函数的求解，且求出的结果正确性较高。

4)基于递推算法基础上开发的变电站接地网性能分析软件，可以在接地网设计阶段模拟分析接地网的各种性能。

［1］谭春力.大型变电站接地网优化及改造［D］.长春:东北电力大学，2008.

［2］何金良，曾嵘.电力系统接地技术［M］.北京:科学出版社，2007:217-222.

［3］JINXI M，DAWALIBI F P，DAILY W K.Analysis of grounding systems in soils with hemispherical layering［J］.IEEE Trans on Power Delivery，1993，8(4):1773-1781.

［4］JINXI M，DAWALIBI F P.Analysis of grounding systems in soils with cylindrical soil volumes［J］.IEEE Trans on Power Delivery，2000，15(3):913-918.

［5］孙结中，刘力.运用等值复数镜像法求解复合分层土壤结构的格林函数［J］.中国电机工程学报，2003，23(9):146-151.

［6］郭剑，邹军，何金良，等.水平分层土壤中点电流源格林函数的递推算法［J］.中国电机工程学报，2004，24(7):101-105.

［7］CHOW Y L，YANG J-j，SRIVASTAVA K D.Complex image of a grounding electrode in layered soils［J］.Journal of Applied Physics，1992，71(2):569-574.