利用“1”巧解题

刘军

我们知道，数字“1”是一个非常重要的数字。在小学里，学生最先学习的数字就 有1。在中学阶段，涉及有关“1”的式子就比较多了，如a，b 互为倒数，则有ab=1；sin2 + con2 =1， 等等。如果我们在解题时巧妙地利用“1”，就会起到化难为易，化复杂为简单的作用，顺利地达到我们解决问题的目的。

下面略举几例，看看数字“1”在解题中的妙用。

一、各项巧加“1”

计算999999+99999+9999+999+99+9。

显然，如果我们直接进行加法的计算，其正确结果也是不难算出的，但是，那样显得不简单。如果我们在各项都加“1”，利用加法结合律，就凑成整10，整100，等，就非常好计算了。因为是恒等变换，各项都要减去“1”。

解：原式=999999+1+99999+1+9999+1+999+1+99+1+9+1-6

=（999999+1）+（99999+1）+（9999+1）+（999+1）+（99+1）+（9+1）-6

=1000000+100000+10000+1000+100+10-6

=1111100+（+10-6）

=1111104。

上面计算还不只一次运用了加法结合律，这样计算起来，不仅简单一些，而且还可以避免出错。

二、各组式子巧加“1”

例2 已知x+y+z=0，x，y，z均不为零，求证： 。

证明：因为x+y+z=0 ，x，y，z均不为零，所以

以上证法的关键，是把每个括号中的式子看成一组，每组式子都加上“1”，还利用了 ，法在解题中经常用到。

三、添项巧配“1”

例3 设a，b，c是正数，且abc=1，求证：a3+b3+c3 a+b+c.

我们看到，如果使用常规的方法，已知和要求证的结果看不到多少联系。如果添项巧配“1”。则有如下的证法。

证明：因为a>0，所以a3+1+1 ，

同理 b3+1+1 3b，

c3+1+1 3c.

而 a+b+c 3 ，

所以 a3+b3+c3 3（a+b+c）-6

a+b+c+2（a+b+c-3）

a+b+c.

四、适当拆分“1”

例4 已知n N+（正整数集合），x>0，求证： 。

因欲证式与正整数n有关，可以考虑用数学归纳法，但是从n=k推证到n=k+1并不容易。我们换一个角度去看，若将n拆成n个“1”的和，其证法显得相当简单。

证明：因为 x>0，n N+ ，所以

五、恰当替换“1”

例5 求证 .

我们看到，如果直接从右边证明到左边，将出现一个比较复杂的式子，证明将比较困难.可是，因为 ，若将分子上面的“1”用 替换，则此题的证明将显得非常简单。

证明：因为 ，所以 ，

六、结果巧加“1”

例6 一个数，被3除余2，被4除余3，被7除余6，问这个数最小是几？

我们可以分析，因为3，4，7这三个数互质，它们的最小公倍数是84。根据题的条件，若将所求结果之数加上1，这个新的数就能被3，4，7这三个数整除，这就不难算出正

确答案。

解：设这个数这x，由题意，得

x+1=3×4×7，

解之，得x=83。

事实上，所得的数为83+84k（k 为自然数）都能满足条件的要求，但最小的就是k=0时的数83了。

我们知道，在新课程改革中，培养学生的实践能力和探索精神非常重要，但也离不开学生对事物的思考。培养学生的思维能力非常重要。在数学学习中，让学生掌握一些数学思想和一些特殊的方法是必要的，如特殊与一般的数学思想，化归思想等，这就要求学生在平时的训练中，一个题可以从不同的角度去思考，一方面可以综合地运用知识，另一方面也培养了学生的多动脑、多思考的良好习惯，提高了学生思维的灵活性。