可变摆长的单摆运动的MATLAB仿真

王 亮，郭晓波

（西南科技大学，四川 绵阳 621010）

单摆运动是一个经典的物理模型，在物理学中有着重要的作用。有文献研究了双钉子的小角度下理想单摆运动[1]，也有文献通过研究双绞线的大角度摆运动来研究混沌现象[2]，对于小摆角单摆问题的研究已经很成熟[3]，但极少地考虑有钉子大角度下单摆运动的整个物理过程。

图1 运动轨迹示意图

此外，MATLAB是一个强大的数学软件，提供了计算、数值模拟、图像处理、信号处理、图像仿真等功能[4－6]，也提供了图像与命令交互式的控制[7－8]。部分大学物理实验也可以用 MATLAB仿真来实现[9]，对于不同的摆长L1、L2，可以将运动分成八种情形，并通过MATLAB实现所有运动过程交互式可视化仿真。这种方法可以加深对物理理论的直观认识。

1 摆球摆动运动的理论分析

用长度为L1的细绳一端拴着质量为m的摆球，另一端固定在点O1处。在点O1正下方距离D的点O2处有一钉子。θ0是初始位置时与O1O2竖直方向的夹角，在摆球自由下落的过程中，计算出任意角度时摆线的拉力T和摆球速度v的值。

建立如下坐标：当摆球绕着固定点O1转动时的摆线与竖直方向的夹角为θ；当摆球绕着钉子O2转动时的摆线与竖直方向的夹角为φ，取O1点正下方初始角度为零，逆时针方向为正，取值范围是（-180°，180°]如图1所示。

对于普通的单摆，假设在摆动过程中：摆动半径为R，绳子受到合力为Ftot，摆线与O1O2夹角为β，运动开始速度为vs。在摆动运动过程中根据能量关系、受力分析及几何关系得：

各种情况运动的分类、满足条件、参数变量取值及角度范围如表1所示。

表1 运动情况分类表

2 单摆的MATLAB仿真

2.1 界面设计

MATLAB GUI界面，整体可以分成五个板块：d与角度关系图、按钮与运动情况说明区、运动轨迹图、参数设定区和状态显示区。

图2 仿真总界面图

通过改变参数，仿真可得到所有种情况的T-θ（φ）图与v-θ（φ）图，本文以运动最为复杂的情况Ⅲ作为例子分析，其物理过程为：先后做绕着O1与O2的摆动，然后做斜抛运动，摆球斜抛之后，落到以O1为圆心，L1为半径的圆上，然后再做摆动。重复上述情形直到小球仅在O2下方做周期摆动。

图3是情况Ⅲ中三个条件下的T -θ（φ）和v-θ（φ）曲线：

图3 三种情况的仿真结果

2.2 程序流程图

图4 程序流程图

2.3 讨 论

图3中的a、b是 Ⅲ－1情况的结果，c、d是Ⅲ－3－a，e、f是 Ⅲ－3－b，通过图形可以看出每次在最低点时拉力T都会突变，说明了在此时摆长的突变，每次斜抛之后都速度都会突变，绳子未拉直之前做斜抛运动，拉直之后做摆动，说明了绳子拉直的瞬间有能量的损失，引起速度突变。从整个动态的过程中可以看出来经历斜抛次数越多时，每次损失的能量越来越少，最后剩下的能量就比较少，直到小球在O2下方做周期摆动。

3 结 论

对于摆长可变化的单摆运动，我们进行了详细的理论分析和推导，通过各种临界条件，将运动分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ－1、Ⅲ－2、Ⅲ－3－a、Ⅲ－3－b、Ⅳ和Ⅴ共八种情况，并且得到了单摆在各种情况下的计算公式和详细分类，根据理论推导的公式，用MATLAB实现物理过程的可视化仿真，并建立了基于MATLAB GUI的可交互的仿真界面，同时给出三个可调参数，用户可以通过调节不同的参数，观察小球运动轨迹、力、速度等物理参数动态变化曲线，我们得以完整的了解小球整个运动的物理过程。这种交互式的，接近真实的物理过程的仿真，可以提高物理理论及实验教学，使抽象的物理理论知识以更加直观的方式展示出来，同时也可以加强学生对物理理论知识的理解。

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