汽车发动机悬置系统的多目标稳健优化设计*

谢 展，于德介，李 蓉

(湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082)

前言

发动机悬置系统作为发动机与车架(车身)的连接部件，对整车振动噪声的控制有重要影响。文献［1］中应用SQP(sequential quadratic programming)优化算法，对悬置刚度进行优化，使悬置系统的隔振性能显著提高。文献［2］中以城市公交车为研究对象，应用3种解耦技术对悬置系统进行解耦设计，降低了动力传动系统的低频振动向车身的传递。

针对发动机悬置系统的多目标优化设计，国内外已做了大量研究工作。文献［3］中以整车人机系统为背景，提出了以人体垂向振动加速度均方根的加权值最小和发动机悬置系统能量解耦为综合目标函数的优化模型;文献［4］中开发了用于动力总成悬置系统性能分析和优化设计的软件——SMMOUNT，并利用该软件进行优化设计，使悬置系统的隔振性能得到改善;文献［5］中应用一种新的种群多样性保留机制的遗传算法，对5自由度的汽车振动模型进行多目标优化计算，显示出多目标优化设计的优越性。但在现有的发动机悬置系统多目标优化设计中，没有考虑悬置参数的不确定性。

多目标稳健优化方法［6-7］考虑了设计参数的不确定性对目标函数的影响，使设计结果既优化又稳健。文献［8］中提出一种与负载相关的控制器设计方法，对汽车主动悬架系统进行多目标稳健优化设计。文献［9］中通过加权方法将多目标优化问题转化成单目标优化问题，应用蒙特卡洛方法进行分析，提高了悬置系统的稳健性，但并没有同时实现6个方向上的完全解耦。采用加权方法处理多目标优化问题有其固有劣势:不能很好地同时满足各目标函数，特别是在各目标函数之间相互矛盾时。

本文中将多目标稳健优化设计方法应用到汽车发动机悬置系统的设计中，首先建立了发动机悬置系统的6自由度动力学模型，并由此计算悬置系统各个方向上的解耦率和怠速工况下的动反力。以悬置刚度为优化变量且考虑其不确定性，假设悬置刚度服从正态分布，方差为均值(最佳值)的15%。以6个方向上的解耦率、悬置系统的动反力和动反力的稳健性函数等8个参数构成Pareto多目标优化的目标函数向量，从而兼顾到解耦率、动反力的优化和动反力的稳健性。动反力的稳健性函数通过拉丁超立方抽样得到。应用遗传算法对优化模型进行全局寻优，找到所有Pareto最优解，最终得到既优化又稳健的解。整个计算过程均在Matlab环境中编写相关计算程序完成。以某型轿车为例，对其发动机悬置系统进行多目标稳健优化设计，优化结果验证了多目标稳健优化设计的有效性。

1 悬置系统的解耦率与动反力

1.1 悬置系统的动力学模型

动力总成悬置系统的固有频率一般在30Hz以下，远低于动力总成的弹性模态频率(一般在60Hz以上)。因此，在处理工程实际问题时，可将发动机和车架视为刚体，建立一个6自由度悬置系统动力学模型，如图1 所示［1］。

在悬置系统6自由度动力学模型中，定义定坐标系G0—XYZ:原点G0为动力总成的质心;X轴与汽车前进的方向相反;Y轴与曲轴中心线重合并指向发动机前端;Z轴垂直向上。发动机的6个自由度分别为:质心沿X、Y、Z 轴3个方向的平动 x、y、z和绕 X、Y、Z 轴的转动 θx、θy、θz，其广义坐标为{X}=(x y z θxθyθz)。

根据拉格朗日方程，可推导出悬置系统的自由振动微分方程为

式中:{X}为广义坐标;［M］为质量矩阵;［K］为刚度矩阵;［C］为阻尼矩阵。

橡胶悬置元件的阻尼很小，对固有频率影响较小，因而可忽略阻尼。式(1)可改写为

根据上述动力学模型，在测得发动机的质量、质心坐标、转动惯量与惯性积以及各悬置的刚度、安装位置与角度后，便可求得汽车发动机悬置系统的6阶固有频率和振型等动力学参数。

1.2 悬置系统的解耦率

悬置系统的质量矩阵和刚度矩阵一般为非对角阵，表明系统同时存在惯性耦合和弹性耦合。耦合将对悬置系统的隔振性能产生不利影响，为此须进行解耦设计。但是，6个自由度方向上的解耦重要性并非完全等同，其中以绕曲轴(Y轴)方向和垂直(Z 轴)方向的影响最大［3］。

根据悬置系统的质量矩阵和刚度矩阵，可求出系统在各阶主振动下的能量分布，其矩阵形式定义为能量分布矩阵E。当系统以第i阶固有频率振动时，E中第k行l列元素为

式中:Mkl为质量矩阵的第k行l列元素;φi为系统的第i阶主振型;(φi)k为系统第i阶主振型的第k个元素;(φi)l为系统第i阶主振型的第 l个元素;ωi为系统的第i阶固有频率。

悬置系统在第i阶模态下，第k个广义坐标的振动能量占系统总能量的百分比为

式中:Iki为系统第k个广义坐标在第i阶模态下的解耦率，表征了系统在第k个广义坐标上的解耦程度。Iki数值越大，代表着系统在第k个广义坐标方向上的解耦程度越高，反之则耦合程度越高。一般认为，当某个方向上的能量解耦率超过85%时，该方向已实现近乎完全解耦。

1.3 悬置系统的动反力

在怠速工况且不考虑阻尼的情况下，发动机悬置系统的振动微分方程为

式中{Fe}为怠速工况下系统所受的简谐激励力矢量。

系统受迫振动时的稳态解为

第i个悬置传递给车身的动反力［1］为

式中:［ki］为第i个悬置在全局坐标系中的刚度矩阵;［ri］为第i个悬置位置坐标的反对称阵。

怠速工况下悬置系统传递给车身的动反力为

式中:fxi、fyi、fzi分别为第i个悬置在怠速工况下动反力的3个分量。

发动机作为汽车两大振动源之一，其振动传递到车身的动反力大小，直接影响汽车的NVH性能，其值越低，则悬置系统隔振性能越好。

2 悬置系统多目标稳健优化设计

在多目标优化设计中，目标函数向量包含有多个目标函数。这些目标函数通常都是相互冲突的，一个目标性能的改善常伴随着另一个目标性能的下降。因此，不存在一个优化解同时使所有目标函数达到最优，但存在能同时较好地满足各个目标函数的解，即 Pareto最优解［5］(也称有效解)。

Pareto多目标优化设计主要有两个分析步骤:(1)找出所有的Pareto最优解，其Pareto最优解集的完整性决定了设计工作的成败，而具有平行性的优化算法能够很好地解决这个问题;(2)在所有的Pareto最优解中找到最符合设计要求的一组Pareto最优解，其解决方法很多，如排序法、列表法和加权法等。因此，随着优化算法的不断发展，对多目标优化问题的处理从最初的加权多目标优化设计发展到Pareto多目标优化设计，其确定性优化设计模型为

式中:f1(X)～fn(X)为须进行优化的n个目标函数;(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))为优化目标函数向量;S为优化设计空间;X为优化设计变量。

然而，上述模型未考虑设计变量的不确定性，使设计结果不能很好地满足实际工程要求。发动机悬置系统在汽车行驶过程中会受到各种不确定性因素的影响，并且悬置元件在生产制造过程中同样要受到各种不确定性因素的影响，导致悬置系统的参数并不能达到最优设计目标值。同时，机械零部件的制造精度受到制造设备和现有技术条件的制约，仅着眼于提高零部件精度对控制生产成本非常不利，且不符合现代设计理念。因此，悬置系统的稳健设计逐渐为设计人员所重视，其设计思路是:承认设计参数的波动，通过调整其公称值并控制其公差范围来控制零部件的性能，达到降低零部件的生产制造安装和使用成本的目的。

在机械制造和安装过程中，参数一般服从正态分布，而目标函数的分布由设计变量的分布决定，因此可通过对设计变量的控制来实现对目标函数的控制。本文中假设设计变量(悬置刚度)服从正态分布，且方差为均值的15%，同时将目标函数的稳健性函数引入到目标函数向量中，以找到既满足各目标函数要求又满足稳健性要求的解。所建立的多目标稳健优化模型为

式中:K为设计变量，即悬置刚度，共9个;Kmax与Kmin分别为悬置刚度取值的上下限;f1(K)～f6(K)为悬置系统在6个自由度方向上的解耦率，由式(4)计算得到;f7(K)为悬置系统在怠速工况下动反力的倒数，由式(9)计算得到;fr7(K)为动反力的稳健性函数［10］，其表达式为

式中:μf7与σf7分别为动反力的均值和方差，其比值反映出悬置刚度的不确定性对动反力不确定性的影响，通过拉丁超立方抽样［11］得到其值。

在建立悬置系统多目标稳健优化模型后，找到一组既优化又稳健的设计解主要包含两个步骤:(1)在不考虑稳健性函数的多目标模型中应用遗传算法找到所有的Pareto最优解，这些解都能满足解耦率和动反力的要求;(2)对每一组Pareto最优解进行拉丁超立方抽样，以评价每一组Pareto最优解动反力的稳健性，并在所有的Pareto最优解中找到稳健性好的设计解，最终得到既优化又稳健的解。拉丁超立方抽样一般有以下3个步骤:第1步是对每一维(即每个随机参数)依据其概率分布函数进行等概率分层，共分成互不重叠的m个区间;第2步是在每一维的每一个区间里随机抽取一个数;第3步是从每一维中随机抽取一个数组成随机参数向量。将拉丁超立方抽样得到的随机参数向量代入动反力函数，进而计算出动反力的均值和方差，二者的比值即为动反力稳健性函数。

悬置系统多目标稳健优化设计流程见图2。

3 优化设计实例

以某型轿车的发动机悬置系统为对象进行多目标稳健优化设计，以验证该方法的有效性。悬置系统采用三点支撑，在低速和怠速工况下其静刚度值［12］如表1 所示。

表1 优化前各悬置的静刚度值 N/mm

优化前该车悬置系统动反力F=673.17N，各阶固有频率和能量分布百分比如表2所示。

从表2可看出，汽车发动机悬置系统的最低频率为5.10Hz，最高为25.78Hz，固有频率的区间范围偏大，会增加共振现象发生的概率。悬置系统各自由度的能量分布也不理想，虽然有3个方向上的能量分布百分比超过了90%，但是两个最重要的方向——绕曲轴(Y轴)方向和垂直(Z轴)方向上的能量分布百分比均未超过85%，没有实现完全解耦，振动耦合现象比较严重。

表2 优化前悬置系统固有频率和能量分布百分比

考虑悬置刚度的不确定性，应用蒙特卡洛法对动反力进行随机模拟计算，并分析悬置刚度不确定性对动反力不确定性的影响。假设悬置刚度服从正态分布，方差为均值(最佳值)的15%，可得动反力均值为μF=680.39N，方差为σF=71.83，由此可知动反力的稳健性函数值为9.47。

对于上述悬置系统采用多目标稳健优化设计方法进行优化，以汽车发动机悬置系统的刚度参数为优化对象，建立如式(10)所示的悬置系统多目标稳健优化模型，并按图2的优化设计流程进行求解。悬置刚度过大虽然能减小发动机和悬置系统的位移，但会使悬置系统的动反力增加，从而导致振动传递力的上升;悬置刚度过小则会导致发动机和悬置系统的位移增大，造成发动机与其它零部件间的运动干涉［12］。在优化计算过程中，悬置刚度的上下限分别取为305N/mm和50N/mm。应用遗传优化算法，并在Matlab环境中编写相关计算程序求解悬置系统多目标稳健优化模型，得到优化后的刚度参数如表3所示。优化后得到的系统固有频率和能量分布百分比如表4所示。

表3 优化后各悬置的静刚度值 N/mm

由表3和表4可看出，对悬置刚度进行调整，提高了悬置系统的隔振性能。优化后悬置系统的最低频率为6.82Hz，最高频率为25.17Hz，减小了固有频率的区间范围。虽然在X方向和Y方向上的能量分布百分比稍有降低，但其它方向的能量分布百分比提高了，特别是绕Y轴和绕Z轴方向。系统实现了6个自由度方向的近乎完全解耦，减小了系统的振动耦合现象，提高了隔振性能。

表4 优化后悬置系统固有频率和能量百分比

优化后的动反力F=24.89N，其值大幅降低。经拉丁超立方抽样，动反力均值为μF=26.10N，方差为σF=1.41，动反力的稳健性函数值为18.51，相比优化前稳健性得到了较大提高。

4 结论

(1)将多目标优化与稳健优化设计相结合，对发动机悬置系统进行多目标稳健优化设计。该方法考虑了悬置刚度的不确定性，并将动反力的稳健性函数加入到多目标优化模型的目标函数向量中，从而兼顾了多个目标函数的优化及其稳健性。本文方法先通过遗传算法求得多目标优化模型的Pareto最优解集，再通过拉丁超立方抽样从Pareto最优解集中找到稳健性好的优化设计解，使汽车发动机悬置系统的设计结果既优化又稳健。

(2)对某轿车发动机悬置系统进行多目标稳健优化设计，缩小了悬置系统固有频率的区间范围，降低了共振现象发生的概率;悬置系统在6个自由度方向上的解耦率均超过85%;动反力明显减小，其稳健性也明显提高，满足工程实际要求。

［1］ 周冠南，蒋伟康，吴海军.基于总传递力最小的发动机悬置系统优化设计［J］.振动与冲击，2008，27(8):56-58.

［2］ Ali El Hafidi，Bruno Martin，Alexandre Loredo，et al.Vibration Reduction on City Buses:Determination of Optimal Position of Engine Mounts［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24(7):2198-2209.

［3］ 樊兴华，陈金玉，黄席樾.发动机悬置系统多目标优化设计［J］.重庆大学学报(自然科学版)，2001，24(2):41-44.

［4］ 史文库，洪泽浩，赵涛.汽车动力总成多目标优化设计及软件开发［J］.吉林大学学报(工学版)，2006，36(5):654-658.

［5］ Nariman-Zadeh N，Salehpour M，Jamali A，et al.Pareto Optimization of a Five-degree of Freedom Vehicle Vibration Model Using a Multi-objective Uniform-diversity Genetic Algorithm(MUGA)［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2010，23(4):543-551.

［6］ Soares G L，Parreiras R O，Jaulin L，et al.Interval Robust Multiobjective Algorithm［J］.Nonlinear Analysis，2009，71(12):e1818-e1825.

［7］ Lagaros Nikos D，Plevris Vagelis.Multi-objective Design Optimization Using Cascade Evolutionary Computations［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2005，194(30-33):3496-3515.

［8］ Gao Huijun，Lam James，Wang Changhong.Multi-objective Control of Vehicle Active Suspension Systems via Load-dependent Controllers［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，290(3-5):654-675.

［9］ 张武，陈剑，夏海.基于灵敏度分析的发动机悬置系统稳健性优化设计［J］.汽车工程，2009，31(8):728-732.

［10］ Ghanmi S.Robust Multi-objective and Multi-level Optimization of Complex Mechanical Structures［J/OL］.http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0888327011001063，2011-02-11/2011-05-27.

［11］ Helton J C，Davis F J.Latin Hypercube Sampling and the Propagation of Uncertainty in Analyses of Complex Systems［J］.Reliability Engineering and System Safety，2003，81(1):23-69.

［12］ 王峰.汽车动力总成悬置系统振动分析及优化设计［D］.上海:上海交通大学，2008:1-70.