浅谈古典数学益智玩具的开发与运用*

● 孙桂芳

以七巧板、九连环、鲁班锁、华容道为代表的古典数学益智玩具（本文简称数学玩具，下同），作为人类智慧的结晶，在构造与操作中都蕴含着丰富的数学元素，具有重要的数学课程资源教育意义。

一、丰富教材资源

首先，拓展教材资源。如每个版本的数学教材都引入了七巧板的内容，但无不都是局限于历史背景与图案设计的简单介绍，此时教师可以根据教学实际引进四巧板、五巧板、八巧板、十五巧板以及立体七巧板等，作为校本课程供学生了解和体验。对于七巧板，有一个珍贵的资源应该开发和利用——“一副七巧板能摆出多少个凸多边形？20世纪30年代由日本数学家提出这个问题，最终由我国浙江大学的王福春、熊全治两位学者解决，其论文 《关于七巧板的一个定理》（A Theorem on the Tangram）发表于《美国数学月刊》1942年第49期。”[1]

其次，建立“空间与图形”观念。数学玩具本身是立体的实物，教师在介绍、讲解时必须涉及到“现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换”[2]；学生在探索过程中切实体会空间与图形；学生在相互交流、传授做法的过程中，必会涉及到空间与图形的概念与相关联系。

再次，作为常规课堂的辅助教具，将抽象复杂的数学推理直观演示。如学习《勾股定理》时，利用七巧板来证明和验证勾股定理，学生动手实践验证勾股定理的证明；七巧板各组块角度及面积之间的关系，是对勾股定理的应用；神奇四块、三角变正方、四巧板等滑板类玩具亦有对勾股定理的应用价值。

最后，作为数学应用能力的检测和提升，增强数学的实践性、操作性和探索性。如学习“三视图”时，利用鲁班球和鲁班锁的三视图图解，在应用过程中检验和加强学生对“三视图”相关知识的学习。

二、渗透数学思想和方法

“目前，在处理中小学数学思想方法上有两种基本的思路：第一，主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法，特别是一些具体的、技巧性较强的方法，如换元法、因式分解法、公式法等；第二，通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如试验、猜测、模型化、合情推理、系统分析等。这两类思想方法的取向有所不同，前者倾向于技术方面的，更多的是帮助学生学习解决具体问题的技巧，后者更多的是一般的思考方法，具有更广的应用性，主要发达国家倾向于第二种方法。”[3]

显然，第一种思路是把数学思想方法等同于解题术，第二种思路则强调量化思想方法之类的基本思想方法。两种思路，数学玩具均有涉及。对于前者，如M扣涉及到分类讨论思想、整体思想、空间知识；T字谜、神奇四块涉及到转化思想；汉诺塔涉及数形结合思想、整体思想和数学建模思想，并与乘方、数列等具体的知识相联系。对于不同知识水平的学生，探索同一个数学玩具的内在思想会有不同的表现结果，如汉诺塔，初一学生是体验为主的探索，初二学生课题学习的探索，初三学生数学建模的训练，高中生数列的研究，大学生在心理学、美学设计方面进行研究以利用。

相比之下，数学玩具对于后者的作用体现的更明显。探索的过程，即是解决具体问题的过程。比如“立刻疯”（四色俱全），在探索的过程中要涉及试验、猜测、模型化、发散性思考、系统分析等；神秘T字谜蕴含着一定的心理因素，要求挑战者打破思维定势，通过全面观察、估计、比较各角的度数、各边长度才能成功；“华容道游戏的数学教育价值有提出问题、倒推、符号化与数学交流。”[4]

对数学玩具利用的浅层教育价值是研究其解法，深层教育价值是通过对数学玩具的探索，培养解决综合问题的能力，使学生体会数学的内在教育性、领悟数学中所蕴含的价值，其理性精神、逻辑推理、对事物的客观判断等，是超越数学学科而具有的普遍价值，是促进学生人格发展的宝贵资源。

三、引领学习方法

探究数学玩具能够很好地体会这四个步骤：要攻克一件数学玩具，第一步要“弄清问题”，即理解目标，明确任务；第二步“拟订计划”是解决问题的关键，从理解目标到构思是一个漫长而曲折的过程，是需要从已知到未知转化的过程；第三步“实现计划”是解决问题的核心，是根据第二步的计划实际操作、尝试，涉及到以前学到的知识，运用良好的思维习惯，需要耐心地逐个进行所有细节，达到每一点都非常清晰，才能保证成功；第四步“回顾”是解决问题的魅力所在，通过回顾完整的解决过程，重新思考导致结果的途径，在经过充分的研究和洞察以后，将这些解题方法加以改进，达到举一反三、融会贯通。

学生应如何正确看待数学考试与竞赛？如何在考试与竞赛中获胜？借助数学玩具，在学生中开展竞赛活动，可以引导学生感受影响考试与竞赛的重要因素：速度、方法与技能，形成对数学的解题与数学考试的正确认识，从侧面认识学习数学的方法。

四、更新数学观

改进学生的数学学习方法，提高他们的数学应用能力，首要的问题是更新学生的数学观，使学生具有合理的数学观。

“曹瞒兵败走华容，正与关公狭路逢。只为当初恩义重，放开金锁走蛟龙。”这首诗是《三国演义》里作者对赤壁之战关羽放走曹操的感慨。一直以来，人们认为华容道这一数学玩具就取意于这段故事。但据吴鹤龄考察，“把华容道看作是从西方传入以后本地化的产物，倒是比较合乎事实和逻辑的。”[5]华容道曾引起过许多人的兴趣，有学者研究其与《三国演义》中的故事、人物联系及刻画历史人物内心，而更多的是研究如何用最少的步数把曹操“救出”。我国许莼舫总结了8条相关的规律，并用了100步将曹操走出。因为“死守规律”，以16步之差落后于“莱曼解法”的84步，而创造世界记录的“81步解法”是美国数学家马丁·加德纳。[6]通过华容道引导学生感悟：数学是人类的一门科学，集世界文化于一体，是在探索与发现的过程中不断发展变化与完善的，是包含着错误与改正的一门学科。

汉诺塔取自于古印度的“世界末日传说”，又名梵塔、罗汉塔、河内塔。汉诺塔问题是由法国数学家Edouard Lucas于1883年提出。人们热衷于挑战它的最少移动次数的方法，汉诺塔问题在数学、计算机数据结构、算法设计与分析的教材中几乎都无一例外地被引入，它的解决要使用数学归纳、递归函数和迭代等方法。不仅如此，汉诺塔问题还是心理学实验研究常用的任务之一。实际上，汉诺塔问题适合各种不同知识层次的人去研究，初中生比较适合研究“264有多大”。[7]通过汉诺塔引导学生感悟：数学与客观世界有密切的联系，数学有着广泛的应用，数学是一门通过对数与形的研究揭示客观世界的秩序、和谐与统一的学科。

学生对任何一种数学玩具的成功探索，无不经历猜想、尝试、验证、归纳等过程，可以说数学还是一种探索性活动，并伴随着错误、尝试与改进的过程。因此，通过数学玩具使学生明确，数学学习的过程不应当只是接受、记诵既定知识的过程，更应当是学习者自主参与探索活动的创造、生成性的过程。

[1][5]吴鹤龄.七巧板、九连环和华容道—中国古典智利游戏三绝[M].北京：科学出版社，2004.

[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京大学出版社，2001.

[3]刘兼、孙晓天.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.

[4]张新春.智力游戏“华容道”及其数学教育价值[J].湖南教育，2008，（10）.

[6]我国古代的智力玩具[EB/OL].http：//hi.baidu.com/lwp333/blog／item/e13d4e546628d65c564e0025.html

[7]刘永坤.你还在练 QQ 等级吗[J].中学生数学，2008，（6）.