不同版本“周期函数”定义的比较与思考

☉安徽省枞阳县会宫中学 朱贤良

“周期性”是研究函数时重点考查的性质之一，利用函数的周期性使我们对函数图像与其他性质的认识更加简洁、有效.近日阅读文［1］时，对其中提出的问题进行了深入的思考，现整理成文.

一、问题呈现

摘录文［1］提出的问题如下：

问题 函数g（x）=sinx（x≥0）是不是周期函数？

对于函数周期性的概念，人教A版必修4第34页是这样写的：

“对于函数f（x），如果存在一个非零实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零实数T叫做这个函数的周期.

周期函数的周期不止一个，例如2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π，…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期.

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.例如，正弦函数的最小正周期是2π.

观点1：由周期性的定义，存在一个非零常数2π，使得当x取定义域内的每一个值时，都有g（x+2π）=g（x），因此，函数g（x）是周期函数.

观点2：若g（x）是周期函数，2π是周期，那么任何一个常数2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，即-2π也是函数g（x）的周期.但是当x取定义域内的每一个值时，x-2π未必在定义域内，因而不满足周期函数的定义，故函数g（x）不是周期函数.

两种观点，孰对孰错？

应该说，文［1］中提出的这个问题表明对课本的研读还是比较细致的，能从阅读课本中提出问题，这比解决一个问题更可贵！

二、依据教材与教师教学用书辨析两种观点

观点2中认为，“若g（x）是周期函数，2π是周期，那么任何一个常数2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，即-2π也是函数g（x）的周期.”这是没有依据的，因为教材中只是说2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π…，包括2kπ（k∈Z且k≠0），都是正弦函数的周期，这并不意味着“若T是一个函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期”，最起码教材上的定义没有这样说明.也就是说，从教材的角度看，观点2的推理过程犯了以偏概全的错误.

这是否意味着观点1是正确的？从教材中给出的周期函数的定义出发，由演绎推理得出结论，无懈可击！

笔者翻阅了配套的教师教学用书，书中指出：“在引导学生学习周期性概念时，可以强调以下几点……②周期函数的周期不唯一.例如2kπ（k∈Z且k≠0）都是正弦函数的周期.这点可以从周期函数的图像上得到反映，也可以从代数上证明：设T是函数f（x）的周期，那么对于任意的k∈Z且k≠0，kT也是函数f（x）的周期……”按照这种说法，观点2正确，观点1中的演绎推理顿失大前提.

到底“周期函数”应该如何定义？

三、不同版本的“周期函数”定义

教材与教师教学用书中对“周期函数”的不同描述着实让人费解，其分歧的根源在于对“周而复始”现象的不同理解.根据教材中的定义，如果T＞0，函数图像只需向y轴右侧无限延伸（可以不连续）、“周而复始”，这是周期函数；如果T＜0，函数图像只需向y轴左侧无限延伸（可以不连续）、“周而复始”，这也是周期函数.比如函数y=sinx（x≥0）、y=sinx（x＜0）与y=sinx都是周期函数，但三者存在明显的区别：函数y=sinx（x≥0）图像只能向x→+∞一侧“周而复始”，而不能向x→-∞一侧“周而复始”，周期为正数；函数y=sinx（x＜0）恰恰相反，其图像只能向x→-∞一侧“周而复始”，周期为负数；函数y=sinx的图像可以向x→+∞与x→-∞这两侧“周而复始”.而根据教师教学用书的描述，“设T是函数f（x）的周期，那么对于任意的k∈Z且k≠0，kT也是函数f（x）的周期”，这表明周期函数图像必须能够向x→+∞与x→-∞双侧“周而复始”，只向单侧“周而复始”的函数不是周期函数.

哪种“周而复始”更准确？哪个“周期函数”定义更合理？

笔者随即查找了相关文献，人民教育出版社的教材从上个世纪八九十年代的甲版本教材、九十年代中后期的代数课本，到2003年出版的全日制普通高级中学教科书（即大纲版教材），直至普通高中课程标准实验教科书A版数学4（即新课标教材），其说法大同小异.笔者又查看了江苏教育出版社、北京师范大学出版社这两个版本的教材，尽管“周期函数”定义的引入时间与人教版教材有出入，但其内容并无实质差异，不一一摘录（读者可查看本文参考文献中相关著作）.这不仅让笔者大为不解，为什么人教版教材与教师教学用书不一致，但众多版本的中学教材说法几乎都一致……

笔者又努力从几种比较权威的大学数学分析教材（文［9］、［10］）中去寻找答案，却发现两者对“周期函数”的定义与前述的教师教学用书说法一致，仅摘录文［9］的定义如下：

设函数f（x）定义在数集A.若∃l>0，∀x∈A，有x±l∈A且f（x±l）=f（x），则称f（x）是周期函数，l称为函数f（x）的一个周期.

“若l是函数f（x）的周期，则2l也是它的周期.事实上，f（x+2l）=f（x+l+l）=f（x+l）=f（x）=f（x-l）=f（x-l-l）=f（xl）.不难用归纳法证明，若l是函数f（x）的周期，则nl（n是正整数）也是它的周期……描绘周期函数的图像，只要在一个周期内描出函数的图像，然后将此图像以一个周期为单位向左、右平移，就得到了整个周期函数的图像.”

很明显，与中学教材中定义相比，大学教材“周期函数”的定义不仅要求f（x+T）=f（x），还要求f（x-T）=f（x），这就保证了周期函数的图像必须向x→+∞和x→-∞这两侧都“周而复始”.

顺便指出，当函数的定义域为实数集R时，中学教材与大学教材中对“周期函数”的定义是统一的.

四、双侧“周而复始”的“周期函数”定义的合理简化

仔细思考上述双侧“周而复始”的“周期函数”的定义，不难发现其中“l>0”与“f（x±l）=f（x）”稍嫌重复：既然f（x±l）=f（x），何须要l>0！颇有代表性的同济版《高等数学》（文［11］）与湖南教育出版社新课标数学教材（文［12］）对“周期函数”的定义更为简洁，两者异曲同工，摘录如下（分别记为同济版与湘教版），以飨读者：

同济版：设函数f（x）定义在数集D，如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D，有x±l∈D且f（x+l）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，l为函数f（x）的周期.

湘教版：一般地，对于函数y=f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有定义，并且f（x±T）=f（x），则这个函数y=f（x）称为周期函数，T称为这个函数的一个周期.

如果T是函数y=f（x）的周期，则由f（x）=f（x+T）=f（（x+T）+T）=f（x+2T）知道2T也是它的周期，同理可知T的所有非零整数倍都是y=f（x）的周期.

笔者以为，湘教版的“周期函数”定义更容易为中学生所理解.

五、对“周期函数”定义的一点思考

笔者以为，作为中学两本重要的数学教学用书，不应该对同一概念出现不同的说法，这只是人为地给中学数学教学增添烦恼.由此，笔者认为应该统一两种不同的定义：不妨称单侧“周而复始”的函数具有弱周期性，称双侧“周而复始”的函数具有强周期性.

正是：本来和谐事，何故乱平添.

1.郝明泉.争鸣·问题223［J］.数学通讯（教师刊），2013（3）.

2.人民教育出版社，等.普通高中课程标准实验教科书A版数学4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.人民教育出版社，等.普通高中课程标准实验教科书A版数学4（必修）教师教学用书［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.单墫，主编.普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）［M］.南京：江苏教育出版社，2005.

5.北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）［M］.北京：北京师范大学出版社，2010.

6.人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学第一册 （下）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

7.人民教育出版社中学数学室.高级中学课本代数上册（必修）［M］.北京：人民教育出版社，1995.

8.人民教育出版社中小学数学编辑室.高级中学课本（试用）代数第一册（甲种本）［M］.北京：人民教育出版社，1983.

9.刘玉琏，等.数学分析讲义（第五版）上册［M］.北京：高等教育出版社，2008.

10.华东师范大学数学系.数学分析 （第三版上册）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

11.同济大学数学系.高等数学（第六版上册）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

12.张景中，主编.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第二册［M］.长沙：湖南教育出版社，2005.