延迟积分微分方程二步Runge－Kutta法渐近稳定性分析

袁海燕，曲绍平，贺 丹

（黑龙江工程学院 数学系，黑龙江 哈尔滨150050）

近年来，有关延迟微分方程（DDEs）数值方法稳定性的研究越来越多［1－3］，这些方程广泛出现于科学工程领域，如电路分析、计算机辅助设计、光学控制等。同期出现了有关模糊延迟微分方程组的结论，例如，多芯片的互连问题［4］。Zhu和Petzold用θ方法、Runge－Kutta方法、BDF方法和线性多步法［5］验证过模糊延迟微分方程的渐近稳定性，Yu用多步法研究了一般中立型延迟微分代数方程（GNDDAEs）［6］。 最 近，人 们 对 延 迟 积 分 微 分 方 程（DIDEs）的研究越来越多。

本文主要探讨延迟积分微分方程（DIDEs）的二步Runge－Kutta方法和它的稳定区域，给出并证明DIDEs的二步Runge－Kutta方法的渐近稳定性结果。

1 二步龙格－库塔方法和它的稳定域

考虑二步龙格－库塔方法（TSRK）具有如下形式：

其中：tj＝tn＋cjh，~tj＝tn－1＋cjh，0≤θ≤1；ui是u（ti）的一个近似；h是固定步长；θ，＾bj，~bj和~ai，j，cj是系数。这些方法形成了一类一般线性方法［7］，也可以看作二步分裂方法。这里，将式（1）～（3）表示为

将式（1）～（3）应用到实验方程

为了研究式（1）～（3）的稳定性，必须分析式（5）解的渐近性，由下面的特征多项式的根决定

φ（z）＝z2－R（a，θ）z－S（a，θ）.

二步龙格－库塔方法的稳定区域是所有使得φ（z）的根在单位圆内或圆上的α的集合，其中φ（z）在单位圆上的根是单根。如果对于任意的α，Reα＜0，φ（z）是一个schur多项式，二步龙格－库塔方法的稳定区域包含负半平面，则称此方法是A－稳定的。

2 NMDIDAEs的TSRK 方法的渐近稳定性

这里考虑方程

假定τq＝qτ，τ＝Mh，M 是一个正整数，q＝1，2，…，m。

定义［8］如果一个数值方法用到渐近稳定系统（6）上的数值解满足＝0，则该方法就是渐近稳定的。

将式（1）～（3）代入到式（6）中，得

其中 Kn，i＝，i＝1，2，…，s是乘h 的级导数。记＾bT＝［＾b1，＾b2，…，＾bs］，~bT＝，…，~bs］，~A＝（~aij）。

假定~A的特征值都有正实部，上述的龙格－库塔方法一定存在。一个简单的例子就是具有正对角系数半显式的龙格－库塔方法［9］，重排级导数得到

引理1［10］如果式（10）的所有零点都满足＜1，则数值方法式（7）～（8）满足＝0。

矩阵Is－λl（r（z））的可逆性意味着对于所有的l，j，λl（r（z））λj（）≠1，因 此，有≥1时，det ［T1（z）］≠0。

定理 如果系统式（7）～（8）满足引理2的条件且满足下列条件：

则式（7）～（8）的TSRK法的解是渐近稳定的。

结合式（13）和式（14）得

3 结束语

本文主要探讨了延迟积分微分方程（DIDEs）的二步Runge－Kutta方法和它的稳定区域，给出并证明A－稳定的二步Runge－Kutta方法求解DIDEs的渐近稳定性。

［1］Brenan K E，Campbell S L，Petzold L R.Numerical Solution of Initial－Value Problem in Differential－Algebraic Equations［M］.2nd ed.Philadephia：SIAM，1995.

［2］Hairer E，Norsett S P，Wanner G.Solving Ordinary Differential－Algebraic Equations and Differential－Algebraic Problems［M］.NewYork：Springer，1992.

［3］Petzold L R.Numerical Solutions of Differential－Algebraic Equations［M］.Oxford：Clarendon Press，1995.

［4］Brayton R K，Willoughby R A.On the numerical integration of a symmetric system of difference－differential equations of neutral type［J］.J.Math.Anal.Appl.1967，18：182－189.

［5］Zhu W J，Petzold L R.Asymptotic stability of linear delay differential－algebraic equations and numerical methods［C］.Appl.Numer.Math.1997，24：247－264.

［6］Cong Y H，Sun L P，Li Y.Asymptotic Stability of linear multistep methods for generalized neutral delay differential－algebraic equations［J］.Journal of System Simulation，2009，21（20）：6432－6435.

［7］Butcher J C.The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations［M］.New York：John Wiley ＆ Sons.Chichester，1987.

［8］Wang Q，Cong Y H，Li J J.Stability of two－step Runge－Kutta methods for neutral delay－integro－differential－algebraic equations［J］.Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences）.2010；39（6）：551－557.

［9］Ascher U M，Petzold L R.The numerical solution of delay－differential－algebraic equations of retarded and neutral type［J］.SIAM J.Numer.Anal.1995，32：1635－1657.

［10］Lancaster，P，Tismenetsky M.The Theory of Matrices［M］.Orlando：Academic，1985.

［11］Campbell S L.Singular linear systems of differential equations with delays［J］.Appl.Anal.1980，2：129－136.