导数中数列中的应用

曹祖银 任承稳

题型一 利用导数研究数列的单调性与最值

例1 已知数列[an]的通项[an=-2n3+7n2]，求数列的最大项.

解析 令[f（x）=-2x3+7x2，]则[f（x）=-6x（x-73），]

当[00].

当[x>73]时，[f（x）<0].

∴[f（x）]在[（0，73]]上是增函数，在[[73，+∞）]上是减函数.

∴[f（2）=12]，[f（3）=9].

∴数列[an]的最大项为[a2=12].

题型二 利用导数求数列前[n]项的和

例2 已知数列[an]，[an=nxn-1]，求此数列前[n]项和[Sn].

解析 当[x=1]时，

[Sn=1+2+3+…+n=12n（n+1）].

当[x≠1]时，由[x+x2+x3+…+xn=x-xn+11-x]两边求导得，

[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].

∴[Sn=12n（n+1）， x=1，1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2，x≠1.]

题型三 利用导数证明数列不等式

例3 已知[a>0]，[n∈N*]，抛物线[y=-x2+an2]与[x]轴正半轴交于点[A]，设[f（n）]为抛物线在点[A]处的切线在[y]轴上的截距.

（1）用[a]和[n]表示[f（n）]；

（2）当[0

解析 （1）抛物线[y=-x2+an2]以其上一点[A（an2，0）]为切点的切线方程为[y=-2anx+an]，此直线在[y]轴上的截距为[f（n）=an].

（2）令[g（x）=274x（x2-x）+1（0

则[g（x）=814x（x-23）]，

当[0

当[230].

∴[g（x）]在[（0，23]]上是减函数，在[[23，1）]上是增函数，

则[g（x）]≥[g（23）=0][?274x（x2-x）+1]≥0

[?1x-x2]≥[274x].

取[x=a，a2，a3，…，an]得到的[n]个不等式相加得，

[1a-a2+1a2-a4+1a3-a6+…+1an-a2n]

≥[274（a+a2+a3+…+an）]

[=274?a-an+11-a>274?a-an1-a].

∴[Sn>274?f（1）-f（n）f（0）-f（1）].

例4 已知曲线[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]，以点[P（-1，0）]向曲线[cn]引斜率为[kn][（kn>0）]的切线[ln]，切点为[Pn（xn，yn）].

（1）求数列[xn]与数列[yn]的通项公式；

（2）证明：[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].

解析 曲线[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]是圆心为[（n，0）]、半径为[n]的圆，圆的切线[ln]的方程为[y=kn（x+1）].

（1）[|nkn+kn|1+kn2=n]即[kn2=n22n+1]，则

[xn2-2nxn+yn2=0yn=kn（xn+1）?xn2-2nxn+yn2=0yn2=n22n+1（xn+1）2?xn=nn+1yn=n2n+1n+1]

（2）[1-xn1+xn=12n+1，][2sinxnyn=2sin12n+1.]

由数列[xn]是递增数列知：

[（x1x3x5…x2n-1）2

[=12?23?34?…?2n-12n?2n2n+1=12n+1]

[?x1x3x5…x2n-1<12n+1.]

令[f（x）=x-2sinx（0

由[33<π4]及[y=cosx]在[（0，π2）]上是减函数知，

[f（x）=1-2cosx][1-2cos33][<1-2cosπ4=0，]

则[f（x）]是减函数，于是

[f（x）

∴[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].