导数在不等式中的应用

王进

导数是研究函数性质的一种重要工具，高中数学教材中重点介绍了利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程等基本知识.但在高考中，为了体现以考查能力立意的命题思想，导数的相关综合题目通常都以其它数学分支如数列、不等式等为背景命制，以区分学生“转化与化归”“数形结合”“分类讨论”等数学思想的应用能力.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的应用.

题型一 利用导数得出函数单调性来证明不等式

例1 当[x>0]时，求证：[x-x22

证明 令[f（x）=x-x22-ln（x+1）][（x>0）]，

则[f（x）=-x21+x]，

[∵x>0]，[∴f（x）<0]，故[f（x）]在[（0，+∞）]上递减.

因此[x>0]时，[f（x）

即[x-x22-ln（x+1）<0]成立，原命题得证.

点拨 对于此类题，常先把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.

题型二 利用导数求出函数的值域，再证明不等式

例2 [f（x）=13x3-x]，[x1，x2∈[-1，1]]时，求证：[f（x1）-f（x2）43].

证明 [f（x）=x2-1]，

当[x∈[-1，1]]时，[f（x）0]，

[∴f（x）]在[x∈[-1，1]]上递减，故[f（x）]在[[-1，1]]上的最大值为[f（-1）=23]，最小值为[f（1）=-23]，

即[f（x）]在[[-1，1]]上值域为[[-23，23]].

所以当[x1，x2∈[-1，1]]时，

[f（x1）23]，[f（x2）23]；

即有[f（x1）-f（x2）f（x1）+f（x2）43.]

点拨 此类题先用到绝对值不等式[a±ba][+b]的性质，再分别利用导数的方法来求[f（x1），f（x2）]的值域.

题型三 利用导数解决不等式恒成立问题

例3 已知函数[f（x）=（ax+x）9（a∈R）]，对[f（x）]定义域内任意的[x]值，[f（x）27]恒成立，求[a]的取值范围.

解析 函数[f（x）] 的定义域为[（0，+∞）] ，

由[f（x）27]对一切[x∈（0，+∞）]恒成立知，

[ax+x279=33]对一切[x∈（0，+∞）]恒成立，

即[a33x-xx]对一切[x∈（0，+∞）]恒成立.

令[h（x）=33x-xx]，

则[h（x）=33-32x]，由[h（x）=0]，

解得[x=4939].

令[h（x）>0]，解得[0

令[h（x）<0]，解得[x>4939]，

所以[h（x）]在[（0，4939）]上递增，在[（4939，+∞）]上递减.

故[h（x）]的最大值为[h（4939）=49]，所以[a49].

点拨 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为[m>f（x）] （或[m

题型四 利用导数解不等式

例4 函数[f（x）=x2+1-ax（a1）]，解不等式[f（x）1].

解析 由题意知[f（x）=122x1+x2-a=x1+x2-a，]

又[-1

所以[f（x）<1-a<0]恒成立，

故[f（x）]在[R]上单调递减，

又[f（0）=1]，所以[x0]时，

[f（x）f（0）=1]，

即[a1]时，[f（x）1]的解为[0，+∞].

点拨 在解不等式过程中，也可以利用导数工具先证明函数的单调性，这是转化和化归思想在高中数学中的重要体现.

题型五 形如“[f（x1）

例5 已知函数[f（x）=13x3-x2-3x+2]，[g（x）=-9x+a2]，若对任意[x1，x2∈[-2，2]]，都有[f（x1）

解析 因为对任意的[x1，x2∈[-2，2]]，都有[f（x1）

又[f（x）=x2-2x-3]，

令[f（x）>0，]得[x>3]或[x<-1].

令[f（x）<0，] 得[-1

所以[f（x）]在[[-2，-1]]为增函数，在[[-1，2]]为减函数.

因为[f（-1）=3]，所以[f（x）max=3]，

又易知[g（x）min=-18+a2] ，

所以[3<-18+a2]，即[a<-24].

点拨 此类问题中不等式左右两边的变量变化并无关联，适合构建两个函数分别求最值来达到解题的目的.