整除理论

刘颖　高子清　周淑红

摘要：整除理论是与小学数学教学密切相关的内容.本文针对这一教学内容就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特色，结合教材内容与竞赛内容培养学生的听课能力做了一些有效的探索.

关键词：初等数论； 小学数学教学 ；小学数学竞赛试题

高等院校的小学教育专业培养的是未来的小学教师.而初等数论中的一些基本知识在小学数学教学中的用途是十分广泛的，在初等数论的课堂教学中注重与小学数学教育结合起来，让学生明确数论内容在小学教材中出现的内容及小学数学竞赛出现的相关类型题目，渗透小学数学教学方法，提高学生的教学能力显得尤为重要.小学教学与初等数论关系密切（尤其体现在奥数中），最常见的整除理论问题包括：数的整除特征，质数与合数，奇数与偶数，最大公约数与最小公倍数.下面结合小学例题及竞赛试题进行实际说明.

一、 数的整除特征

小学数学课本中介绍过数的整除特征，即若一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数一定能被2整除；若一个自然数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除；若一个自然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数一定能被3整除.

因为整数A除以9的余数等于它的各个数位上数字和除以9的余数，而2001，1001除以9的余数分别为3和2，3×3×2=18，所以x能被9整除，即除以9余0.

二、质数与合数

首届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题的第3题：105的约数共有几个？这些都与质数与合数有关.

例2一些真分数的分子与分母互质，且分子与分母的乘积是780，这样的真分数有多少个？

解：因为780=22×3×5×13，所以

22在分子上时，有223×5×13，

共5个.故这样的分数共有3+5=8（个）.

三、奇数与偶数

例3有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转”，使其杯口向下.问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？

解析：对每只杯口向上（下）的杯子，只有“翻转”1次、3次、……后才能使杯口向下（上）.即对每只杯子，只有“翻转”单数次后，其杯口的朝向才能改变.现在要求九只杯口向上的杯子杯口全部朝下，那么每只杯子必须经过奇数次“翻转”，根据性质单数个奇数的和是奇数可知，这九个奇数的和一定是个奇数.即只有经过奇数次“翻转”，才能使九只杯口向上的杯子的杯口变为全部朝下.

另外每次只能同时“翻转”四只杯子.这就是说，不管如何“翻转”，最后“翻转”的总次数一定是4的倍数.4是偶数，所以“翻转”的总次数是个偶数.前面要求“翻转”总次数必须是奇数，这里又说它一定是个偶数，前后矛盾，所以按要求无论怎样“翻转”，都不能使九只杯口全部向下.

四、最大公约数与最小公倍数

小学数学课本第十册在约数与倍数这节中，有这样的思考题：60=2×2×3×5，你能从这个式子中知道60除了约数3以外，还有哪些约数吗？这些都与约数与倍数有关.

例4将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

解：因为3.57米=357厘米，

1.05米=105厘米，

0.84米=84厘米，

又357，105，84最大公约数是21.

所以当正方体的边长是21厘米时，其体积最大.

以上就初等数论中相关小学课本中的内容及竞赛的内容（结合历届国际奥赛试题及全国数学初赛、决赛试题）探讨相关数论方向的命题思路，坚持“不超前、不超纲”和“大众化、普及型”的命题原则和组织原则.前者是强调课内课外的结合与一致，课内是基础、课外是补充；后者是强调内容不易过难，让不同层次基础的学生，均得到应有的收获和提高.

使学生初步掌握竞赛整数论的主要内容，使学生能运用数论的思想和方法解决数学竞赛中的一般问题.有利于本科生在大学毕业后能够很快进入小学数学数论部分的教学角色及承担奥赛的培训工作.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.小学数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2012.

[2]王进明.初等数论.北京：人民教育出版社，2005.

[3]吴建平.奥赛教材.北京：首都师范大学出版社，2005.

[哈尔滨学院 （150086）]