例谈函数最值法在含参数不等式恒成立问题中的应用

刘长盛

含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是近几年高考的热点题型。这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，而转化为函数的最值问题是其中较易处理的一种情形。下面对几种常见的问题分类研究如下：

一、形如“？坌x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式

形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立问题中最基本的类型，它的等价转化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，则a≥

[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，则a≤[f（x）]max（x∈D）”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型中.

例题1（2012年陕西理科高考压轴题）

设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.

（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间 ，1内存在唯一的零点；

（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设xn是fn（x）在 ，1内的零点，判断数列x2，x3…xn…的增减性。

解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略

（Ⅱ）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，

对任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等价于f2（x1）-f2（x2）max≤4.

即f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4.

当- >1，即b>2时，M=f（1）-f（-1）=2b>4，与题设

矛盾.

当-1≤- ≤0，即0

当0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.

综上所述，-2≤b≤2.

二、形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式

形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”问题可转化为“a≤f（x）max”来

求解；

而形如“？埚x∈D，a≥f（x）恒成立”问题可转化为“a≥f（x）min”来求解。

例题2（2013年重点中学第一次联考）

设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.

若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.

解：由题意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于：

[g（x1）-（x2）]max≥M，∵g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.

由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1

[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故满足条件的最大整数M=4.

三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式

该类问题可转化为“f（x1）max-g（x2）min”来求解。

例题3（2013年重点中学联考模拟试题）

设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.

如果对任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求实数a的取值范围。

解：由题意，该问题可以转化为：在区间[ ，2]上，f（x）min≥

g（x）max，

由例题3可知，g（x）的最大值为g（2）=1，

∴f（x）min≥1，又f（1）=a，∴a≥1

下面证明当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.

∵当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，记h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，

可知函数h（x）在[ ，2）上递减，在区间[1，2]上递增，∴h（x）min=

h（1）=1，即h（x）≥1.

所以当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即对任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.

四、形如“？坌x1∈D，？埚x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式

该类问题可转化为“f（x1）max≤g（x2）min”来求解。

例题4（2013年南昌市高三文科第一次模拟题）

已知函数f（x）=ax2-blnx在点[1，f（1）]处的切线方程为y=3x-1.

（1）若f（x）在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，求实数k的取值范围；

（2）若对任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）试求实数c的取值范围。

解：（1）略

（2）设g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根据题意可知g（t）max≤

f（x）min .

由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），

当c≤1时，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上单调递增，g（t）min=g（1）= +ln2，满足g（t）min≤f（x）min；

当1

g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，

由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此时1+ ≤c<3.

当c≥3时，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上单调递减，g（t）min=

g（3）=- + +ln2.

g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.

综上，c的取值范围是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）

五、反馈训练题

1.对于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，则实数a的取值范围是__________。

2.若对任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，则实数x的取值范围是__________。

3.（2010年山东理科14题）若对任意x>0， ≤a恒成立，则a的取值范围是__________。

4.已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），对？坌x1∈[-1，2]，？埚x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数a的取值范围是（ ）

A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]

参考文献：

张文海.一類恒成立求参数范围问题的简解.中学数学研究，2013（1）.

（作者单位 江西省宜春市高安二中）