毫米波装甲目标辐射亮温解及隐身材料主要参数计算

汪先平，聂建英

(福州大学数学与计算机科学学院，福建福州 350116)

在毫米波辐射探测中，由目标天线口面温度反演目标的辐射亮温是被动探测中的重要研究内容［1］.BFGS算法具有非常好的数值稳定性［2－3］.为更好地研究分析毫米波涂层隐身材料的辐射特征，目前主要是通过毫米波辐射计口面定标，计算定标函数，来求隐身材料的反射率和发射率.本研究采用BFGS算法来控制解的稳定性，使用线性搜索方法找出最优步长和相应的搜索方向，反演出较为稳定的毫米波目标辐射亮温.并直接根据得到的反演解，给出计算涂层隐身材料反射率和发射率的一种简单方法.

1 建立天线温度模型

根据天线理论［4］，设辐射计的天线功率方向图为G(θ，φ)，那么天线的有效接受面积为:

当带宽Δf＜＜f2时，忽略大气损耗及天线旁瓣的作用，可得天线从辐射体接收的总功率为:

其中:1/2是假设辐射无极化，也即辐射电磁波的极化方向是随机的，且在不同方向上等概率分布，而天线是有极化的，因此天线仅能接受入射到其口面总功率的一半;TB(θ，φ)是天线附近所得物体的表观温度;k为玻尔兹曼常数.

假设用温度TA的电阻所辐射的能量来代替天线接收机的总能量，奈奎斯特证明，若温度为TR时，那么电阻R产生的噪声功率W=kTRΔf;取天线辐射电阻温度为TA=TR，则:

辐射计探测的天线扫描图如图1所示［1］，设天线具有锥形波束在某平面内扫描，场景为平坦的均匀表面，忽略大气的影响;探测目标相对于天线的极大辐射方向为γ，它与天波束中心轴的剖面上的夹角为θ，于是探测目标的亮温可认为仅与γ有关的量，可得到无损耗天线在任意指向α的归一化天线温度为:

图1 天线扫描图Fig.1 Antenna scanning

其中:F(θ)为归一化天线功率方向图［5］.

设辐射计天线扫描到装甲目标的有效面积AT的角度变化范围为［θ1，θ2］，装甲目标亮温为TT，则有:

式(5)是一个第一类Fredholm病态积分方程.要得到装甲目标的辐射亮温TT，也就要解积分方程(5)，现将此方程离散数值化.

令Iα=［θ1，θ2］，将Iα分n等分，则

对ΔTA分别在m个不同的时刻取值ΔTA1，ΔTA2，…，ΔTAm.对应的角度为α1，α2，…，αm，于是式(6)则变为

当αj=(jIα/n)(j=1，2，…，n)时，F为循环矩阵.那么式(7)可化为:

在式(8)两边同时左乘以FT，再令G=FTF且G为对称阵，A=FTΔTA，B=Δb，则

可知经离散化后的式(9)还是病态的.

2 天线温度模型分解及BFGS解析

考虑解的总误差函数:

令Hk+1=Hk+ΔHk，其中:ΔHk、Hk分别是校正矩阵和第k次方向矩阵;δk=Δbk+1－Δbk，yk=Δek+1－Δek.采用线性搜索法:Δbk+1=Δbk+akdk，根据BFGS算法，dk=－HkΔek，由于搜索方向在不断调整变化，即搜索方向的模不断在变化，所以每一步的Hk是变化的.

由文献［2］可知，

或者把式(10)写出如下等价形式:

其中:I为单位矩阵.

令H0=I为单位矩阵，选取初始值Δb0及任意大于0且充分小的ε.具体算法过程描述如下:

Step1:k从k=0开始，如果 ▽E(Δbk)=Δek≤ε，那么反演近似解就取Δb*=Δbk，转Step8.

Step2:计算 dk=－HkΔek.

Step4:计算 δk=Δbk+1－Δbk，yk=Δek+1－Δek.

Step5:计算▽E(Δbk+1)，若 ▽E(Δbk+1)=Δek+1≤ε成立，则Δb*=Δbk+1，转Step8.

Step6:计算第k+1次方向矩阵Hk+1

Step7:令k=k+1，再转Step2求ak.

Step8:end(输出Δb*)

3 装甲目标亮温的BFGS反演

以样机3 mm波段直流辐射计为例，测量时用浸泡在液氮中的“黑体”和常温下的“黑体”作为定标源，由当时天空温度和辐射计定标系数整理得出装甲目标的天线温度如表1所示.

取初始值 Δb0=(52，52，52)T，根据表1有ΔTA=(66，50，33)T，A=FTΔTA=(70.977 7，59.638 9，37.977 7)T，▽E(Δb0)=Δe0=A－GΔb0=(13.7985，－2.4844，－19.2015)T，此误差较大.计算:

表1 目标的天线温度Tab.1 Antenna temperature

可知，

根据算法可得:

由式(11)可知:

从而可得第二次的反演值:

上述可知，Δe1显然比Δe0小，Δe2比Δe1更小，则可推导:多次迭代后Δek+1会越趋近于0，由ε的任意性，所以可得到较稳定的Δbk+1，当 ▽E(Δbk+1)=Δek+1≤ε成立时，则Δb*=Δbk+1.如可取Δb2=(65.696 3，49.477 7，32.882 1)T中的平均值49.352 0 K.即目标亮温的反演解 ΔTT=49 K.因测试时天晴，取天空温度Ts=85 K，于是可得隐身坦克的辐射亮温为TT=134 K.

4 装甲涂层隐身材料的主要参数与探测距离计算

任何物体，在一定温度下都要辐射电磁波［4］，根据能量守恒定理，有:

归一化得:

由文献［4－6］辐射计探测距离公式:

其中:b为天线波形系数.设被天线扫描到装甲目标的有效辐射面积AT=20 m2，天线半功率波束宽度为4.8°时取b=400，及 ΔTA=50，ΔTT=49，于是求得R=61m.

5 结语

天线温度的积分表达式是一个病态的第一类Fredholm积分方程，为反演出尽可能真实的毫米波装甲目标亮温，关键要找到适当的方法解此积分方程.本研究尝试利用BFGS算法反演装甲目标辐射亮温，根据目标亮温计算出涂层隐身材料的反射率和发射率并给出距离公式.

［1］Holmes J T，Balanis C A，Truman W M.Application of fourier transforms for microwave radiometric inversions［J］.IEEE Trans Antennas Propagat，1975，23(6):797 －806.

［2］万仲平，费浦生.优化理论与方法［M］.武汉:武汉大学出版社，2004:62－70.

［3］席少霖.非线性最优化方法［M］.北京:高等教育出版社，1992:112－115.

［4］李兴国，李跃华.毫米波近感技术基础［M］.北京:北京理工大学出版社，2009.

［5］陈绍勇，郎量，张刚，等.装甲目标毫米波辐射测量的天线温度对比度研究［J］.弹箭与制导学报，2009，29(5):297－300.

［6］刁育才，左凤琴.毫米波技术及其军事应用［M］.北京:兵器工业出版社，1991.