教求有“度” 学方有“效”

☉江苏省赣榆县沙河中学 张庆华

教之道在于度，学之道在于悟.“度”就是教师基于对教材的钻研和理解，准确定位教学目标，恰当地进行引导.正如有的专家所言：“千重要，万重要，文本解读最重要.”而“悟”就是学生在教师的精心引导下，逐步感悟数学知识，体验数学思想方法，积累数学活动经验.因此，有效教学需要研究教材，把握教之“度”；也需要研究学生，引导学之“悟”.

一、研究教材，把握教之“度”

1．求深度──真金不怕红炉火，酒香不怕巷子深

教师教好数学的前提是理解数学要到位.如果自身数学理解不到位，不可能产生好课.所以研读教材的首要任务是理解所教的数学知识，对数学知识的钻研一定要有深度.“深度解读”主要可以从以下几方面入手：了解知识的背景，掌握知识的逻辑意义，理解知识的重点和难点、所反映的思想方法，懂得知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值资源，能区分核心知识和非核心知识等.

如在学习“抽样”这节课时，笔者从一个“生活的小插曲”引入.

妈妈：“孩子，再帮妈妈买鸡蛋去，这次注意点，上次你买的鸡蛋有好几个都是坏的.”

孩子高兴地跑回来.

孩子：“妈妈，这次的鸡蛋全是好的，每个都打开看过了.”

妈妈：“啊！…”

学生看后，都情不自禁地笑了.老师适时地引导：“这样的方法合适吗？”学生异口同声地回答：“不合适，因为这种方法带有破坏性.”记得当时课堂上的气氛很愉悦，学生的兴趣很浓厚.接下来，笔者又抛出一个问题：品尝一勺汤，就可以知道一锅汤的味道，你知道其中蕴含的道理吗？笔者适时地引导：学了今天这节课，同学们就能用数学的知识解释这个道理了.你还能举出生活中类似的例子吗？如：何老师要买葡萄，先怎样呢？此时，学生就能很快地回答：先摘一颗尝尝.学生也举出了类似的例子：某人为了解要买的西瓜甜不甜，在西瓜的某个部位划了一个三角口子取出来尝尝.

新课标提出“学生要能够体会数学与自然及人类社会的密切联系、了解数学的价值，增强对数学的理解和学好数学的信心.”浙教版数学教材提供了大量的问题情景素材，我们要学会选择学生身边的、生动有趣的、有利于学生探索的事物，创设鲜明的问题情景作为素材，以激发学生的兴趣.

2.求广度——问渠哪得清如许？为有源头活水来

如果说“深度解读”是在教材上挖一口井，那么“广度解读”就是在教材上开一条河.每一个具体的数学知识都是连接知识网络的颗颗明珠.解读教材时，我们不能孤立地看待各个数学知识点，而应把它放在知识系统中去解读，要明确其地位、作用和前后联系，善于引导学生连点成线，织线成网，形成数学知识的整体结构.同时，还要注意沟通数学各领域之间的关系以及数学与生活、数学与其他学科的联系.

如：“坐标平面内的图形变换”第二节课.教学例题：在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是-1，横坐标x的取值范围是1≤x≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用“（x，-1）（1≤x≤5）”表示，按照这样的规定，回答下面的问题：

（1）怎样表示线段CD上任意一点的坐标？

（2）把线段AB向上平移2.5个单位，作出所得像，像上任意一点的坐标怎样表示？

（3）把线段CD向左平移3个单位，作出所得像，像上任意一点的坐标怎样表示？

教学中笔者在例题中这种规定的基础上进一步拓广引申：射线AB上任意一点的坐标（其中A（1，-1）、B（7，-1））该如何表示呢？直线AB上任意一点的坐标又该怎样表示呢？线段AB上任意一点的坐标若表示为“（x，-1）（1＜x＜5）”，这条线段AB与例题中的线段AB有什么区别呢？

这样挖掘例题，符合有效教学的标准“教学要有价值”；也符合课堂教学中的理想提问“提问有阶梯性”.通过变式题，学生真正理解了这种表示法，突出了重点，分散了难点，形成了有效的课堂教学，教学有效果.在教学中，还可以对例题的结论开拓引申，使其更具开放性，对学生的思维可起到很大作用.如在几何教学中，教师可以这样引导：在这个结论的基础上，引申一下，图中的线段或角还有哪些相等关系？或还有哪些结论？笔者还经常对教材中的练习题和作业本中的题进行挖掘.特别地，对于一题多解，应在学生完成解题之后归纳学生的各种解法，比较并得出最优解.

3.求细度──旧书不厌百回读，熟读深思子自知

叶圣陶先生曾说过：“一字未宜忽，语语悟其神”.西方文学评论中也有“文本细读”法，所以解读教材还要注意教材的细度.细度解读，就是要反复钻研教材上的每一个例题，仔细推敲教材上的每一句话，每一幅主题图，认真体会每一道习题的设计.要从文字到标点，乃至一切细枝末节都进行思考，于细微处见精神.

如在教学“分式（1）”中课本的例2，学生要解决这题还真是不容易，更别说对结果中的代数式所表示的实际意义的理解了.于是，笔者把题目改为：

甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而行.如果乙提前1小时出发，

（1）已知甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，则甲追上乙需______小时.

（2）已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米（a＞b），则甲追上乙需______小时.

（3）在（2）中，若a=7，b=8时，（2）中的分式有意义吗？它所表示的实际情境是什么？

（4）在（2）中，若a=8，b=8时，（2）中的分式有意义吗？它所表示的实际情境是什么？

这样处理教材后，学生不难解决各个问题，同时能明了代数式在数学中的意义与在实际情境中的意义是有区别的，也就达到了讲解此例题的目的了.

建构主义认为：人的认识本质是主体的“构造”过程.所有的知识都是我们自己的认识活动的结果，我们通过自己的经验来构造自己的理解，反之，我们的经验又受到自己的认知的影响.

二、研究学生，彰显学之“效”

1.求适度——欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜

量与质的统一叫做度.在课堂教学中，同样存在着数量与质量是否统一，即教学是否适度的问题.研究适度教学，不仅仅是研究课堂容量的大小，也不仅仅是研究因材施教，而是要研究教学相长的结合点，并且要深入到课堂上各种状态的本质中去探讨和研究.要重点研究学生的知识状态和心理水平，了解学生的学习起点，分析教学重点和难点，选择适当的教学方式进行教学.

2.求角度──横看成岭侧成峰，远近高低各不同

在中学数学教学中，同一个教学领域，同一个教学内容，都可以根据学生的认知特点和数学知识的特点，从不同角度进行设计，但都要帮助学生更好地掌握数学知识和方法.

例如，在“一次函数”的教学中，为了让学生理解和掌握一次函数的解析式与它的图像之间的关系，并介绍待定系数法，教学时可把原题拓展，设计成有层次的题组.

个人问题：（1）已知一次函数的图像经过（-3，-5）和（2，5）两点，①求一次函数的关系式；②求该一次函数与两坐标轴的交点坐标；③作出该函数的图像.

同伴问题：（2）如图，根据函数的图像，求出函数的关系式.

小组问题：（3）如上题中一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△ABO的面积.

班级问题：（4）线段AB（包括端点A、B）上，横、纵坐标都是整数的点有几个？

根据学生的个体差异性，针对班级学生的实际情况，把课堂内容分为四个层次的问题，能充分发挥每个学生的智力潜能，体现了新课程的核心理念：一切为了每一个学生的发展.各个层次的学生都有收获，让学生在体验成功中激发进取精神，可以起到以点带面的效果，形成一个人人参与、同伴互助的良好学习氛围，从而获得更大的教学效益.

3.求效度──等闲识得东风面，万紫千红总是春

效度即有效性，教学效度就是教师的教与学生的学之间所能达到的有效程度.它是指教师的教学设计和教学方法能够帮助学生掌握基本知识，形成基本技能，积累基本经验，体会基本思想方法.教学效度特指通过教学所获得的实际结果能反映所要教学内容的程度，教学结果与学生掌握知识的程度越吻合，则教学效度越高；反之，则教学效度越低.

如教学“二元一次方程组的应用”，通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300克；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%，矿物质含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物含量占85%.根据上述数据回答下面的问题：（1）分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比；（2）…

由于该应用题信息量大，所求量有4个，给学生的第一感觉是有些棘手，找不到问题解决的切入口.备课时主要考虑指导学生用“圈点划”审题，用简略的数学语言表示等量关系和如何设元，紧紧围绕问题建构框架.

问题1：用简略的数学语言表示等量关系：

（1）蛋+碳+脂+矿=300；（此等量关系在教师点拨下完成，以下式子由学生讨论完成）

（3）矿=2×脂；

问题2：你能根据哪条信息进行恰当的设元和求解？

生1：设蛋为x克，脂为y克，由（1）、（3）、（4）组合，得x+300×85%-x+y+2y=300.

生3：这不是同一种想法吗？只是列方程和列方程组形式不同而已.

师肯定了生2回答的正确性，并借生3的话语指出，多种方法的前提应该是多种角度选择，而非仅仅是形式不同.

生4：只需设脂为x克即可，由（3）、（4）′组合，得x+2x=300×15%.

学生见到如此简便的方法，掌声骤然响起.

这样给出框架式的教学环节设计，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，不同的选择或演变等量关系凸显不同的精彩生成，是主动建构而不是被动的机械过程，打破了传统教应用题的说教模式，注重学生的主体地位和课堂开放，使学生的旧知在教师的引导下得到了升华，预设目标就这样在生成中添入了灵活、创新的成分，提升了水平，实现了超越！