直觉模糊集新的熵公式及应用

吴 涛，白礼虎，刘二宝，孙小慧

1.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601

2.安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室，合肥 230039

直觉模糊集新的熵公式及应用

吴 涛1，2，白礼虎1，刘二宝1，孙小慧1

1.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601

2.安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室，合肥 230039

1 引言

Zadeh[1-2]于1965年首次提出模糊集理论，又于1968年提出了模糊熵的概念。随后De Luca和Termini[3]给出了在有限论域上模糊集熵的公理化定义。随着模糊集的广泛应用，Atanassov[4]对传统的模糊集进行了拓展，提出了直觉模糊集的概念。Gau和Buehrer[5]又提出了Vague集的概念，这两个概念在本质上是相同的。

Burillo P和Bustince H[6]最早引入了直觉模糊熵的概念，用来描述一个直觉模糊集的模糊程度。在此定义中，直觉模糊集的熵主要取决于不确定性的大小，又称为“不确定性熵”，然而这个熵的定义与模糊集的熵之间不具有相容性。之后Eulalia Szmidt和Janusz Kacprzyk[7]提出了直觉模糊熵的新的公理化定义，在此定义中当直觉模糊集退化为模糊集时，满足模糊集熵的公理化定义，但该直觉模糊集的熵主要取决于模糊性，不确定性考虑不足。

吕印超，郭嗣琮[8-9]分析了上面两种定义的不足，指出直觉模糊熵应同时反映模糊性和不确定性这两方面的影响，并给出了新的修改后的公理化定义，探究出了直觉模糊熵的一般形式，讨论了模糊熵与测度之间的关系。然而，这个公理化定义仍然存在不足，在实际应用中出现失效甚至是矛盾的情况。另有学者范平[10]也考虑了这两方面的影响同时提出了交叉模糊熵的概念。近年来，又有学者[11-12]研究了加权直觉模糊熵以及模糊熵的计算公式及其应用。

本文从文献[8]中的公理化定义出发，用实例给出了其在应用中出现的问题，接着给出了新的修正后的直觉模糊集的熵的公理化定义，分析了修改的合理性，然后给出了基于新的公理化定义的直觉模糊熵的一个具体的计算公式，并对其进行了证明，最后给出了一个决策算法和应用实例。

本文中，记P(X)、F(X)、IFS(X)分别为论域X上分明集的全体、模糊集的全体、直觉模糊集的全体。

2 基本概念

定义2.1[4]（直觉模糊集）设 X是一非空集合，称 A= {＜x，uA(x)，vA(x)＞|xX}为X上的直觉模糊集，其中uA(x)[0，1]，vA(x)[0，1]分别为 X中元素x属于A的隶属度和非隶属度，且满足条件0≤uA(x)+vA(x)≤1，∀x∈X。

在上述定义中，若∀x∈X，都有uA(x)+vA(x)=1，则直觉模糊集退化为模糊集。对于给定的 x∈X，称πA(x)= 1-uA(x)-vA(x)为元素x属于A的犹豫度或不确定度。记：

于是有πA(x)=1-hA(x)；若A是经典集合，则有| | sA(x)=1。

X中x属于A的隶属度和非隶属度所组成的有序数对α=＜uA(x)，vA(x)＞称为直觉模糊数。记：

为其得分函数。因此，可以将X上的直觉模糊集看作是直觉模糊数的集合。

定义2.2[8]（模糊度）称：

为x在A中的模糊度。

在直觉模糊集中，隶属度和非隶属度从不同侧面反映了集合元素的模糊性，而犹豫度反映了集合元素的不确定性。因而，直觉模糊集的熵应该综合反映模糊性和不确定性这两个方面的性质。在不确定性相同的情况下，若模糊性越大，则直觉模糊集的熵也越大，反之也成立。

3 直觉模糊集熵的公理化定义

Burillo P和Bustince H在文献[6]中给出了直觉模糊集的熵的公理化定义。Eulalia Szmidt和Janusz Kacprzyk在文献[7]中提出了直觉模糊熵的新的公理化定义。吕印超，郭嗣琮在上述定义的基础上，综合不确定性和模糊性两方面的因素，在文献[8]中提出了一个新的公理化定义。

定义3.1 ∀A，B∈IFS(X)，隶属函数分别为uA(x)和uB(x)，非隶属函数分别为vA(x)和vB(x)，犹豫度分别为πA(x)和πB(x)。称实函数 E:IFS(X)→R+为 IFS(X)上的熵，如果E满足下列条件：

在文献中对条件（P3）做了说明，条件（P3）等价于，∀x∈X 若 πA(x)=πB(x)且 fA(x)≤fB(x)则 E(A)≤E(B)；若fA(x)=fB(x)且πA(x)≤πB(x)，则E(A)≤E(B)。

即当不确定性相同时，直觉模糊集熵的大小取决于模糊性；当模糊性相同时，直觉模糊集熵的大小取决于不确定性。

但是定义3.1在某些情况下会失效甚至出现矛盾的结果。请看下面一个例子。

例1设X={ }

x1，x2，在 X上有直觉模糊集：

则由定义3.1的（P2），若∀x∈X有隶属度和非隶属度相等，则熵就等于1。如此E(A)=E(B)=1。又 fA(x1)=fB(x1)，πB(x2)=0.2＜0.4=πA(x2)。

此时有两个完全不同且矛盾的结果。

由上例分析可得，定义3.1中的条件是有问题的，需要进一步改进。根据分析可以提出如下新的公理化定义。

定义3.2设∀A，B∈IFS(X)，隶属函数分别为uA(x)和uB(x)，非隶属函数分别为vA(x)和vB(x)，犹豫度分别为πA(x)和πB(x)。称实函数 E:IFS(X)→R+为 IFS(X)上的熵，如果E满足下列条件：

在上述定义中，修正了熵值取最大值的条件，即当隶属度和非隶属度相等且都为0。由于直觉模糊集的熵的大小取决于两个方面的影响：模糊性和不确定性。模糊性越大，熵越大；不确定性越大，熵也越大，故当模糊性和不确定性都最大的时候才能取到最大值。当隶属度和非隶属度相等时，此时模糊性最大，进一步，若隶属度和非隶属度都相等且为0，此时不但模糊性最大，而且不确定性也最大，故而能取到熵的最大值。上述定义能很好地解决例1中的冲突。

例2设 A是有限论域 X={x1，x2，…，xn}上的直觉模糊集，Eulalia Szmidt和Janusz Kacprzyk在文献[7]中构造的直觉模糊集的熵为：

式（3）在计算例2的情况时，会失效。此时有E(A)=E(B)=1，显然不符合。基于此，可以提出如下的计算公式。

则E(A)是直觉模糊集A的模糊熵。

接下来用公式（4）再来处理例1中的情况：

比较结果有E(A)＞E(B)，完全满足定义3.2中的条件（Q3），即模糊性相同的情况下，不确定性越大熵越大。

特别地，对于直觉模糊数 α=＜uA(x)，vA(x)＞，其模糊熵为：

相应地对于公式（3），其直觉模糊数的熵为：

在式（6）中1-|uA(xi)-vA(xi)|=fA(xi)代表模糊度的大小，πA(xi)代表犹豫度的大小，且随着 fA(xi)和πA(xi)的增大，模糊熵也在增大。故上式综合考虑了模糊性和不确定性，而且计算起来更简单有效。可以将式（4）做进一步的加权推广，对模糊度和犹豫度进行加权。设w1+w2=1，0≤w1≤1，0≤w2≤1则有：

若论域 X是连续有界的，在[a，b]上存在直觉模糊集

4 基于直觉模糊数的熵的多属性决策算法

步骤1对给出的直觉模糊集 Ai={＜ej，uAi(ej)，vAi(ej)＞| ej∈e}列出决策矩阵=(aij)n×m，其中aij表示第i个方案的第 j个属性对应的直觉模糊数。

步骤2由公式（5），计算出直觉模糊数的熵，得出直觉模糊数的熵矩阵E=(eij)n×m。

步骤3将直觉模糊数的熵矩阵每行进行归一化，得到归一化矩阵=，则即为第i个方案的第 j个属性的权重，记为

步骤4计算出综合直觉模糊数

步骤5由式（1）计算出得分函数值 L(αi)，i=1，2，…，n根据计算出的得分函数值进行排序，L(αi)越大则对应的Ai方案越优。

5 实例分析

某房地产投资公司欲投资新建一处高端写字楼，通过行业分析需考虑如下四个决策因素：区位因素(e1)，交通因素(e2)，资金因素(e3)，政策因素(e4)，假设对A1，A2，A3，A4各因素经统计后得到如下的直觉模糊数矩阵，如下所示：

将得分值排序：

方案A3为最优。

若将上述计算直觉模糊数的熵公式换为式（6），得到相应的得分值为：

将得分值排序：

得出最优方案为A3。

比较两种公式的计算结果，发现其具有较好的一致性，但是运用公式（5）得出的计算结果区分度更加明显，计算过程也更为简单，因而本文提供的计算公式也更为有效。

6 结束语

当前直觉模糊集的熵的公理化定义，在处理某些特殊情况时，存在一定失误。本文在充分考虑不确定性和模糊性的基础上，修正了公理化定义并给出了一个直觉模糊熵的新的计算公式，很好地解决了这一问题。最后通过应用此新的计算公式，给出了一种关于直觉模糊集的多属性决策的有效解决方案。

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965，8（3）：338-353.

[2]Zadeh L A.Probability measures of fuzzy events[J].Journal of Mathematic Analysis and Applications，1968，23：421-427.

[3]De Luca A，Termini S.A definition of a nonprobabilistic entropy in the setting of fuzzy set theory[J].Inform and Control，1972，20：301-312.

[4]Atanassov K.Intuitional fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20：87-96.

[5]Gau W L，Buehrer D J.Vague sets[J].IEEE Trans on SMC，1993，23（2）：610-614.

[6]Butillo P，Bustince H.Entropy on intuitionistic fuzzy sets and on interval-valued fuzzy sets[J].Fuzzy Setsand Systems，1996，78（3）：305-316.

[7]Eulalia S，Kacprzyk J.Entropy for intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems，2001，118（3）：467-477.

[8]吕印超，郭嗣琮.直觉模糊集的熵及其一般形式[J].计算机工程与应用，2011，47（28）：52-55.

[9]吕印超，郭嗣琮.模糊熵、距离测度和相似性测度之间的关系[J].计算机工程与应用，2012，48（2）：36-38.

[10]范平.关于Vague集模糊熵的度量分析[J].计算机工程与应用，2012，48（1）：57-59.

[11]高志海，魏翠萍.一种区间直觉模糊熵公式及其应用[J].计算机工程与应用，2012，48（2）：53-55.

[12]吴成茂.一种加权直觉模糊熵分割法[J].计算机工程与应用，2011，47（34）：178-180.

WU Tao1，2,BAI Lihu1,LIU Erbao1,SUN Xiaohui1

1.School of Mathematical Science,Anhui University,Hefei 230601,China
2.Key Laboratory of Intelligent Computing&Signal Processing of Ministry of Education,Anhui University,Hefei 230039,China

With regard to the existing problems of axiomatic definition of entropy of intuitionistic fuzzy sets,a new revised axiomatic definition is given,then a new formula of entropy of intuitionistic fuzzy sets is proposed and proved.A multiple attribute decision making approach based on the entropy of intuitionistic fuzzy number is given,the effectiveness and rationality are verified by a practical example.

axiom definition;fuzziness;uncertainty;intuitionistic fuzzy set;entropy

针对直觉模糊集的熵的公理化定义中存在的问题，修正了直觉模糊熵的公理化定义，给出了一个新的直觉模糊集的熵的计算公式，证明了其正确性。给出了一个基于直觉模糊数的熵的多属性决策算法，应用实例表明其合理性和有效性。

公理化定义；模糊性；不确定性；直觉模糊集；熵

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1204-0692

WU Tao,BAI Lihu,LIU Erbao,et al.New entropy formula of intuitionistic fuzzy sets and its application.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：48-51.

国家自然科学基金（No.61073117）。

吴涛（1970—），男，博士，教授，主要研究方向：模糊决策、粒度计算；白礼虎（1986—），男，硕士研究生，主要研究方向：模糊决策和统计分析。E-mail：bailihu1117@163.com

2012-05-07

2012-07-09

1002-8331（2013）23-0048-04

CNKI出版日期：2012-08-01 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120801.1652.019.html

◎网络、通信、安全◎