数学的开放性问题

苏尼来

（赤峰学院，内蒙古赤峰024000）

数学的开放性问题

苏尼来

（赤峰学院，内蒙古赤峰024000）

本文就如何转变观念，形成开放意识，以及在解决开放性问题中的条件开放性、结论开放性、方法开放性等问题时如何正确灵活的运用数学思想提出了一些看法.

开放性；思想方法；灵活；开放意识；创新精神；创造能力

1977年，日本国立研究所数学教育学者小组以岛田茂为首的学者在《算术数学课的开放式问题——改善教学的新方案》报告文集中首先提出“数学开放题”这个名词，并提出了“数学开放教学方法”，在不断的研究和探索中，开放题已进入日本的数学课本，并已占一定的比例.开放题作为研究“问题解决”热潮中的产物，在美国中小学数学教学中已被普遍地使用.美国加利福尼亚州教育部于1989年专门指出了开放性问题的五大功能，其中谈到开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份.80年代以来，数学开放题被介绍到中国，90年代出现在教材中并进行教学中的试验，近年来已逐渐成为我国数学教学改革的一个热点.《新课标》中明确指出高中数学在数学应用和联系实际方面需大力加强，教师应创设适当的“问题情境”，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程.“以问题为中心，以学生为中心”是新课程倡导的核心理念.然而，当前受考试文化的影响有些人对开放题的认识还存在着一定的误区，认为开放题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率较低，在教学中易受课时的制约，在课堂上常常出现学生的思维在低层次上重复，不易进行深入的研究，因此不太重视开放性题目的教学，还是以死记硬背代替参与，以机械方法代替智力活动，大大抹杀了学生的创新能力.作者认为在开放题教学中如果能正确运用数学思想方法，让学生以知识的主动发现者的身份出现，在研究过程中通过综合运用、重组以学的知识，有助于培养学生的优化意识，可以在解题能力、扩大知识面等方面得到提高.

近年来，数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革亮点，已日益引起我国教育阶的注意，逐渐成为数学教学改革的一个热点，也已成为高考命题的一个新方向.开放题有利于学生根据自己的认知结构对问题作出解释，实现对知识的主动建构，获得认知结构的改造和重组.由于数学开放题强调了学生解题的过程，体现了学生在教学活动中的真正主体地位，从而极大地提高了学生的学习积极性，是克服“灌输式”教学倾向的解药.其解法灵活且具有一定的探究性，开放性问题立意于培养和考查学生的思维品质和创造性分析问题和解决问题的能力，即综合考查学生的数学素质，是一种考查学生归纳推理能力、直觉思维能力和创新意识的题型.其内容可涉及数学的各个方面，无法套用一个统一的解题模式，因此，在求解开放性问题时，正确运用数学思想方法来突破难点就显得格外重要.

1 转变观念，形成开放意识

学习的目的是为了使自然人过渡到社会人，使社会人更好地服务于社会.由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力.用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案.我国教育部基础教育司明确指出：“课程是一个历史范畴，课程目标、课程结构、课程内容都将随着时代的发展而变革.”“教科书”应体现科学性、基础性和开放性.因此首先必须改变那种被动的、封闭的教学意识.

当技术的发展已使社会数学化，数学的应用已渗透到开放社会的各个方面的时候，数学不能仅仅理解为一门演绎科学，数学还有其更重要的一面，即它是一门非逻辑的、生动的、有丰富创造力的科学.开放题的引入顺应开放化社会的需求，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力.

2 解开放性问题的方法指导

开放性问题是指给出了问题的条件，但未给出问题的结论，或问题的结论不确定，而需要解答者探求问题的结论这样一种形式的题目.与条件完备、结论明确、答案唯一的封闭性问题相比，开放问题的入口宽、解法活、形式新.

2.1 条件开放性问题

传统的答题模式多数是条件与结论对应的定式训练，解题时不必考虑条件的由来.然而现实生活中人们得到的信息对于某个具体问题而言绝大多数是不确定的，还可能有一些是未知的，必须善于从大量信息中筛选出有用的信息.

条件开放性问题是指问题的结论明确，而条件不明确或不足，且需要完备使结论成立的充分条件.解这类问题，一般是模仿分析法，将题设和结论视为已知条件，倒退分析，执果索因，导出所需的条件.

例1已知二次函数f(x)的首项系数为负数，对于任意实数x，都有

f(2-x)=f(2+x).

试问：当f(1-2x2)与f(1+2x-x2)满足什么条件时，才有-2＜x＜0？

解由于结论是关于x的不等式，故猜想f(1-2x2)与f (1+2x-x2)应满足不等关系.

由f(x)的二次项系数为负数及f(2-x)=f(2+x)知，抛物线的开口向下且关于直线x=2对称，于是f(x)在(-∞,2]上单调递增，在[2,+∞)上单调递减.

又1-2x2≤1，1+2x-x2=2-(x-1)2≤2，故需讨论1-2x2与1+2x-x2的大小.

因为(1-2x-x2)-(1-2x2)=x(x+2)，

所以，当x(x+2)＜0，即-2＜x＜0时，1-2x2＞1+2x-x2.

故当f(1-2x2)＞f(1+2x-x2)时，才有-2＜x＜0.

解答条件开放性问题的一般思路是：把产生结论的条件一一分析列出，分别加以探究，也可用分析法寻找条件.由目标“-2＜x＜0”导出f(1-2x2)与f(1+2x-x2)所满足的是不等关系，这一猜想是解答本题的突破口，想到利用函数单调性是关键.

例2设函数f(x)=sin2x，若f(x+1)是偶函数，则t的一个可能值是_____.

解因为f(x+t)=sin2(x+t)=sin(2x+2t)且f(x+t)是偶函数.

所以f(x+t)=f(-x+t)

即sin(2x+2t)=sin(-2x+2t).

由此可得2x+2t=-2x+2t+2kπ

或2x+2t=π-(-2x+2t)+2kπ(k∈Z)

在“执果索因”的过程中，要学会正确使用连接有关步骤的关键词，如：“欲证”，“只需证”，“即证”.还要考虑推理过程的可逆性，不要将充分条件当做必要条件.

2.2 结论开放性问题

结论开放性问题是指结论不确定、不唯一，或需要通过类比、引申、推广，或需要通过特例归纳.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.这类问题主要有存在性问题、归纳性问题和讨论性问题.

2.2.1 存在性问题

存在性问题在数学命题中以适合某种性质的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出现.“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象.对于这类问题无论用什么方法，只要找到一个即可.“不存在”一般需要推理论证，常用反证法.“是否存在”结论有两种可能：若存在，则需要找出来；若不存在，需要说明理由.解答这类问题，一般先承认结论，变结论为条件，然后或有特例归纳，或由演绎推理说明合理性.

例3设等比数列{an}的公比为q，前n项和为sn，是否存在常数c，使数列{sn+c}也成等比数列？若存在，求出常数c；若不存在，请说明理由.

解存在性问题一般是从假设存在入手，逐步深化解题的进程.

设存在常数c，使数列{sn+c}成等比数列.

因为(sn+c)(sn+1+c)=(sn+1+c)2

所以sn·sn+2-s2n+1=c(2sn+1-sn-sn+2)

（i）当q=1时，sn=na1代入上式得

a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca1[a(n+1)-n-(n+2)]得a12=0

但a1≠0，于是不存在常数c，使{sn+c}成等比数列.（ii）当q≠1时代入上式得

等比数列n项求和公式中公比的分类，极易疏忽公比q=1的情形，且不要忽视.

存在性问题的解题思路是先假定“存在”，若经推证无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论为“不存在”.分析法或反证法是解这类题常采用的证明方法.

2.2.2 归纳性问题

归纳性问题是指对于只给出问题对象的一些特殊关系，需要解题者探求一般规律的一类问题.解决这类问题常常从最简单、最特殊的情况出发，推测结论的各种可能性，或者找到一般规律，然后加以证明.若有参数，可以先用待定系数法确定参数，再加以论证.若命题与自然数有关，可以具体考虑前几个自然数的情况，通过比较、观察、归纳、猜想得出结论，再用数学归纳法证明.

（2）在仔细观察、分析和探究的基础上，由（1）题可猜测出怎样的一般结论？并证明你的猜测.

②设n=k(k≥1，k∈N*)时命题（a）成立，即

当n=k+1时，因为

即当n=k+1时，命题（a）仍成立.

综合①、②可知，命题（a）对于一切正整数n都成立，所以猜测是正确的.

在解决有关自然数n的命题P(n)时，先求出P(1),P(2), P (3)等几个特殊情况，从中探究一般性规律，并猜测一般情况下的结论，再用数学归纳法（或其他方法）加以证明，这是归纳猜测型问题中常用的方法.

2.2.3 讨论性问题

讨论性问题，应全面考察问题的各个方面，做到既不遗漏也不重复.

例5已知a∈R，试确定方程|z-1|-|z+1|=2a在复数平面上所表示的点集.

解根据复数的几何意义，|z-1|-|z+1|表示复数z的对应点与点A(1,0)及B(-1,0)两点距离之差.考虑到|AB|=|1-(-1)|=2.

①当0＜a＜1时，点集表示以A(1,0)、B(-1,0)为焦点，实轴长为2a的双曲线在y轴左侧的一支；

②当-1＜a＜0时，点集表示以A(1,0)、B(-1,0)为焦点，实轴长为2a的双曲线在y轴右侧的一支；

③当a=1时，点集表示射线y=0(x≤-1)；

④当a=-1时，点集表示射线y=0(x≥1)；

⑤当a=0时，由|z-1|=|z+1|，点集是线段AB的垂直平分线，即y轴；

⑥当a＞1或a＜-1时，由2|a|＞2，点集为空集.

正确的分类是解决这类题的关键，分类的原则是不重复不遗漏，只有按照同一个标准去分类，才能做到不重复不遗漏.另外还要考虑到分类对所研究问题结论的影响，当一次分类不能达到目的时，还要考虑进行多次分类.

2.3 方法开放性问题

方法开放性问题是开放性问题中最重要的，这是体现数学本质的东西，也是思维训练的主干道.没有固定的解题模式，通常运用观察、类比、联想、模拟等方法在条件和结论之间创造某种超常规的途径和方法探求解题思路，成功后再给出严格的论证.例6已知函数，那么

本题的关键在于在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规律，从而解决问题.

例7设函数f(x)的定义域是R，对任意x，y∈R有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且存在，试问f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，说明理由.

分析：注意到所给条件中的结构特征，联想到三角函数中的一个等式：

函数，它的一个周期是2c.

下面给出证明：

所以2c是f(x)的一个周期.

无论解决哪种开放性问题，都要采用“挖掘隐含条件”、“活用数形结合”、“等价交换命题”等常用手段来启迪思路.

开放题教学的作用：一是激发学生学习兴趣，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性.二是引导学生多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，真正实现学生主动参与.三是解答时不但要综合运用、重组已学的知识，而且时常需考虑解决问题的策略，能够在解题能力，扩大知识面等多方面得到提高.

数学开放题不应该排斥传统教学，它是传统教学的一种补充.解决问题时我们应具有开放的意识.遇到一类问题应该首先考虑它属于什么类型，应该运用什么方法.如果运用常规方法有困难或行不通，我们可以换一个角度，从不同的思维方式对问题进行探索，这样才有利于高层次思维的发展.正确运用数学思想、灵活应用解题技巧，还要特别注重解题后的自我反馈和自我小结，发现习题中潜在的知识信息，去联想、归纳、类比，以寻找知识间的联系，巩固和发展教学思想方法和处理技巧，培养独立思维与创造思维能力，在实践中逐步摸索经验，才能真正有效地体现数学开放题的教育价值，调动学生的积极性和主动性，深切领会数学的实质，形成正确的数学观念和数学意识，进一步掌握数学的灵魂——思想方法，使数学才能得到最大限度的发挥，为今后的学习以及用数学的思想方法、思维方式来解决实际问题做准备.

〔1〕吴长江.高中数学开放性问题.上海大学出版社，2002. 56-70.

〔2〕戴再平.数学开放题.中学数学教学参考，1993（12）：112—117．

〔3〕沈翔.数学新题研究.华东师范大学出版社，2003.76-81．

〔4〕张同语.浅探数学开放题的教学.教学纵横，2002.41-42．

〔5〕赵迎春.数学开放性教学的探究与实践.中学数学研究，2004（4）：8-11．

G633.6

A

1673-260X（2013）07-0009-03