区间直觉模糊连续交叉熵及其多属性决策方法

李香英

山东青年政治学院 信息工程学院，济南 250014

区间直觉模糊连续交叉熵及其多属性决策方法

李香英

山东青年政治学院 信息工程学院，济南 250014

1 引言

多属性决策[1-2]广泛存在于社会、经济、管理等领域，已经成为涉及数学、经济学、管理科学和决策科学等多门学科研究的共同课题，其实质是指在合理地处理决策问题时，用以在一组备选方案中选择和确定最优方案的一套理论、方法和程序等。

由Zadeh[3]于1965年提出模糊集（FS）以来，模糊集理论现已成功地应用于各个领域。然而传统的模糊集因其不能完整地刻画所研究问题的信息，因此，Atanassov[4]引入了直觉模糊集（IFS）的概念。由于直觉模糊集同时考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度三个方面的信息，因此它广泛地应用于处理模糊性和不确定性等方面的问题。由于客观世界的复杂性和不确定性，以及人们思维能力和知识水平的局限性，用于表达决策信息的形式不仅仅只是确定数，而经常以区间数的形式进行描述。于是，Atanassov[5]在直觉模糊集和区间模糊集的基础上，进一步引入了区间直觉模糊集（IVIFS）。在区间直觉模糊集中，隶属度和非隶属度不再是确定的数，而是区间数。

交叉熵是模糊集理论中的一个重要的课题，它是度量两个系统间差异程度的重要工具。Shannon[6]首先在信息论中引入了交叉熵。Kullback和Leibler[7]提出了一种交叉熵距离，用于度量两个概率分布间的距离。Shang和Jiang[8]提出了模糊交叉熵，用于度量模糊集间的差异。Vlachos和Sergiadis[9]引入了直觉模糊交叉熵的概念，并且将其应用于模式识别、医疗诊断和图像分割中。Ye[10]提出了一种基于直觉模糊交叉熵的多属性模糊决策方法。文献[11]类比于直觉模糊交叉熵，引入了区间直觉模糊交叉熵的概念。目前，在区间直觉模糊环境下，有关交叉熵的研究很少。因此，本文基于连续有序加权平均（COWA）算子[12]，定义了一种新的区间直觉模糊交叉熵，并且提出了一种基于区间直觉模糊连续交叉熵的多属性决策方法。其中，在属性权重信息不完全可知和属性权重信息完全未知的情况下，分别给出了属性权重的确定方法。

2 预备知识

定义2.1[5]设X为一个非空集合，D[0，1]表示区间[0，1]上的所有闭子区间构成的集合，则称

为X上的区间直觉模糊集（IVIFS）。其中：

满足以下条件：

其中，μΑ(x)和νΑ(x)分别表示集合X中的元素x属于Α的隶属度和非隶属度。

定义2.2[12]设Q为基本单位区间单调BUM函数，即Q:[0，1]→[0，1]，Q(0)=0，Q(1)=1，并且Q(y)为单调函数。令Ω为非负区间数集，a=[a-，a+]∈Ω，F:Ω→R+。若

则称F为连续有序加权平均（COWA）算子。

因此，FQ([a-，a+])是区间[a-，a+]的端点加权平均。当λ=0时，FQ(a)=a-；当λ=1时，FQ(a)=a+。于是，决测者可以根据其对决测结果所持的态度取不同的BUM函数Q(y)。

3 区间直觉模糊连续交叉熵和连续交叉熵距离

如何度量两个区间直觉模糊数间的距离是模糊集理论中的一个重要课题。由于两个系统间的差异性可以通过它们之间的交叉熵进行度量，人们就借用信息论中的交叉熵来定义两个系统间的距离。

对于论域X={x1，x2，…，xn}上的两个模糊集M={M(x1)，M(x2)，…，M(xn)}和N={N(x1)，N(x2)，…，N(xn)}，Shang等[8]提出了一种新的模糊交叉熵的确定方法：

对于论域X={x1，x2，…，xn}上的两个直觉模糊集Α和B，Vlachos和Sergiadis[9]定义了一种直觉模糊交叉熵：

定义3.1 设为两个区间直觉模糊数为COWA算子，则称为间的区间直觉模糊连续交叉熵，其中：

然而，间的区间直觉模糊连续交叉熵不满足对称性，则定义如下距离：

定义3.2设为两个区间直觉模糊数，则称

为间的连续交叉熵距离。

由定义2.2知，连续交叉熵距离是态度参数λ的函数，因此，决策者可以根据其偏好而选择不同的参数λ，进而确定区间直觉模糊数间的连续交叉熵距离。

命题3.1 设α，β∈Ω为两个区间直觉模糊数，α=间的连续交叉熵距离满足以下性质：

4 基于区间直觉模糊连续交叉熵的多属性决策方法

随着社会经济的迅速发展，信息的剧增，现实世界的各种决策问题比以前更加复杂、模糊和不确定，具体表现为决策信息是区间数、直觉模糊数及区间直觉模糊数等形式。本章给出了在区间直觉模糊环境下确定属性权重的方法，并且提出了一种基于连续交叉熵距离和相对贴近度的多属性决策方法。

设X={X1，X2,…,Xm}为备选方案集，C={C1,C2,…,Cn}为属性集。D=为专家们提供的区间直觉模糊决策矩阵，其中为备选方案Xi在属性Cj下的属性值，且假设属性权重向量为W=

4.1 基于区间直觉模糊连续交叉熵的属性权重确定方法

在属性Cj下，备选方案Xi与其他所有备选方案间的平均连续交叉熵为：

则在属性Cj下，所有备选方案Xi(i=1，2，…，m)与其他所有备选方案间的综合平均连续交叉熵为：

在决策过程中，所有方案在某一属性下的属性值差异越小，那么这个属性提供给决策者的信息量就很少，在决策过程中的重要性就越低，则应该赋予这个属性的权重就越小。反之，若所有方案在某一属性下的属性值有明显的差异，那么这个属性在选择最优方案的过程中重要性就越高，因此应赋予其大的权重。

若决策者对属性Cj，j=1，2，…，n的权重wj的信息完全未知，则可通过以下方法确定权重wj：

若决策者仅仅知道属性Cj，j=1，2，…，n的权重wj的部分信息H，为了得到最优的权重向量，则可建立以下模型确定权重wj：

4.2 区间直觉模糊连续交叉熵的多属性决策方法

本节运用ΤOPSIS的思想[13]，基于区间直觉模糊连续交叉熵，提出一种新的区间直觉模糊多属性决策方法，具体步骤如下：

步骤1根据专家们提供的区间直觉模糊决策矩阵D=，利用公式（10）或模型（11），计算属性权重向量W=(w1，w2，…，wn)。

步骤2构造正理想方案X+和负理想方案X-如下：

运用公式（7）分别计算备选方案Xi(i=1，2，…，m)与正理想方案X+和负理想方案X-的距离如下：

步骤3计算各备选方案Xi(i=1，2，…，m)与理想方案的相对贴近度Ri：

步骤4将相对贴近度R1，R2，…，Rm按降序进行排列，则最大的相对贴近度所对应的方案为最优方案。

5 实例分析

利用本文提出的新的决策方法对实例进行分析。由式（7）可知，当态度参数λ取不同的值时，可以得到不同的连续交叉熵距离。本例取态度参数λ=0.5时的连续交叉熵距离对实例进行分析。

假设某一投资公司将选择一个项目进行投资，总共有以下四个项目可以考虑：（1）X1为一个汽车公司；（2）X2为一个电脑公司；（3）X3为一个军火生产商；（4）X4为一个食品公司。该投资公司需要考虑下面三个方面并作出选择：（1）C1风险分析；（2）C2发展前途；（3）C3社会环境压力分析。专家们根据已知信息提供了表1所示的区间直觉模糊决策矩阵[14]。运用本文提出的区间直觉模糊连续交叉熵的多属性决策方法选择最优的投资项目。

表1 区间直觉模糊决策矩阵

步骤1运用公式（10）计算属性权重，得到属性权重向量为：W=(0.421 3，0.084 4，0.494 3)。

步骤2构造正理想方案X+和负理想方案X-：

运用公式（12）和公式（13）计算四个项目方案Xi(i=1， 2，3，4)分别与正理想方案X+和负理想方案X-的距离和，结果如下：

步骤3根据公式（14）计算四个项目与理想方案的相对贴近度：

步骤4根据相对交叉熵对四个备选项目进行排序：X2≻X3≻X4≻X1，因此最优的投资项目为X2，这与文献[14]的结果是一致的。

6 结论

自从Atanassov引入区间直觉模糊集的概念以来，对区间直觉模糊交叉熵理论的研究相对较少。本文在区间直觉模糊交叉熵的基础上，结合COWA算子，定义了一种新的区间直觉模糊交叉熵，即区间直觉模糊连续交叉熵，并且进一步提出了两个区间直觉模糊数间的连续交叉熵距离，其优点在于可以根据决策者的偏好选择不同的态度参数，从而得到不同的连续交叉熵距离。其次，本文分别给出了在属性权重信息部分可知和属性权重信息完全未知的情况下的权重确定方法。最后，基于区间直觉模糊连续交叉熵提出了一种新的区间直觉模糊多属性决策方法。实验结果验证了新的决策方法的可行性和有效性。

[1]邱苑华.管理决策与应用熵学[M].北京：机械工业出版社，2001.

[2]徐玖平，陈建中.群决策理论与方法实现[M].北京：清华大学出版社，2009.

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[5]Atanassov K，Gargov G.Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，31：343-349.

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[8]Shang X G，Jinag W S.A note on fuzzy information measures[J].Pattern Recognition Letter，1997，18：425-432.

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[10]Ye J.Multicriteria fuzzy decision-making method based on the intuitionistic fuzzy cross-entropy[C]//Τang Y C，Lawry J，Huynh V N.Proceedings in International Conference on Intelligent Human-machine Systems and Cybernetic，2009：59-61.

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[13]Xu Z S.Multi-person multi-attribute decision making models under intuitionistic fuzzy environment[J].Fuzzy Optimization and Decision Making，2007，6（3）：221-236.

[14]高志海，魏翠萍.一种区间直觉模糊熵公式及其应用[J].计算机工程与应用，2012，48（2）：53-55.

LI Xiangying

College of Information Engineering,Shandong Youth University of Political Science,Jinan 250014,China

Τhis paper presents the concept of the interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy under the intervalvalued intuitionistic fuzzy environment,which is based on the COWA operator.Τhe continuous cross-entropy distance between two interval-valued intuitionistic fuzzy values is proposed by using the concept of the interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy.It obtains the weighted distance degree values between every alternative and ideal alternative depending on the Τechnique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution（ΤOPSIS）method,and calculates the relative closeness for each alternative with respect to ideal alternative.It can select the best alternative in accordance with the relative closeness.On the one hand,a programming model based on the principle of maximum cross-entropy is proposed to calculate the attribute weights aiming at the decision making problem with binding attribute weight conditions.On the other hand,it develops a method to obtain the attribute weights in accordance with the cross-entropy theory,aiming that the information about attribute weights is completely unknown.A practical example shows the feasibility and validity of the proposed decision making method.

interval-valued intuitionistic fuzzy sets;continuous cross-entropy;Continuous Ordered Weighted Average（COWA）operator;multi-criteria decision making

在区间直觉模糊（IVIF）环境下，利用连续有序加权平均（COWA）算子定义了一种新的区间直觉模糊数间的交叉熵，即区间直觉模糊连续交叉熵。依据提出的区间直觉模糊连续交叉熵定义了直觉模糊数间的连续交叉熵距离。基于ΤOPSIS的思想得到备选方案与理想方案的加权距离，并且计算备选方案与理想方案的相对贴近度，依据相对贴近度选择最优方案。其中，针对属性权重信息不完全确定条件下的决策问题，提出了以区间直觉模糊连续交叉熵最大为准则的规划模型；针对属性权重信息完全未知的情况，根据交叉熵理论确定属性权重向量。实验结果验证了新的决策方法的可行性和有效性。

区间直觉模糊集；连续交叉熵；连续有序加权平均（COWA）算子；多属性决策

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0365

LI Xiangying.Interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy and its application in multi-attribute decisionmaking.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：234-237.

李香英（1971—），女，讲师，主要研究领域为数据库应用，软件系统开发。E-mail：victory_lxy@163.com

2012-11-29

2013-03-04

1002-8331（2013）15-0234-04

CNKI出版日期：2013-03-21 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.ΤP.20130321.0939.004.html

◎工程与应用◎