双极值模糊（反）软子群

殷霞，廖祖华，章里程，朱晓英

江南大学理学院，江苏无锡 214122

双极值模糊（反）软子群

殷霞，廖祖华，章里程，朱晓英

江南大学理学院，江苏无锡 214122

1 引言

软集是由俄罗斯学者Molodtsov[1]在1999年提出的一种处理不确定性问题的数学工具，它克服了模糊集[2]等理论在参数工具上的不足。2001年，Maji[3-5]等将软集理论进行了推广，分别将软集与模糊集和直觉模糊集相结合，给出了模糊软集和直觉模糊软集的概念。如今，软集理论已被成功应用到众多领域[6-9]。近些年来，关于软集理论与代数结构的融合研究也取得了很多的重要成果。2007年，Aktaş和Çağman[10]提出了软群的定义，并讨论了它的一些基本性质。2010年，Acar[11]等给出了软环的概念，并对其进行了相关研究；付文清等[12]研究了软BCK代数及其运算。2011年，杨成福[13]给出了模糊软半群的概念并讨论了它们的代数性质；Zhou[14]等将直觉模糊软集运用到半群上提出了半群上的直觉模糊软理想的概念。2012年，Inan[15]等研究了模糊软环和模糊软理想的相关性质。廖祖华[16-17]等分别提出了软坡的软理想及二型软子群等新概念，并讨论了它们相关的代数性质。这些工作极大地丰富了软集理论的代数结构。

Zhang[18]给出了模糊集的一种推广即双极值模糊集；Lee[19]进一步探讨了双极值模糊集及它们的基本运算。双极值模糊集与直觉模糊集很相似，但它们却是两个不同的概念[20]。2011年，Kim[21]等研究了半群上的双极值模糊理想。2012年，Majumder[22]讨论了Γ-半群上的双极值模糊子半群的性质及其等价刻画。2012年，杨文华[23]等将软集与双极值模糊集相结合提出了双极值模糊软集的概念，推广了双极值模糊集理论。本文将双极值模糊软集的概念运用到群上，提出了双极值模糊（反）软子群的概念，并讨论了它们的代数性质。

2 预备知识

本章给出双极值模糊集、模糊软集、双极值模糊软集的定义和双极值模糊软集的一些运算及基本性质。

3 双极值模糊（反）软子群

本章中取初始论域为群G，给出双极值模糊（反）软子群的概念，讨论它们的相关代数性质。

定义3.1设(F，A)是群G上的双极值模糊软集，称(F，A)是G的双极值模糊软子群，如果∀ε∈A， ∀x，y∈G有：

则(F，ℕ)是ℝ上的双极值模糊软子群。

定义3.2设(F,A)是群G上的双极值模糊软集，称(F,A)是G的双极值模糊反软子群，如果∀ε∈A，∀x，y∈G有：

是G的双极值模糊软子群。

类似地，有下面的定理。

所以(F，A)是G的双极值模糊软子群。

4 双极值模糊（反）软子群的同态像与原像

本章先给出双极值模糊软集在双极值模糊软映射下的像与原像的概念，接着讨论双极值模糊（反）软子群在双极值模糊软同态下的像与原像的性质。

类似可证双极值模糊反软子群的情形。

5 结束语

软集理论是近些年来众多学者关注的研究课题。本文尝试将双极值模糊软集的基本运算与子群的概念相结合，提出了双极值模糊（反）软子群的概念，证明了它们的一些基本性质。基于这一些结论，将进一步探讨双极值模糊软正规子群的问题。

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[2]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers& Mathematics with Applications，1999，37（4/5）：19-31.

[3]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Fuzzy soft sets[J].Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589-602.

[4]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers &Mathematics with Applications，2003，45（4/5）：555-562.

[5]Maji P K，Roy A R，Biswas R.On intuitionistic fuzzy soft sets[J].Journal of Fuzzy Mathematics，2004，12（3）：669-683.

[6]Feng Feng，Li Yongming，Leoreanu-Fotea V.Application of level soft sets in decision making based on interval-valued fuzzy soft sets[J].Computers&Mathematics with Applications，2010，60（6）：1756-1767.

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[10]Aktaş H，Çağman N.Soft sets and soft groups[J].Information Sciences，2007，177（13）：2726-2735.

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[12]伏文清，李生刚.软BCK代数[J].计算机工程与应用，2010，46（10）：5-6.

[13]Yang Chengfu.Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals[J]. Computers&Mathematics with Applications，2011，61（2）：255-261.

[14]Zhou Jiehua，Li Yuewu，Yin Yunqiang，et al.Intuitionistic fuzzy soft semigroups[J].Mathematica Aeterna，2011（3）：173-183.

[15]Inan E，Öztürk M A.Fuzzy soft rings and fuzzy soft ideals[J]. Neural Computing&Applications，2012，21（1）：s1-s8.

[16]廖祖华，芮明力.软坡[J].计算机工程与应用，2012，48（2）：30-32.

[17]殷霞，廖祖华，朱晓英，等.软集与新型软子群[J].计算机工程与应用，2012，48（33）：40-43.

[18]Zhang Wenran.Bipolar fuzzy sets and relations：a computational frameworkfor cognitive modelingandmultiagent decision analysis[C]//Proceedings of IEEE Conference，1994：305-309.

[19]Lee K M.Bipolar-valued fuzzy sets and their basic operations[C]//Proceeding of the International Conference，Bangkok Tailand，2000：307-317.

[20]Lee K M.Bipolar-valued fuzzy sets，intuitionistic fuzzy sets and bipolar-valued fuzzy sets[J].Journal of Fuzzy Logic Intelligent Systems，2004，14：125-129.

[21]Kim C S，Kang J G，Kang J M.Ideal theory of semigroups based on the bipolar valued fuzzy set theory[J].Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics，2011，2（2）：193-206.

[22]Majumder S K.Bipolar valued fuzzy sets in Γ-semigroups[J]. Mathematica Aeterna，2012，2（3）：203-213.

[23]杨文华，李生刚.双极值模糊软集[J].计算机工程与应用，2012，48（35）：15-18.

YIN Xia,LIAO Zuhua,ZHANG Licheng,ZHU Xiaoying

School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

The notions of bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroups based on the theory of bipolar-value fuzzy soft sets are given and several related properties and equivalent characterizations are discussed.Furthermore,the definitions of image and preimage of a bipolar-value fuzzy soft set are introduced and some preliminary properties of the image and preimage of a bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroup under a bipolar-value fuzzy soft homomorphism are investigated.

bipolar-value fuzzy soft set;fuzzy soft set;bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroup;bipolar-value fuzzy soft homomorphism

在双极值模糊软集理论的基础上，给出了双极值模糊（反）软子群的概念，讨论了它们的一些相关性质及等价刻画。提出了双极值模糊软映射下双极值模糊软集的像与原像的概念，并研究了双极值模糊软同态下双极值模糊（反）软子群的同态像与原像的初等性质。

双极值模糊集；模糊软集；双极值模糊（反）软子群；双极值模糊软同态

A

O153；O15

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0425

YIN Xia,LIAO Zuhua,ZHANG Licheng,et al.Bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroups.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：58-62.

国家自然科学基金（No.11001109）。

殷霞（1975—），女，讲师，主要研究领域为有限群理论，模糊与粗糙代数；廖祖华（1957—），男，教授，主要研究领域为模糊与粗糙代数，广义逆理论及应用，人工智能等；章里程（1972—），男，副教授；朱晓英（1964—），女，副教授。E-mail：yin-xia1975@yahoo.com.cn

2013-04-25

2013-06-24

1002-8331（2013）19-0058-05

◎网络、通信、安全◎