有限浸没深度无限长圆柱壳辐射声场波动特性

李天匀，江 丰，叶文兵，朱 翔

华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉430074

有限浸没深度无限长圆柱壳辐射声场波动特性

李天匀，江 丰，叶文兵，朱 翔

华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉430074

研究水下圆柱壳声辐射问题时常常将流体声介质假设为无限域，而在实际工程中流体为存在自由液面的有限域。针对此假设的不足，基于Flügge薄壳振动方程和Helmholtz方程，利用镜像法和汉克尔函数的加法定理建立自由液面以下有限浸没深度处圆柱壳结构与声场的耦合振动方程，研究辐射声场中辐射声压随浸没深度的波动特性。研究表明，不同频率下远场辐射声压随浸没深度的变化曲线上，波峰之间的距离为流体声波波长的1/2。研究结论可为实际工程应用提供理论基础。

自由液面；圆柱壳；远场辐射声压；镜像法；加法定理

0 引 言

流场中圆柱壳结构的声振特性一直是人们重点关注的问题，Junger等［1-3］很早就对水下圆柱壳结构的声辐射进行过研究，并以专著的形式对相关研究展开了全面、系统的分析，并给出了圆柱壳结构远场辐射声压的近似表达式；Burroughs［4］导出了流场中具有双周期环肋支撑的无限长圆柱壳在点激励作用下远场声辐射的解析表达式；Guo［5-7］较深入地研究了水下圆柱壳结构内部舱壁、甲板等结构及其连接形式对壳体散射声场的影响。国内许多学者［8-11］也对圆柱壳结构的声辐射特性展开了深入研究。这些研究主要是分析不同结构形式圆柱壳结构在流场中的声振特性，其中涉及到流场时都是将其作为无限域处理，没有考虑声场的反射问题，数学处理较为容易。

在实际工程应用中，圆柱壳结构浸没于自由液面以下有限深度处时，其所处的流场是有限域，这种流场中声压的解析表达式不易直接给出，本文将采用镜像原理来处理流场中自由液面的边界条件。镜像原理是一种比较经典的方法，被广泛应用于电磁学、光学和声学等领域。Ergin等［12］利用镜像原理来处理半无限流体域中的边界问题，采用边界积分的方法得到了流体与结构之间的相互作用，最后得到了壳体振动的特征方程；Hayir等［13］利用镜像原理处理板结构自由边处的反射作用，分析了含有圆孔的板在简谐SH波激励下内部动应力的分布特征；Li等［14］利用镜像原理处理地面边界条件，对单极子声源声场中球形障碍物的绕射特性进行了分析；Fang等［15］利用镜像原理处理半无限板中的边界条件，对含有圆柱型填充物的板结构中弯曲波散射问题进行了研究，并对板中动应力集中系数进行了计算。

本文将通过镜像原理的应用得到具有自由液面的有限域流场对圆柱壳的声载荷，最终建立有限浸没深度下圆柱壳结构—声场耦合振动方程，研究远场辐射声场中辐射声压随浸没深度的波动特征。

1 理论模型

假设圆柱壳为薄壳，流体为理想流体。圆柱壳结构及其横截面如图1所示。图中，z，φ，r表示壳体的轴向、周向和径向；u，v，w表示壳体中面轴向、周向和径向位移。设壳体在φ0处受径向点激励 fr的作用，圆柱壳表面的声载荷为 f0，流体密度为 ρf，自由液面以上是轻流体，近似认为是真空。壳体材料的杨氏模量为E，泊松比为μ，密度为 ρs，壳厚度为h，壳体中面半径为 R。远场的观察点取在自由液面以下，距离为R0，与轴的夹角为q，周向角度为φ1，圆柱壳的浸没深度为 H（H≥R）。

图1 自由液面下有限深度圆柱壳结构及坐标系Fig.1 A submerged cylindrical shell and the corresponding coordinate system

1.1 壳体振动方程

壳体振动采用 Flügge方程描述［16］（为简便起见，略去了简谐时间项 e-iωt）

式中，

其中，

为求解方程（1），可设

将式（2）～式（6）代入式（1），经过傅里叶变换并利用三角函数的正交性可得

式 中 ，T11=Ω2-λ2-n2(1+K)(1-μ)/2 ； T12=-λn(1+μ)/2 ；T13=i[μλ+Kλ3-K(1- μ)λn2/2]；T21=

经过变换，外加点激励载荷为

1.2 流体声载荷

根据镜像原理（图2），流场中任意一点 A的声压由两部分组成：

式中，pr为真实柱面波在A点的声压；pi为虚源镜像柱面波在A点的声压。

图2 镜像及其相应的坐标系Fig.2 The sketch of the image method

这两部分声压均满足Helmholtz方程，则有

由于假设自由液面外为真空，则自由液面处声压为零，自由液面处某点（r=r'=Rs，φ=πφ'=φs）有

经正交处理，上式变为

将式（10）、式（11）和式（14）代入式（9）中，得到

根据贝塞尔函数的Graf加法原理［17］，有

式中，J()为第一类贝塞尔函数。

将式（16）代入式（15），可以得到

进而可以得到圆柱壳表面流体声载荷的表达式

2 圆柱壳声辐射特性

2.1 圆柱壳—流场耦合振动方程

考虑到圆柱壳和流体交界面径向位移的连续性，有

将式（4）和式（18）代入式（20），经过傅里叶变换，则有

将式（9）、式（19）和式（21）代入式（7），可以得到耦合声振方程

2.2 远场处的辐射声压

将式（17）代入式（15），可以得到

将式（23）进行傅里叶逆变换，即可得到空间域内的辐射声压表达式：

利用稳相法对式（24）中的无穷积分进行近似处理，可以求得有限浸没深度下圆柱壳结构远场辐射声压的近似表达式

式中，

为便于对比，给出了相应的无限域流场中圆柱壳远场辐射声压表达式

3 数值计算

理论模型的相关参数为：圆柱壳材料的弹性模量 E=2.1×1011Pa，泊松比 μ=0.3 ，密度 ρs=7 850 kg/m3，壳厚 h=0.05 m，半径 R=1.0 m。流体自由波传播速度Cf=1 500 m/s，流体密度 ρf=1 000 kg/m3。激励力幅值 F0=1 N，激励力的位置为φ0=0（远离自由液面的一边）。

文献［18］研究认为，水下结构离自由液面的距离达到一定程度时，流体域可以近似看作无限域来处理。首先，分析圆柱壳结构在不同频率下浸没深度 H 取较大值（H=100，300，600 m）时远场处辐射声场的分布情况，考虑到前述理论推导过程中加法定理的适用条件r＞2H，取远场观察点的距离 R0=1 500 m，θ=π/2，计算结果如图3所示。从图中可以看出，在一定频率下，当浸没深度达到一定程度时，考虑自由液面存在时圆柱壳结构远场辐射声压的分布特征与无限域基本吻合。

图4所示为在声场中的特定观察点处（R0=50 m，φ=π/8，θ=π/2）辐射声压随浸没深度的变化关系，随着激励频率的增加，这种波动程度会更加剧烈。其原因主要是，随着频率的增加，声波波长减小，浸没深度的较小变化会导致直接辐射声波和反射波波峰或波谷在特定点处相遇，进而导致该点处的声压得到增强或削弱，表现在图中为频率增加时，曲线上的波峰和波谷的数量也相应增加。图中，d为曲线上相邻两波峰之间的距离。表1所示为不同频率下的间距波长比。由图和表的对比可以看出，在任意频率下，相邻两波峰之间的距离近似为流场中声波波长的1/2。

图3 3种浸没深度下远场处辐射声压与无限域计算结果对比Fig 3 Comparison of the far-field pressure in finite depth and in infinite fluid

计算圆柱壳结构的辐射声场时，周围介质中的辐射声压特征可以用贝塞尔函数来表达。为了进一步说明波峰间距与声波波长之间的这种关系，有必要对贝塞尔函数的特征展开分析。根据贝塞尔函数的性质，当自变量x足够大时，贝塞尔函数可以近似表示成如下形式：

图4 远场某点处辐射声压随浸没深度的变化Fig.4 The relationship of the sound pressure at a certain point and the depth

表1 不同频率下辐射声压与浸深关系曲线上波峰间距波长比Tab.1 The radio of the distance of two adjacent peaks in the curves and the wavelength in the fluid

式中，Jn(vx)为第n阶贝塞尔函数；v为系数。

由式（27）可见，当x足够大时，贝塞尔函数峰值之间的距离（用L表示）存在如下关系：

假设 x的取值较小，令v=1，图5所示为n=0，1，5，10时贝塞尔函数值与 x之间的关系曲线。由图可见，贝塞尔函数会随着 x波动变化，随着阶数n的增加，会存在一个截止点x0，当 ||x取值大于 ||x0时，贝塞尔函数才开始取值。表2所示为不同阶数下对应的波峰间距L以及L和2π之间的比值。从表中可以看出，当x取值较小时，L和v之间仍然近似满足式（28）的关系。

图5 贝塞尔函数特征曲线Fig.5 The characteristic curves of the Bessel functions

分析辐射声压计算公式的推导过程可以发现，由于自由液面的存在，贝塞尔函数形式Jm+n(2kfH sin θ)基本贯穿整个辐射声压的计算过程，H和2kfsin θ分别对应于式（28）中的自变量x及其系数v。当令θ=π/2时，贝塞尔函数中 H之前的系数就为2kf，按照式（28），可以得出相应的 L=π/kf，而声波的波长 λ=2π/kf刚好为 L的一倍。因此，可以认为辐射声压幅值间的距离与声波波长间的关系主要是由贝塞尔函数的性质决定。而对于无限域声场中的辐射声压，由于没有类似自由液面这种边界条件的存在，相应的贝塞尔函数中没有浸没深度项，也就不存在相应的特征。

表2 不同阶数下贝塞尔函数峰值间距L和L/2π的值Tab.2 The distance of two adjacent peaks of the curves and the value of L/2π

从物理本质上看，当辐射声波传播到自由液面的边界上时，会形成反射波，基于镜像原理，这种反射波可以看成是关于自由液面对称的虚源圆柱壳的辐射声波，声场中特定点处的声压由于反射波和直接辐射波的叠加可能增强也可能减弱，这种特性主要由圆柱壳与自由液面之间的距离决定。由于文中分析的是远场声压，且实源圆柱壳和观察点之间的距离满足r≥2H，因此可以认为实源圆柱壳和观察点之间的距离r与虚源圆柱壳和观察点之间的距离r'满足如下关系：

对于声场中的特定点而言，实源圆柱壳与观察点之间的距离r是不变的，当浸没深度改变时，仅仅是虚源圆柱壳与观察点之间的距离r'在变化。从式（29）中可以得到如下关系：

式中，Δr'为虚源圆柱壳与观察点之间的距离变化量；ΔH为圆柱壳浸没深度的变化量。

由式（30）可见，当浸没深度变化量为声波波长的1/2时，虚源圆柱壳和观察点之间的距离变化量刚好为一个波长，对于特定观察点而言，深度变化前和变化后所对应的两种波在该点处的叠加特性应该是一致的。也就是说，在浸没深度变化前，如果两种波在特定点处由于叠加而增强，在声压浸没深度变化曲线上表现为峰值点，那么在浸没深度变化后，两种波在该点处同样会因为叠加而增强，在曲线上表现为峰值点。

4 结 语

通过引入镜像原理来处理自由液面处的边界条件，利用汉克尔函数加法定理对实源和虚源两种坐标系之间进行转换，通过自由液面处声压为零的条件建立了实源与虚源声场之间的关系，进而得到了流场中声压的表达式，建立了圆柱壳结构与流场之间的耦合振动方程，基于稳相法，最终得到了有限浸没深度下圆柱壳结构的远场辐射声压的计算表达式。

研究了不同频率下声场中特点处辐射声压随圆柱壳浸没深度的变化特征，发现在任意频率下辐射声压幅值之间的距离近似为流体中声波波长的1/2。当浸没深度的变化量为声波波长的1/2时，相应的虚源圆柱壳与观察点之间的距离变换接近一个声波波长，导致浸没深度改变前后直接辐射波与反射波在远场处的叠加特性基本一致。

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The Wave Characteristics of the Acoustic Radiation from Cylindrical Shells Within Finite Depth from the Free Surface

LI Tianyun，JIANG Feng，YE Wenbing，ZHU Xiang

School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

While studying the underwater acoustic radiation from cylindrical shells，the fluid is often assumed to be infinite.However，the free surface of the fluid always exists in real practices.Aiming at this flaw in the assumption，the structure-acoustical coupling equation of a cylindrical shell submerged in the fluid with finite depth is established by applying the image method and the addition theorem of the Hankel function，based on the Flügge equation and the Helmholtz equation.The fluctuation characteristics of the sound pressure at a certain observation point versus the depth are investigated，and it is found that the distance between the two adjacent peaks in the obtained curve equals half of the acoustic wavelength in the fluid.These findings may provide a theoretical basis for practical engineering applications.

free surface；cylindrical shell；far-field acoustic pressure；image method；addition theorem

U661.44

A

1673－3185（2013）01－73－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2013.01.011

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20130116.1434.011.html

2012－07－19 网络出版时间：2013-01-16 14:34

国家自然科学基金资助项目（40976058）；高等学校博士学科点专项科研基金（20120142110051）

李天匀（1969－），男，教授，博士生导师。研究方向：船舶与海洋工程结构力学，结构振动与噪声控制。E-mail：ltyz801＠mail.hust.edu.cn

江 丰（1988－），男，硕士研究生。研究方向：船舶与海洋工程结构力学，结构振动和噪声控制。

李天匀。

［责任编辑：张智鹏］