爆炸载荷下固支矩形板的大挠度塑性动力响应

颜 丰，刘敬喜

华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉 430074

爆炸载荷下固支矩形板的大挠度塑性动力响应

颜 丰，刘敬喜

华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉 430074

从矩形板的小挠度运动方程出发，通过引入膜力因子，给出四边固支矩形板在大挠度变形情况下的运动方程，分析矩形板大挠度塑性动力响应，并根据运动方程导出在矩形脉冲载荷作用下四边固支矩形板的运动微分方程，求解矩形板的最大残余变形计算式。同时，通过假设的应变率效应系数选取方法，解决大挠度加载情况下材料屈服应力的增加问题。使用有限元仿真手段验证了带有移行铰线的变形机构，对已有的实验样本和补充的有限元模型进行计算，并将计算出的理论结果与已有实验结果和有限元结果进行了比对，吻合较好。

矩形板；塑性动力响应；爆炸载荷；矩形脉冲；膜力因子；应变率效应

0 引 言

爆炸载荷作用下矩形板结构的塑性动力响应研究很早便受到理论界与工程界的广泛关注。对于矩形板这种二维的非轴对称结构，因其主应力方向事先不知道，因而使得有关矩形板的理论分析相当复杂和困难，尤其在大挠度情形下，既有材料非线性，又有几何非线性。尽管如此，近年来仍有不少学者在研究有关爆炸载荷下矩形板结构的大挠度塑性变形问题。例如，朱锡等［1］对爆炸载荷下的固支方板进行了理论分析和试验分析，导出了固支方板在爆炸载荷作用下的应变场，分析了方板的破裂形式，并给出了破裂临界压力值。Chung和 Nurick［2-3］对爆炸载荷下方板、单加筋、双加筋、十字加筋和双十字筋方板的塑性动力响应进行了一系列实验研究，获得了相当数量的爆炸载荷下加筋板大挠度变形和撕裂的实验结果，并对实验样本进行了有限元仿真。Park和Cho［4］对爆炸载荷下矩形板和加筋矩形板的最终变形提出了新的经验公式，采用MSC/DYTRAN软件进行了有限元仿真，并与数值结果和实验结果进行了比对。章媛和苟瑞君［5］根据塑性变形理论，推导出了矩形板在水下爆炸载荷作用下中心处挠度的解析解，利用LS-DYNA有限元软件对矩形板的水下爆炸冲击过程进行了数值仿真，并进行了相关的水下爆炸试验。何建等［6］运用能量守恒原理分析了四边固支矩形钢板的刚塑性大挠度变形的动力响应，推导了最大塑性变形计算公式，并与LS-DYNA的有限元仿真结果和前人的试验结果进行了比对，获得了令人满意的结果。

早在1992年，余同希和陈发良［7］就曾考虑过大挠度响应的移行塑性铰相，并在角动量守恒方程中同时考虑了弯矩和大挠度诱导的膜力产生的合力矩的作用，进行了较为完整的理论分析，但只给出了瞬动载荷作用下的算例，而没有给出矩形脉冲载荷作用下的理论分析结果。

本文参照文献［7］提出的膜力因子法，将对固支矩形板的塑性动力响应进行研究，推导同时考虑弯矩和膜力联合作用下的固支矩形板运动模式及运动方程，给出矩形脉冲载荷作用下的计算结果，并将与有限元仿真和Nurick的试验结果进行对比，以得出一些有意义的结论。

1 矩形板小挠度变形分析

假设一宽为a，长为b，厚度为H的矩形板，其周边为固支，单位面积质量为μ，其上承受均布动力载荷P(t)的作用，不计自身板重，如图1所示。板的单位长度塑性极限弯矩为

式中，σs为屈服应力。

图1 四边固支矩形板Fig.1 Fully clamped rectangular plate

1.1 静力极限状态下变形机构的选取

首先讨论四边固支矩形板处于静力极限状态时的破坏机构，图2和图3所示分别为两种可能的变形机构形式。

图2 变形机构IFig.2 Deformationmechanism，pattern I

图3 变形机构IIFig.3 Deformationmechanism，pattern II

变形机构I的静力极限方程为

变形机构II的静力极限方程为

将方程组（3）中的ξp消去并联立方程，得

1.2 小挠度变形的运动控制方程

假设在某一瞬间均布载荷P(0)=P*＞P0，此时，板开始发生变形。一般而言，板变形应优先考虑变形机构II，即在板中部有一个发生平动运动的塑性区，在它四周的四块刚性板则分别绕各自的边界作刚体转动。

矩形板小挠度变形的变形机构II的运动方程组为

式中，τ为无因次时间

ϕ1为无因次转角

p(τ)为无因次均布载荷

2 固支矩形板大挠度变形分析

2.1 引入膜力因子建立大挠度变形运动控制方程

当固支矩形板变形的挠度达到甚至超过板厚，同时平板边缘在平面方向上为固定而无法移动时，就需要计入大挠度诱导的膜力效应，因为膜力将会通过耗散变形能量增强结构刚性而对变形产生影响。

引入随矩形板变形而增大的膜力因子 f1和f2

式中，w0为中央平台区的位移；η为无因次化后的中央平台区位移。

则考虑膜力因素后，矩形板大挠度变形的变形机构II的运动方程组为：

在本文讨论的爆炸载荷下，矩形板先以变形机构II的方式运动，并发生铰线移行，当铰线移行至δ=时，转化为机构I的运动方式。

2.2 矩形脉冲加载下矩形板的动态微分方程

可将板的变形分解为若干阶段。

2.2.1 第1阶段

0≤τ≤τT，τT为脉冲加载时间，p(τ)=p* ，I(τ)=p*τ，运动微分方程为

由此，ξ和δ的初值ξ0和δ0的近似解便可由方程组（15）用数值方法求得。再将 ξ0,δ0和式（13）联立，使用龙格—库塔积分获得ξ和δ的值。

此外，矩形板区域①绕边界轴的转角为

2.2.2 第2阶段

ξ和δ的初值由第1阶段计算获得，和式（18）联立使用龙格—库塔积分获得ξ和δ的值。

矩形板区域①绕边界轴的转角及转角速度计算同式（16）和式（17）。

2.2.3 第3阶段

τ2＜τ≤τ3，其中 τ=τ3时，ξ=0 。运动微分方程组为

其中，η的初值为

ξ和ϕ1的初值由第2阶段获得，和式（20）联立使用龙格—库塔积分获得ξ,φ1和η的值。

矩形板区域①绕边界轴的转角计算同式（16）。

2.2.4 第4阶段

τ3＜τ≤ τf，ξ=0 即 ξ=ξf，常数。式（20）可简化为

其中，η的初值为

ϕ1的初值由第3阶段计算获得，将ϕ1和η的初值与式（22）联立，使用龙格—库塔积分获得ϕ1和η的值。

3 计算实例与结果分析

3.1 矩形板变形的有限元仿真

采用有限元分析软件ABAQUS/Explicit v6.8-1进行数值模拟。模型参照文献［2］中的实验样本建立，其面板的长和宽均取原文的实验样本数据，而外加均布载荷则为

式中，T为载荷加载时间。本文亦给出了14.5μs的估计值。

自建模型，其面板厚度均取1.6 mm，面积约16 000mm2。建模时，在各矩形板和加筋板的面板外加一外框，再如图4所示将边界约束施加于外框上。自建模型的外加均布载荷为矩形脉冲，幅值150 MPa，持续时间14.5 μs。采用弹塑性材料模型，杨氏模量E=210GPa，材料密度 ρ=7 850 kg/m3，静态屈服应力为242MPa；考虑材料应变率效应的影响，D=40.4 s-1，q=5［8］。

图4 有限元模型边界约束和加载示意图Fig.4 Boundary conditions and loadsof finite elementmodel

为了验证前文所提出的固支矩形板的两种变形机构及其转化，取长宽比为1.6∶1的有限元模型U02作为参照，有限元变形仿真结果如图5和图6所示。

图5 模型U02有限元仿真变形总体示意图Fig.5 Deformation of finite elementmodel U02

图6 模型U02有限元仿真中点截面变形图Fig.6 Section deformation of finite elementmodel U02

在以上矩形板变形图中，从变形起始至111 μs左右，中点截面图的板截面呈平顶状突起，这说明在固支矩形板的变形过程中出现了中央平台区。而由变形总体示意图则可以看出，其中央平台区大致呈矩形，并且其大小是随时间的后移逐渐变小，这说明铰线移行在有限元仿真中也是存在的。

在111μs和165μs之间的某个时刻，中点截面图中的平顶转变为近似尖顶，反映出变形机构II的中央平台区消失，转换为对应尖顶的中央铰线，这说明在有限元仿真中同样存在变形机构II向变形机构I的转换。

3.2 应变率效应系数的选取

当对矩形板进行实际动力加载时，其材料的屈服应力将会随着应变率的增大而增大，称之为应变率效应。若应变率效应较为显著，则此时式（1）中的屈服应力应采用动态屈服应力，其表达式为

式中，σs为材料的静态屈服应力；α为应变率效应系数，表征动态屈服应力较静态屈服应力的放大倍数。

关于应变率效应系数的取值，Cloete等［9］曾针对周边固支中央简支的圆板，将具体实验结果与塑性功—动能守恒条件相结合，推导出其参考值为2.8。本文的理论计算所依据的变形机构因含有平台区及移行铰线，而文献［9］在固支圆板的理论分析中并未考虑平台区和移行铰线，所以不宜直接采用上述参考值。此外，由于移行铰线的存在，使得对矩形板在不同时刻的整体应变推导较为困难。

针对应变率效应系数推导的难点，本文拟从相反方向着手解决，采用1.0～3.0范围内的各应变率效应系数同时进行理论计算，并将获得的不同计算值与实验数据或有限元结果进行比对，从而选择出合适的应变率效应系数。

文献［9］在进行应变率效应系数的验证时，使用了 Bodner和 Symonds［10］，以及 Nurick［11］在实验中所获得的达到变形峰值的响应时间。本文相应地也对计算样本建立了有限元模型，而后将通过有限元仿真获得的达到变形峰值的响应时间作为主要参考值，再将其和各应变率效应系数所对应的板变形峰值响应时间计算值进行比对，以选出适合该计算模型的应变率效应系数。此外，由于在有限元仿真中将板材料定义为弹塑性模型而未设置其阻尼系数，使得矩形板模型在变形后期发生了反复的小幅振动，因此，此处取其第1次达到变形峰值的响应时间。同时，由于本文的理论计算所采用的板材料假设为刚塑性模型，故其变形的总响应时间即为平板达到变形峰值的响应时间。

以文献［2］中的试验样本S01为例，以有限元计算获得的板变形峰值时间为参考值，另选取应变率效应系数1.0～3.0进行计算，获得了对应的板变形响应时间理论计算值—系数关系曲线如图7所示。

图7 模型S01板变形响应时间的理论计算与有限元结果Fig.7 Theoreticaland finite element results of deformation time ofmodel S01

由图7可以看出，当理论计算采用的应变率系数为2.3时，平板变形峰值响应时间的理论计算值与有限元结果较为近似。所以，在计算板中点位移时，选取2.3作为样本S01的应变率效应系数。

3.3 与试验结果的比对及分析

按照以上提出的应变率效应系数选取方法计算文献［2］的方板样本，并与实验值进行比对，结果如表1所示。

表1 固支方板样本理论计算与实验结果对比Tab.1 Resu ltsofm id-point disp lacem ent of theoretical calcu lation and experim ents

由表1的结果对比可以看出，在选取适当应变率效应系数的前提下，方板大挠度变形的中点位移的理论计算值与实验值吻合良好。

3.4 有限元补充模型计算结果

文献［7］运用膜力因子法对Jones在1971年的试验［12］中获得的、无因次变形范围在0～5内的数据进行了理论计算与试验数据比对，而前文所计算的文献［2］中的试验样本均为长宽比为1∶1的方板，为进一步考察固支矩形板在大挠度变形下的响应，本文利用有限元仿真分析另给出了长宽比在1.3～4范围且无因次变形均大于5的5个模型作为补充算例，所得计算结果如表2所示。

表2 固支矩形板模型理论计算与有限元仿真结果对比Tab.2 Resu lts ofm id-poin t disp lacem en t of theoretical calcu lation and finite elem ent sim ulation

由表2的结果对比可以看出，在选取适当应变率效应系数的前提下，即使在模型长宽比达4∶1的情况下，固支矩形板变形的中点位移的理论计算值与有限元计算值仍然符合较好。

4 结 论

在矩形板的塑性动力响应过程中，当其挠度达到或超过厚度量级时，由于膜力的作用，使得仅考虑弯矩作用的小挠度理论不再适用，此时，必须引入膜力作用的影响来研究矩形板的大挠度塑性变形响应。

本文从矩形板的小挠度变形出发，将膜力因子引入小挠度变形运动方程，获得了大挠度情况下的变形运动方程。推导了在加载矩形脉冲情况下矩形板的运动微分方程。与文献［7］相比，本文是直接使用在推导时所用的矩形脉冲载荷，而非再另外推导相应的瞬动载荷进行加载计算，而且所用的实验样本和有限元模型也具有更大的无因次位移和多种长宽比。

本文通过理论分析、有限元仿真和实验对比，得到了以下结论：

1）在理论分析中所采用的带有中央平台区和移行铰线，并且发生转换的变形机构是能够通过有限元仿真手段进行验证的。

2）本文所假设的通过有限元仿真方法获得板变形峰值对应的响应时间，进而反推得到理论计算可用的应变率效应系数的方法是可行的。

3）在选取适当的应变率效应系数前提下，膜力因子法能对无因次位移达到5以上的大挠度变形和矩形板长宽比在1～4范围内的实例进行良好的中点最终位移预报。

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The Large Deflection Dynam ic Plastic Response of Rectangu lar Plates Sub jected to Blast Load

YAN Feng，LIU Jingxi
Schoolof Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

By introducing the membrane force factors，the motion equations of rectangular plates in the case of small deflection aremodified to fit in the case of large deflection，and the corresponding dynamic plastic response is analyzed.Meanwhile，the motion differential equations of fully-clamped rectangular plates subjected to blast loads are derived，with the loads being rectangular pulses.Therefore，the formulas ofmaximum permanent deformation of rectangular plates can be solved.In addition，this paper investigates the problem of yield stress increasing under high strain rate by employing an assumed selectionmethod for the strain rate effect coefficient.Finally，the proposed motion patterns are verified with a finite elementmethod，where the existing experimental samplesand the new finite elementmodels are both calculated using the described theoreticalmethod.The results are then compared with those obtained from previous experiments aswell as finite element simulations，and good agreement between the two can be clearly observed.

rectangular plate；dynamic plastic response；blast loading；rectangular pulse；membrane force factor；strain rate effect

U661.41

A

1673－3185（2013）01－47－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2013.01.008

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20130116.1428.007.htm l

2012－05－08 网络出版时间：2013-01-16 14:28

颜 丰（1987－），男，硕士。研究方向：冲击动力学。E-mail：545225243＠qq.com

刘敬喜（1975－），男，博士，副教授。研究方向：船舶结构振动与噪声控制。E-mail：liu＿jing＿xi＠mail.hust.edu.cn

刘敬喜。

［责任编辑：卢圣芳］