基于互补判断矩阵的DS/AHP方法

杜元伟，谭莹莹，段万春

昆明理工大学 管理与经济学院，昆明 650093

基于互补判断矩阵的DS/AHP方法

杜元伟，谭莹莹，段万春

昆明理工大学 管理与经济学院，昆明 650093

1 引言

层次分析方法（Analytic Hierarchy Process，AHP）因其层次结构模型能够使决策思维过程数学化而受到了专家学者的广泛关注。然而，客观事物的复杂性以及主观思维的模糊性，使得AHP方法中用于提取推理判断信息的两两比较判断矩阵往往很难构造[1]。证据理论（Dempster-Shafer Theory，DS）凭借其对不完善信息出色的表达和融合能力已经成为不确定推理领域获取综合推断信息的重要技术[2]。Beynon等学者将DS理论中的信息表达和融合技术集成到AHP方法的层次结构模型之中，提出了DS/AHP方法，即利用知识矩阵将决策者在不同属性上对部分方案给出的偏好推断信息转化为DS理论中的基本概率分配（Basic Probability Assignments，BPA）函数，在此基础上结合证据组合规则实现对备选方案的综合决策判断[3]。DS/AHP方法既能发挥AHP方法在层次结构模型方面的特有优势，又能规避其在决策信息提取方面的固有缺陷，因而很快成为多属性决策领域的关注焦点，并被广泛地应用于解决供应商选择、人才选拔等领域的决策优化问题[4-5]。特别地，DS/ AHP方法中用于提取决策信息的知识矩阵是采用2～6标度的边缘化互反判断矩阵，但此种方式一方面会因标度间距过大而影响推断信息的精确性，另一方面也会因矩阵中存在缺失判断信息而影响集成结果的有效性（详见后文）。有鉴于此，本文基于互补判断矩阵对传统知识矩阵的构建方式进行修正，并在此基础上提出一种能够开展精确推断与有效集成的改进DS/AHP方法。

2 传统方法缺陷

设决策者欲应用J个属性对I个备选方案进行优劣排序，其中方案集为{ai|i=1，2，…，I}，属性集为{cj|j= 1，2，…，J}。传统DS/AHP方法对于该决策问题的建模思路是：首先按照AHP方法构建决策问题的层次结构模型并求解各个属性的相对重要性权重，然后分别针对每个属性由决策者将所有备选方案划分为若干个重要程度不同的互斥方案组，将每个方案组与识别框架（即整个方案集）按照2～6标度进行相对重要性偏好判断，并以边缘化互反判断矩阵的方式构建出知识矩阵，再通过求解各个属性上知识矩阵的特征向量得到每个互斥方案组的BPA函数，在此基础上将每个属性均视为一个独立的证据源，利用证据组合规则对所有证据源的BPA函数进行融合，最后基于融合后的综合集成信息通过计算信度函数和似然函数做出相应的决策。

表1 属性cj上的知识矩阵Kj′

传统DS/AHP方法的上述处理方式，不管是在度量标度选择方面还是在知识矩阵求解方面均存在问题。其一，就度量标度选择而言，采用2～6标度虽然容易建立起相对重要性推断语义和偏好程度描述值之间的联系，但是因只有五个等级的重要性划分而难以精确刻画决策者对方案组之间相对偏好的区别程度，特别是当方案组的数量较多时(Nj＞5)，采用该种标度方式便无法对所有方案组之间的偏好程度都进行明确区分。其二，就知识矩阵求解而言，其采用的是边缘化互反判断矩阵方式，即仅在最后一列/行反映决策者对方案组偏好程度的推理判断信息，并且最后一行元素是由最后一列偏好推断值取其倒数而得；矩阵中除主对角线元素取值为1表示方案组与方案组相比较为同等重要以外，其余任意两个方案组之间均未进行比较判断，故相应取值应为空，或者说，该知识矩阵是一个除在最后一列、最后一行、主对角线有具体取值外其余元素全部为空值的残缺矩阵；因此传统方法简单地将知识矩阵中的残缺元素赋值为0并在此基础上通过对整个知识矩阵求特征向量获取BPA函数的方式，其有效性是有待商榷的。

3 转换定理与改进方法

为解决传统方法中存在的上述问题，采用残缺互补判断矩阵构造知识矩阵，并通过构建由知识矩阵向BPA函数的转换定理，对传统方法进行改进。

3.1 BPA函数转换定理

互补判断矩阵是利用互补标度对元素之间相对重要性进行偏好赋值的一类决策信息提取方法，其中的互补标度是指元素X相对于元素Y的偏好取值与元素Y相对于元素X的偏好取值之和为1，且二者均是介于[0，1]的数[6]。考虑到决策信息提取的可行性，类似于传统方法对知识矩阵的构建方式，仅对各个属性上方案组与识别框架之间的相对重要程度进行偏好推断，但区别之处在于偏好推断值采用的是互补标度而非互反标度。此种处理方式，不仅能充分发挥传统方法对不完善推断信息的提取能力，而且还能在(0.5，1]区间取任意数值而非仅局限于5个等级标度，故能有效克服其由标度间距问题所带来的推断精确性差的缺陷。需要说明的是，遵循互补判断矩阵构建原则，自身与自身的比较为同等重要，其值为0.5；在各个属性上方案组均是从识别框架中识别出来的，它们的偏好程度一定高于识别框架，故其值必然在(0.5，1]取值。不妨设由决策者针对方案组 A(jn)相对于识别框架Θ所给出的相对偏好推断值为u(jn)(0.5＜u(jn)≤1.0)，“—”表示残缺值，则在属性cj上的知识矩阵Kj如表2所示。

表2 属性cj上的残缺互补知识矩阵Kj

下面将结合BPA函数定义给出由残缺互补知识矩阵向BPA函数转换的定理。

3.2 改进方法步骤

结合知识矩阵向BPA函数的转换定理，构建DS/AHP的改进方法。具体步骤如下：

。将上述信息进行条理化即可获得特定决策问题的层次结构模型（可参见后文图1）。

步骤3评估并构造残缺互补知识矩阵。在特定属性cj上，由决策者针对各个方案组(A(n)j,∀n)相对于识别框架Θ的相对偏好程度给出(0.5，1]之间的推断值u(n)j，从而得到Uj={(A(jn)，u(jn))|n=1，2，…，Nj}。结合Uj和互补矩阵的结构方式即可构造出如表2所示的残缺互补知识矩阵Kj(∀j)。

步骤4基于转换定理计算BPA函数。在特定属性cj上，利用定理1计算对应于知识矩阵 Kj的BPA函数m(j

n)(n=1，2，…，Nj，Nj+1)。当n=1，2，…，Nj时，m(jn)表示与方案组 A(jn)对应的BPA函数，而当n=Nj+1时，m(jn)表示与识别框架Θ对应的BPA函数。类似地，可以得到在所有属性上的BPA函数m(jn)(j=1，2，…，J，n=1，2，…，Nj+1)。

步骤5依据属性权重修正BPA函数。属性权重表示特定来源决策信息对于决策问题的相对重要程度。借鉴相关文献中的处理方法，即将特定属性权重相对于最大属性权重的比值作为修正该属性下BPA函数的折扣率，并将折扣损失的信息赋值为未知不确定（识别框架）[7-8]，则在属性cj上修正之后的BPA函数可由式（5）进行确定。

4 算例模拟分析

设方案集为{a1，a2，…，a10}，属性集为{c1，c2，c3}，按照AHP方法中两两比较判断思想确定的属性权重集为{w1，w2，w3}={0.5，0.3，0.2}，由决策者在各项属性上推断出的Uj={(A(jn)，u(jn))|n=1，2，…，Nj}详见图1。

图1 算例的层次结构模型图

表3 残缺互补知识矩阵K1

表4 残缺互补知识矩阵K2

表5 残缺互补知识矩阵K3

结合如表3～表5所示的知识矩阵，基于定理1计算各个属性上的BPA函数，并在此基础上按照式（5）对BPA函数进行修正（参见表6）。

表6 各属性上修正前与修正后的BPA函数

最后，将表6中各个属性上修正后的BPA函数带入如式（6）所示的证据组合规则，融合所有证据源的BPA函数，最终得到综合BPA函数如式（7）所示。

为便于理解，这里基于式（7）中的集成BPA函数计算与各个方案对应的Pignistic概率[9]，据此概率对方案进行排序，最终得 a7(0.338)≻a6(0.150)≻a1(0.117)≻a3(0.093)≻a5(0.080)≻a4(0.079)≻a2(0.060)≻a9(0.046)≻a8(0.023)，其中括号内数值为方案对应的Pignistic概率。

5 结束语

传统DS/AHP方法一方面会因标度间距过大而影响推断信息的精确性，另一方面也会因矩阵中存在缺失判断信息而影响集成结果的有效性。为了解决上述问题，本文首先结合传统DS/AHP方法的建模思路分析指出其中存在的问题缺陷，然后通过引入残缺互补判断矩阵对传统方法进行完善，分别提出了由知识矩阵向BPA函数转换的定理以及在此基础上开展推理判断的改进方法步骤，最后应用一个算例模拟说明了提出方法的具体操作过程。本文研究特色之处在于，用互补判断矩阵替代了传统方法中的互反判断矩阵，并提出了此种方式下开展问题决策的BPA函数转换定理和评价方法步骤，能够解决传统方法中因度量标度选择和知识矩阵求解所带来的一系列问题，具有方法创新性。需要指出的是，本文侧重于从决策信息提取视角提出一种能够有效获得各个属性上BPA函数的改进方法（见步骤2～步骤5），而对于通过证据组合规则集成之后的综合BPA函数（见步骤6）应该如何运用才能获得更易理解的决策信息，目前已有多种解决方法，可参照相关文献选择合适的一种即可。

[1]Güngör Z，Serhadlıoğlu G，Kesen S E.A fuzzy AHP approach to personnel selection problem[J].Applied Soft Computing，2009，9（2）：641-646.

[2]Dymova L，Pavel S.An interpretation of intuitionistic fuzzy sets in terms of evidence theory：decision making aspect[J]. Knowledge-Based Systems，2010，23（8）：772-782.

[3]Malcolm B.DS/AHP method：a mathematical analysis，including an understanding of uncertainty[J].European Journal of Operational Research，2002，140（1）：148-164.

[4]李永鑫，江勇，赵国祥.基于DS/AHP的人员选拔方法[J].心理学探新，2010，30（5）：72-77.

[5]姚爽，郭亚军，黄玮强.基于证据距离的改进DS/AHP多属性群决策方法[J].控制与决策，2010，25（6）：894-898.

[6]徐泽水.残缺互补判断矩阵[J].系统工程理论与实践，2004，24 （6）：91-97.

[7]Malcolm JB.A method ofaggregation inDS/AHP for group decision-making with the non-equivalent importance of individuals in the group[J].Computers&Operations Research，2005，32（7）：1881-1896.

[8]杜元伟，孙永河，段万春.证据理论的主客观整合推理方法[J].计算机工程，2011，37（6）：41-43.

[9]Aregui A，Denoeux T.Constructing consonantbelieffunctions from sample data using confidence sets of pignistic probabilities[J].International Journal of Approximate Reasoning，2008，49（3）：575-594.

DU Yuanwei,TAN Yingying,DUAN Wanchun

Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China

In order to overcome the drawbacks that inference information accuracy is poor and integration outcome validity remains to be discussed resulting from measurement scale selection and knowledge matrix solution in traditional DS/AHP method, the existing problems are presented by analyzing the traditional modeling approach.The complementary judgment matrix is introduced to extract decision maker's relative preference inferences between alternative teams and frame of discernment.After that,a transformation theorem from knowledge matrix with incomplete and complementary information to BPA function is proposed,as well as an improved method is established to perform inference and judgment in terms of evidence discounting idea and evidence combination rule.A numerical example is applied to illustrate the operational process of the presented method.

Dempster-Shafer/Analytic Hierarchy Process（DS/AHP）;complementary judgment matrix;evidence theory;analytic hierarchy process;basic probability assignments

为克服传统DS/AHP方法中因度量标度选择问题和知识矩阵求解问题而带来的推断信息精确性差和集成结果有效性有待商榷的缺陷，结合传统方法的建模思路分析指出其中存在的问题，通过引入互补判断矩阵提取决策者对方案组与识别框架之间的相对偏好推断，在此基础上提出由残缺互补知识矩阵向BPA函数转换的定理，并结合证据折扣思想和证据组合规则构建了开展推理判断的改进方法步骤，应用一个算例说明了提出方法的具体操作过程。

登普斯特谢菲尔/层次分析方法（DS/AHP）；互补判断矩阵；证据理论；层次分析法；基本概率分配

A

C934

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0018

DU Yuanwei,TAN Yingying,DUAN Wanchun.DS/AHP method based on complementary judgment matrix.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：44-47.

国家自然科学基金（No.71261011，No.71263031）；中国博士后科学基金面上资助项目（No.20110491760）；云南省应用基础研究计划项目（No.2011FZ021）；云南省教育厅重点项目（No.2012Z103）；昆明理工大学组织行为与复杂行为决策创新团队支持计划。

杜元伟（1981—），男，博士，在站博士后，副教授，研究方向为管理决策、信息融合等；谭莹莹（1981—），女，硕士生，研究方向为物流系统优化；段万春（1956—），男，教授，博导，研究方向为组织行为决策等。E-mail：duyuanwei@gmail.com

2012-10-08

2012-11-21

1002-8331（2013）05-0044-04