向量范数函数的单调递减性质

傅绪加，吴红光

（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000;2.南京理工大学 理学院，江苏 南京 210094）

向量范数函数的单调递减性质

傅绪加1，2，吴红光1

（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000;2.南京理工大学 理学院，江苏 南京 210094）

在有限维实向量空间ℝN中，用两种方法证明lp范数函数(p >0)的单调递减性质，并应用此性质，证明任意两个lp范数(p ≥1)之间的等价性.

向量空间；向量范数；单调递减性

在有限维实向量空间ℝN中，可以引入不同的范数，使之成为不同的赋范空间［1-2］，常用的范数有lp范数（p≥1），如l1范数、l2范数、l∞范数［1］.由于范数满足齐次性与三角不等式性［1-2］，故范数可视为是定义在向量空间上的凸函数，很多工程问题最终可归结为相应的赋范空间中的lp范数极小化或lp范数正则化问题［1-6］.近年来，此类问题在机器学习、反问题、图像处理、结构化稀疏表示、压缩感知等领域［3-6］广受关注.探究向量lp范数的有关性质，仍具有意义.对于不同的p≥1值，空间ℝN中向量的lp范数实际上给出了向量长度或模的不同度量方式，它们之间具有某些联系，如等价性等.在lp范数的定义式中取p∈(0 ,1)时，所得到的实函数并不是向量空间ℝN(N ≥2)中的向量范数，详见本文的定义1及其说明，但是，此时的lp极小化问题或正则化问题(p ∈(0 ,1) )却有诸多有趣的性质［6］.本文主要讨论向量不同范数之间的大小关系，主要结论为定理1与定理2.

1 主要结论

2 预备知识

3 定理1的两种证法

3.1 定理1的第一种证法

3.2 定理1第二种证法

4 应用

［1］李庆杨，王能超，易大义.数值分析［M］.5版.北京：清华大学出版社，2008.

［2］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义:上册［M］.北京：北京大学出版社，2009.

［3］LU Zhaosong.Iterative reweighted minimization methods for lpregularized unconstrained nonlinear programming［J］.Pre⁃print，2012，arXiv：1210.0066.

［4］DAUBECHIES I，DEVORE R，FORNASIER M，et al.Iteratively reweighted least squares minimization for sparse recovery［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2010,63（1）：1-38.

［5］VESE L A，OSHER S J.Image denoising and decomposition with total variation minimization and oscillatory functions［J］. Journal of Mathematical Imaging and Vision，2004,20（1/2）：7-18.

［6］XU Zongben，GUO Hailiang，WANG Yao，et al.Representative ofL12regularization amongLq(0

The Monotone Decreasing Property of Vector Norm Functions

FU Xu-jia1，2，WU Hong-guang1
（1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000,Huaibei，Anhui，China;
2.School of Science，Nanjing University of Science and Technology，210094,Nanjing，Jiangsu，China）

In finite dimensional real vector spaceℝN，the monotone decreasing property oflpnorm func⁃tions(p >0 )was proved by two methods，and this property was applied to prove the equivalence of any two lpnorms(p ≥1).

vector space;vector norms;monotone decreasing property

O 151.21

A

2095-0691(2013)04-0026-04

2013-06-27

安徽省高等学校省级自然科学研究项目（KJ2013B252）;淮北师范大学教研项目（JY10227）；淮北师范大学青年研究项目（2012xq56）

傅绪加（1978- ），男，安徽六安人，讲师，博士生，研究方向：图像建模与分析.