单调压缩部分变换半群的秩

高荣海

（贵州师范大学 a.学报编辑部；b.数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550001）

在半群代数理论中，对于半群的秩或者幂等元秩是半群研究的一个热点内容之一，关于变换半群秩的研究已有许多成果[1-9].设S是一个有限半群，则S的秩定义为：rank(S)=min{|A|:A⊆S,A=S}.如果S是由幂等元集E生成，那么S的幂等元秩定义为：rank(S)=min{|A|:A⊆E,A=S}.1987年，文献[4]考虑了Xn上的奇异变换半群的秩，得到了它的秩为n（n-1）/2；1992年文献[5]证明了Xn上的保序奇异变换半群On和POn的秩分别为n和2n-1；2010年文献[6]引入保序压缩奇异变换半群，得到了它的秩为n-1，2011年文献[7]将文献[6]的结果进行推广，得到其理想的秩.在本文中，我们将单调性与压缩性引入到部分变换半群中，考虑了一类新的半群-单调压缩部分变换半群.设Xn={1,2,...,n}(n>4)并赋予自然序，Pn是Xn上的部分变换半群.设α∈ Pn，若对任意x，y∈domα⊆Xn，x≤y⇒ xα≤yα，则称α是单调递增的；若对任意x，y∈domα⊆Xn，x≤y⇒xα≥yα，则称α是单调递减的. 设α∈Pn，若对任意x，y∈domα⊆Xn，有|xα-yα|≤|x-y|，则称α是Pn的压缩元. 记MCPn为Pn中所有单调（递增或递减）压缩元构成的集合，易见MCPn在映射的合成下构成Pn的一个子半群.我们称之为Xn上的单调压缩部分变换半群.在这篇文章中我们得到了MCPn的秩为2n-1.

1 准备

设A，B是Xn的两个非空子集，若maxA

当α单调递增时，由单调性和压缩性容易验证α有如下表示法（称为α的标准表示）：

这里，a1

当α单调递减时，由单调性和压缩性容易验证α有如下表示法（称为α的标准表示）：

这里，a1>a2>…>ar，Ai

为 了 叙 述上的方便，对任意 α,β ∈MCP，定义 (α,β)∈ LΔ⇔ im(α)=im(β),(α,β)∈ RΔ⇔ ker(α)=ker(β),

n(α,β)∈ JΔ⇔ |im(α)|=|im(β)|,则 LΔ,RΔ,JΔ都是 MCPn上的等价关系，易见 LΔ⊆JΔ，RΔ⊆JΔ. 对 0≤r≤ n-1，记JΔr={α∈MCPn:|im(α)|=r},则恰好是 MCPn的 n个 JΔ-类，其中是有空变换构成，并且

设

则顶端 JΔ-类有 2n-1 个 RΔ-类 RΔ(1,2),RΔ(2,3),...,RΔ(n-1,n),RΔ(1),...,RΔ(n)以 及 n 个 LΔ-类LΔ(1),...,LΔ(n).

2 主要结果及证明

本文的主要结果：

定理设自然数n≥4，则rankMCPn=2n-1.

在证明该定理之前，先给出下面几个相关的引理和推论.

引理1对任意α，β∈MCPn，若（α，β），（α，αβ）∈ JΔ，则（α，αβ）∈ RΔ，（αβ，β）∈ LΔ.

证明该定理的证明较容易，可参见文献[6-7]引理1的证明.

由引理1知MCPn的任意一个生成集都必须覆盖中每 RΔ-类和每个 LΔ-类，而 JnΔ-1中共有2n-1个RΔ-类和n个LΔ-类.于是我们可得到下面的推论1.

推论1设自然数n≥4，则rankMCPn≥2n-1.

引理2对 0≤r≤n-2,有

证明在这里分0≤r≤1和2≤r≤n-2来加以讨论.由于对前一种情形相对容易验证，所以在这里仅讨论后一种一般的情形.

情形1|bi+1-bi|=1（i=1，2，…，r-1），且|Ai|=1（i=1，2，…，r），不妨设Ai={ai}，下面分两种子情形讨论：

情形1.1若ai+1=ai+1（i=1，2，…，r-1），由于 r≤n-2可知，要么 a1≠1要么 ar≠n，不妨设a1≠1.

当α单调递增时：

1）若b1≠1，令则有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

2）若b1=1，令

则有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

当α单调递减时：

1）若b1≠n，则β与单调递增1）中的相同，在γ中，只需将b1-1改为b1+1；

2）若b1=n，则β与单调递增2）中的相同，在γ中，只需将br+1改为br-1，则有β，γ∈ JΔr+1且α=βγ.

情形1.2若有某个i（2≤i≤r），使得ai-ai-1>1

当α单调递减时：

1）若b1≠n，令则有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

2）若b1=n则有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

若α单调递增时：

1）若b1≠1，则β与单调递减时的1）中的β相同，γ只需将单调递减时1）的b1+1改为b1-1即可；

2）若b1=1，则β与单调递减时的2）中的β相同，γ只需将单调递减时2）的br-1改为br+1即可.

情形2|bi-bi-1|=1（i=2，…r），且有某个 k（1≤k≤r），使得Ak>1，设x=minAk.

当α单调递减时：

1）若 b1≠n，令

2）若b1=n，令

则有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

当α递增时，可仿照情形1.2的方式进行讨论即可.

情形3若存在某个j（2≤j≤r），使得|bj-bj-1|>1（j=2，…r），由于r|bj-bj-1|>1，进 而 有 minAj>maxAj-1+1. 令为集合{b1，…，bj-1，bj，…，br，s}上的恒等变换，则有β，γ∈且α=βγ.

由引理2可得下面的推论2.

推论2设n≥4，则是MCPn的生成集，即MCPn=<>.

注1设ei（i=1，2，…，n）是Xn{i}上的恒等变换，则根据MCPn中元素的标准表示知LΔ(i)={ei}(i≠1,n).

设集合S为

引理3设自然数n≥4，则JnΔ-1⊆.

证明由S中元素的特点知，S中的元素恰好覆盖了中的所有RΔ-类和LΔ-类.下面需证明JnΔ-1中的元素均可由S中的元素生成，即只需证明JnΔ-1S⊆.

对任意α∈JnΔ-1S，下面分4种情形讨论：

情形1α单调递增且α∈LΔ(1).此时，直接计算可知，为了后面讨论的方便，记该α为

情形2α单调递增且α∈ LΔ(n). 此时，一定有某个k，使得α∈ RΔ(k,k+1)（1≤k≤n-1）. 或者α∈ RΔ(k)（1≤k≤n）.

1）当α∈ RΔ(k,k+1)，通过计算可得 （注：此处当k=1时，α↑k,1指的是情形1下生成的单调递增元素α，下同）

2）当α ∈ RΔ(k)且 k=1或者n时，通过计算可得；若k≠1,n时，计算可得

情形3α单调递减且α∈ LΔ(1). 此时，一定有某个k，使得α∈ RΔ(k,k+1)（1≤k≤n-1）. 或者α∈ RΔ(k)（1≤k≤n）.

1）当α∈ RΔ(k,k+1)，通过计算可得

2）当α ∈ RΔ(k)且k=1或者n时，通过计算可得；若k≠1,n时 ，计算可得

情形4α单调递减且α∈LΔ(n)，与情形2，3讨论相似，若α∈RΔ(k,k+1)有；若α∈RΔ(k)且k=1或者n时，有

定理的证明由引理3与推论2，得MCPn=，其中S如前定义.注意到，|S|=2n-1，所以rank（MCPn）≤2n-1. 结合推论1，即证得rank（MCPn）=2n-1.

[1]Garba G U.On the idempotent ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Portugal Math,1994,51.

[2]Barnes G,Levi I.On idempotent ranks of semigroups of partial transformations[J].Semigroup Forum,2005,70:81-96.

[3]Umar A.On the ranks of certain finite semigroups of order-decreasing transformations[J].Portugal Math,1996,53:23-34.

[4]Gomes G M S,Howie J M.On the rank of certain finite semigroups of transformations[J].Math Proc Camb Phil Soc,1987,102.

[5]Gomes G M S,Howie J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum,1992,45:272-282.

[6]徐波，冯荣权，高荣海.一类变换半群的秩[J].数学的实践与认识，2010，40（8）：222-224.

[7]高荣海，徐波.关于保序压缩奇异变换半群的秩[J].山东大学学报：理学版，2011，46（6）：4-7.

[8]高荣海，徐波.降序严格部分变换半群的幂等元秩[J].河南师范大学学报：自然科学版，2010，38（6）：4-7.

[9]高荣海，徐波.降序有限部分变换半群的幂等元秩[J].西南大学学报：自然科学版，2008，30（8）：9-12.