Walker星座摄动分析与保持控制策略*

姜 宇，李恒年 ，宝音贺西

(1.宇航动力学国家重点实验室,西安710043; 2.西安卫星测控中心,西安710043;3.清华大学航天航空学院,北京100084)

全球星座可用于导航、通信、环境监测、数据中继、目标识别等诸多领域.全球星座一般采用Walker星座或包含Walker星座的复合星座[1].Walker星座[2]由具有相同轨道半长轴和轨道倾角的多个卫星组成，分为若干个轨道面，每个轨道面内的卫星数目相同，不同轨道面内的卫星之间的相对相位保持特定的关系.Walker星座一般以N/P/F表示，N代表星座中的卫星总数，P为星座轨道面数，F为相位因子.典型的全球星座有美国的GPS、俄罗斯的Glonass、欧盟的Galileo等.Glonass采用24/3/1的Walker星座，Galileo采用27/3/1的Walker星座，早期GPS采用24/3/2的Walker星座.星座卫星之间由于入轨偏差及所受摄动力的不同，而发生星座卫星轨道逐渐漂移，进而引起星座整体构形的漂移，从而影响星座的导航、覆盖等性能.为了保持星座的整体构形，需要对星座卫星的轨道进行控制.

星座轨道控制主要包括星座卫星入轨后转移轨道段的轨道控制和长期保持控制[1,3].星座轨道控制的目的是一方面保持星座中每个卫星的轨道偏差在允许的偏差范围内，另一方面保持星座的整体空间构形漂移较小，从而满足应用对星座构形的需求.

本文主要针对运行在中高轨道上的全球Walker星座的构形长期保持控制问题，通过研究星座卫星的轨道摄动及构形相对漂移，研究了星座构形长期保持的控制方法及控制策略.对于星座构形的保持，研究了星座构形摄动补偿法和星座构形数值微分修正法.最后给出了全球星座构形长期保持控制策略并进行了仿真验证.

1 星座卫星轨道摄动运动分析

对于中高轨道的星座卫星来说，其主要的摄动力为地球扁率J2项、日月引力以及太阳光压.地球扁率J2项对卫星轨道半长轴、偏心率、倾角的长期影响为零，对卫星的升交点赤经、近地点幅角和平近点角均有长期影响.日月引力对卫星轨道倾角和升交点赤经都有长期影响.卫星轨道升交点赤经、纬度幅角的长期摄动主要由J2项引起，轨道倾角的长期摄动主要由日月引力引起，偏心率矢量的长期摄动主要由太阳光压引起.

1.1 地球扁率摄动分析

考虑地球扁率J2项摄动，则星座卫星平均轨道根数的长期变化率[4]为

(1)

可见地球扁率J2项摄动对卫星轨道半长轴、偏心率和倾角没有长期影响，对升交点赤经、近地点幅角和平近点角均有长期影响.在J2项摄动的作用下，升交点赤经的变化率、近地点幅角的变化率以及平近点角的变化率均与卫星的轨道半长轴、偏心率和倾角有关.

1.2 日月引力摄动分析

太阳引力摄动引起的卫星轨道倾角长期变化率为

(cosβssinisinΩ-sinβscosissinicosΩ+sinβssiniscosi)

(2)

式中，t为时间，βs为太阳视运动的黄经，is为黄道倾角，ns为地球绕太阳公转的角速率.

如果不计βs的周期项，则化为

(3)

对太阳同步轨道，则式(2)化简为熟知的结论作为其特例

(4)

月球引力摄动引起的卫星轨道倾角长期变化率为

sin2imcosi)-2cos2imsinicos(Ω+Ωm)]

(5)

可见日月引力摄动对卫星轨道倾角长期变化率的影响与卫星的轨道半长轴、倾角和升交点赤经有关，且轨道半长轴越大，日月引力摄动引起的卫星轨道倾角长期变化率的大小越大.

1.3 太阳光压摄动分析

(6)

其中

(7)

(8)

A为航天器垂直于光线方向的截面积，m为卫星质量，K为光压系数，全吸收时K=1，ps为光压强度.

2 星座构形漂移运动分析

(9)

可见，Walker星座的卫星间的平根数半长轴差、倾角差、偏心率差均可引起星座卫星轨道面法向、轨道沿迹方向的相对演化.即使将Walker星座的平均轨道根数的半长轴、偏心率和倾角均完全按照设计结果控制至相等，此时地球扁率J2项摄动不会引起星座构形的演化；但日月引力引起Walker星座不同轨道面上的卫星倾角摄动不同，太阳光压引起Walker星座不同轨道面上的卫星偏心率矢量摄动不同，进而引起星座卫星之间偏心率差δe、倾角差δi的绝对值逐渐增大，由式(9)知存在半长轴差、倾角差或偏心率差的Walker星座卫星间的J2项摄动不同，故而引起星座构形的漂移.

3 控制策略计算方法

Walker星座构形的控制需采用相对控制的方法，由于在入轨偏差、控制执行偏差、J2项摄动力、日月引力等的作用下，星座构形整体漂移，控制方法只需保证星座整体几何构形的稳定和单星轨道满足特定要求即可.Walker星座整体构形的控制可采取摄动补偿法和数值微分修正法两种方法.

3.1 星座构形摄动补偿法

星座构形摄动补偿法[5-8]通过控制星座卫星间的半长轴差和倾角差来达到间接控制升交点赤经差和相位差的目的，记

(10)

令

λ1=ω1+M1

(11)

(12)

Φ为J2项作用下，星座卫星轨道半长轴偏差和倾角偏差对升交点赤经以及相位角的影响矩阵.Δt时间内在J2项摄动力的长期作用下，星座卫星间升交点赤经差和相位差的漂移分别为ΔΩ和Δλ，则要消除J2项摄动力对星座卫星间升交点赤经差和相位差的漂移影响，所需的星座卫星间半长轴和倾角的初始调整量为Δa和Δi，则

(13)

其中

(14)

如此，通过控制Walker星座卫星之间的半长轴差和倾角差，达到了对升交点赤经差和相位差联合控制的目的.

Walker星座轨道的初始设计是平均轨道根数，星座各卫星的半长轴、倾角均相等.设预定的星座控制周期为Δt，如果星座设计寿命为10年，且10年内不做控制，则Δt=86400×365×10s.如果星座设计寿命为10年，但控制周期为3年，则Δt=86400×365×3s.

星座构形摄动补偿法的计算过程为：考虑地球形状摄动力、日月引力、太阳光压，首先根据初始设计的轨道平根数做平根数轨道预报，得出Δt时间后的ΔΩ和Δλ，由公式(13)计算所需的星座卫星间半长轴和倾角的初始调整量Δa和Δi，更新星座卫星初始轨道根数，再做平根数轨道预报，看Δt时间后的ΔΩ和Δλ是否满足要求，如此迭代循环.该过程一般执行1至3次就可获得满意的结果.

3.2 星座构形数值微分修正法

同星座构形摄动补偿法不同，星座构形数值微分修正方法是基于瞬根数的.根据是否做倾角修正，构形数值微分修正方法又有两种情形，其数值计算步骤为：

方法1.仅做半长轴修正情形

如果卫星携带推进剂剩余不多，则希望在尽量节约推进剂的情况下进行星座构形的保持，此时，不进行轨道面外的控制，仅采用半长轴修正来最大限度地保证星座构形的稳定.根据入轨后的轨道根数，进行高精度轨道预报，根据Δt时间后的广义相位差增量Δφ来计算半长轴的修正量，广义相位差增量等于相位差的增量与升交点赤经差的增量在卫星轨道面内的投影的和

Δφ=ΔΩcosi+Δλ

(15)

微分修正法的半长轴修正步长为

(16)

方法2.半长轴和倾角都做修正情形

根据入轨后的轨道根数，进行高精度轨道预报，根据Δt时间后的相位差增量Δλ、升交点赤经差增量ΔΩ，微分修正法的半长轴和倾角修正步长为

(17)

星座构形数值微分修正方法的计算过程为：首先根据初始设计的轨道根数，加上高精度的动力学模型，做轨道预报，得出Δt时间后的ΔΩ和Δλ，由式(16)或(17)计算所需的星座卫星间轨道根数调整量，更新星座卫星初始轨道根数，再做轨道预报，看Δt时间后的ΔΩ和Δλ是否满足要求，如此迭代循环.该过程一般执行4至8次就可获得满意的结果.

同半长轴和倾角都做修正相比，仅做半长轴修正能更多地节省推进剂的消耗，而从第4节的算例可见，星座构形的漂移主要由相位差的漂移引起，而仅作半长轴修正能较好地对星座卫星间相位差的漂移进行控制，兼顾了构形保持与节省推进剂消耗量之间的平衡.

4 算 例

4.1 星座构形摄动补偿法算例

以构形为Walker24/3/1全球星座为例进行星座控制策略的仿真计算，取轨道高度为21528km，倾角为55°，回归周期为7天，一个回归周期内回归13圈.取星座不同轨道面上的两个卫星轨道进行试算，初始轨道平根数如下所示.历元时刻为2015年9月21日10点30分0.0秒.设副星和主星的升交点赤经差-120°，相位差45°.

如果不做星座的保持控制，则星座10年后的构形漂移如表1所示.

表1 不做控制的星座构形漂移值

可见如果不做星座的保持控制，则10年后星座两星的升交点赤经差漂移量达到3.9°，相位差漂移达到9.34°.按照星座构形摄动补偿法计算的副星控制策略如表2所示.按照构形摄动补偿法计算出补偿量后，进行平均轨道根数的预报，考虑地球非球形摄动项J2、J3、J4，日月引力，计算补偿后的Δi、ΔΩ、Δλ.

表2 副星控制策略

可见，进行构形摄动补偿后，10年后两星的升交点赤经差漂移量为3.48°，相位差漂移达到3.58°，对相位差的漂移补偿较好.对应该摄动补偿控制策略的星座构形漂移如表3所示.

表3 采用构形摄动补偿控制策略后的星座构形漂移值

由表3可见，进行构形摄动补偿控制后，升交点赤经差的漂移方向不变，而相位差的漂移方向会反向，即相位差先逐渐减小，再逐渐增大，5年后相位差漂移达到-7.16°.

4.2 星座构形数值微分修正法算例

仍以构形为Walker24/3/1的全球星座为例，计算使用星座构形数值微分修正方法的控制策略.为了对比，我们仍使用上一小节的轨道根数，将其看作瞬根.历元时刻为2015年9月21日10点30分0.0秒.初始轨道根数如下所示：

如果不做星座的保持控制，考虑10×10阶地球引力场、日月引力、太阳光压.卫星质量均取为1900kg，截面积50m2，则星座的构形漂移如表4所示.

表4 不做控制的星座构形漂移值

由表4可知，星座卫星主星和副星的相位差漂移速率较大.按照星座构形数值微分修正法计算控制策略，如表5所示，由于星座构形数值微分修正法直接使用瞬根进行计算，所以避免了瞬平转换的误差，因此，我们将控制周期取为5年进行试算.计算结果如表5和表6所示.

表5 副星控制策略

表6 采用构形数值微分修正控制策略后的星座构形漂移值

由表5和表6可知，星座构形数值微分修正法对升交点赤经差和相位差的控制效果极好.升交点赤经差的漂移方向不变，而相位差的漂移方向会反向，即相位差先逐渐减小，再逐渐增大，5年后升交点赤经差漂移1.76°，相位差漂移3.469°.

5 结 论

通过研究星座卫星的轨道摄动及构形相对漂移，研究了星座构形长期保持的控制方法及控制策略.对于星座构形的保持，研究了星座构形摄动补偿法，提出了星座构形数值微分修正法.星座构形摄动补偿法是基于平均轨道根数的，对相位差漂移的补偿效果较好.星座构形数值微分修正法是基于瞬根数的，在实际应用中，避免了瞬平转换的误差，对相位差的漂移控制效果较好.对比两种方法，从实际应用的角度和计算精确程度来讲，星座构形数值微分修正法略好于星座构形摄动补偿法.

参 考 文 献

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